2022-2023学年河南省南阳市桐柏县四校联考八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市桐柏县四校联考八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  估计的运算结果应在(    )

A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间

2.  如图，在平行四边形中，是对角线，的交点．已知，，的周长是则对角线的长为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列式子中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，数轴上的点表示的数是，，垂足为，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为(    )


 

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列说法中，正确的是(    )

A. 被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B. 只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式
C. 同类二次根式一定都是最简二次根式
D. 两个最简二次根式不一定是同类二次根式

7.  下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列各组数是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

9.  实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，点，分别是，边上的中点，连接，如果，那么的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在实数范围内因式分解： ______ ．

12.  如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块其中是一个小正方形，然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为______ ．

 

13.  当时，式子______．

14.  的结果是______．

15.  如图，在、中，，，，是的中线，，，三点在一条直线上，连接，，以下五个结论：；；；；其中结论正确的是______ 填序号．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、、在同一直线上，并新建一条路，测得千米，千米，千米．
是不是从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
求新路比原路短多少千米？

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中

19.  本小题分
如图，在梯形中，，，的平分线交于，，、分别是B、的中点．
求证：≌；．

20.  本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为．
 

求的周长；

求证：．

21.  本小题分
某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为．
长方形的周长是多少？结果化为最简二次根式
除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

22.  本小题分
如图，在中，，平分交于点，过点作于点．
求证：≌．
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，点为等边三角形内一点，连接、、，以为一边作，且，连接、．
判断与的大小关系并证明．
若，，，判断的形状并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【解答】
解：，而，
原式运算的结果在到之间；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
的周长是，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不能化简，是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的条件判断即可，被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
本题考查了最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
利用勾股定理求出的长，可得，推出即可解决问题；
本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
【解答】
解：在中，，
，
，
点表示的数为．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项符合题意；
C、和不是同类二次根式，无法相加，故C选项不符合题意；
D、，故D选项不符合题意．
故选：．
根据算术平方根和二次根式的性质进行判断．
本题考查了算术平方根和二次根式的性质“”．
 

6.【答案】 

【解析】解：、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，本选项说法错误；
B、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，本选项说法错误；
C、同类二次根式不一定都是最简二次根式，本选项说法错误；
D、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，本选项说法正确；
故选：．
根据同类二次根式的概念判断．
本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

7.【答案】 

【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
根据算术平方根的定义对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的加减法对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、加减法法则是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，符合题意；
B、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
D、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定即可．
本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：三个数都是正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方．
 

9.【答案】 

【解析】解：由数轴可得：，
则原式
．
故选：．
利用数轴看得出的取值范围，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，分别是，边上的中点，，
，
故选：．
根据三角形中位线定理即可求解．
本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，

，
故答案是：
先提取公因式，再把写成的形式，然后利用平方差公式继续分解因式．
本题考查了在实数范围内分解因式，注意把写成的形式继续分解因式，分解因式一定要彻底．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，其中，

由拼成的长方形可知：，
，
在所拼成的长方形中，，，
所拼成的长方形周长为：．
又正方形的面积为，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：舍去负值．
所拼成的长方形的周长为：．
为了方便起见，可先把图上标上字母，然后设，其中，由拼图得，则，据此可得所拼成的长方形周长为然后利用勾股定理求出的值即可．
此题主要考查了长方形的性质，图形的拼接变换，观察得出正方形的边长与三角形较短直角边相等，进而得出三角形较长直角边等于较短直角边的倍是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由，可得，即知，故．
本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出，再整体代入．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
即．
在和中

≌，
故正确；
≌，
．
，
，
．
，
，
．
；故正确；
，，
，
．
，故正确；
，
．
，，，
，．
，
，
故错误．
故答案为：．
由条件证明≌，就可以得到结论；
由≌就可以得出，就可以得出而得出结论；
由条件知，由就可以得出结论；
为直角三角形就可以得出，由和是等腰直角三角形就有，，就有就可以得出结论．
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．
 

16.【答案】解：是从村庄到河边的最近路．
理由如下：
千米，千米，千米，
，
为直角三角形，，
，
为点到的最短路线；
设，则，，
在中，，解得，
即，
，
答：新路比原路少千米． 

【解析】利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，则，根据垂线段最短可判断是从村庄到河边的最近路；
设，则，，则在中利用勾股定理得到，解方程得到的长，然后计算即可．
本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】首先利用二次根式除法以及乘法法则转化成一个二次根式，然后对二次根式进行化简即可．
本题考查了二次根式的乘除运算，正确理解法则，正确化简二次根式是关键．
 

18.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】把分式的除法转化为乘法，同时分子分母因式分解，然后约分即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法的运算法则．
 

19.【答案】证明：，、分别是、的中点．
，
的平分线 交于，
，
≌；

，
．
．
又，
四边形是平行四边形．
，
又≌，
，
． 

【解析】易证得，，有为公共边，所以有证得≌；
若，则四边形为平行四边形，则应有．
本题考查全等及平行四边形判定及性质．测试时学生完成情况有点眼高手低．逻辑证明是中考必考题．一般会以全等，相似，或是特殊四边形这样的证明步骤在十步左右．
 

20.【答案】解：，，，
的周长，
，，，
，
． 

【解析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．
运用勾股定理求得，及的长，即可求出的周长．
运用勾股定理的逆定理求得，得出．
 

21.【答案】解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
购买地砖需要花费


元；
答：购买地砖需要花费元． 

【解析】长方形的周长是；
先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为元每平方米的地砖列式计算即可．
本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
 

22.【答案】证明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
解：≌，
，
在中，，根据勾股定理，得
． 

【解析】利用即可证明≌；
结合根据勾股定理即可求出的长．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，重合用转化的思想思考问题．
 

23.【答案】解：；
证明如下：
，，
是等边三角形，
，

，
在和中，
，
≌，
；
是直角三角形；
证明如下：
≌，
，
是等边三角形，
，
在中，
，，
，
是直角三角形 

【解析】根据已知可得是等边三角形，得出，，由证明≌，即可得出结论；
由勾股定理的逆定理即可得出结论．
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理；证明三角形全等是解决问题的关键．