2022-2023学年江西省赣州市赣州中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省赣州市赣州中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据古典概型的概率计算公式可得答案.

【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为.

故选：D

2．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（    ）

3221183429    7864540732    5242064438    1223435677    3578905642

8442125331    3457860736    2530073286    2345788907    2368960804

3256780843    6789535577    3489948375    2253557832    4577892345

A．623 B．328 C．253 D．007

【答案】A

【分析】根据随机数表法依次读数即可.

【详解】解：从第5行第6列开始向又读取数据，

第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，

下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，

第四个是007，第五个是328，第六个是623.

故选：A.

3．下列各组函数表示同一函数的是  （     ）

A．  B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同逐一验证即可.

【详解】选项A：的定义域为,的定义域为

由，所以选项A正确；

选项B：的定义域为,的定义域为

由，所以选项B不正确；

选项C：的定义域为,的定义域为

由所以选项C不正确；

选项D：的定义域为,的定义域为

但是，所以选项D不正确；

故选：A.

4．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为（    ）

A．3 B．2 C．5 D．9

【答案】D

【分析】利用分层抽样中的比例列出方程，求出答案.

【详解】，解得：

故选：D

5．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】去掉绝对值，根据函数的单调性即可判断．

【详解】当时，，因为，所以函数单调递增，

当时，，因为，所以函数单调递减．

故选：C．

6．若函数的定义域为，则函数 的定义域为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】解：因为函数的定义域为，

对于函数，则，解得，

即函数的定义域为.

故选：C

7．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围.

【详解】函数满足对任意的实数都有，

所以函数是上的增函数，

则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，

解得，

所以数的取值范围为，

故选：A

【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.

8．现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线，在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（    ）

A．若，则函数f（x）为奇函数

B．若，则函数f（x）有最小值

C．若，则函数f（x）为增函数

D．若，则函数f（x）存在零点

【答案】D

【分析】A选项：根据奇偶性的定义判断即可；

B选项：当，时，根据复合函数的单调性得到在上单调递增，上单调递减，得到有最大值，无最小值；

C选项：当，时，根据函数，的单调性判断的单调性即可；

D选项：令，解方程即可.

【详解】A选项：的定义域为R，关于原点对称，，，当时，，所以，不是奇函数，故A错；

B选项：，当，时，令，，函数单调递增，函数在上单调递增，上单调递减，令，则，所以在上单调递增，上单调递减，所以有最大值，无最小值，故B错；

C选项：当，时，函数，单调递减，所以为减函数，故C错；

D选项：当时，令，解得，所以此时存在零点，故D正确.

故选：D.

二、多选题

9．一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（    ）

A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B．

C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D．“至少有1件次品”和“都是正品”

【答案】AD

【分析】判断各选项中的事件是否有同时发生的可能，即可确定答案.

【详解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；

B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；

C：“至少有1件正品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；

D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；

故选：AD

10．某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如下表：

则下列说法正确的是A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差

B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数

C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值

D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

【答案】BD

【分析】按所给数据计算两人的极差，中位数，平均值，和方差．

【详解】由题意甲的极差为34－9＝25，中位数是21，均值为22，方差为，

同样乙的极差为35－10＝25，中位数是22，均值为22，方差为＝．

比较知BD都正确，

故答案为BD．

【点睛】本题考查样本的数据特征，掌握极差、中位数、均值、方差等概念是解题基础，本题属于基础题．

11．把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（    ）

A．若为“函数”，则

B．若为“函数”，则一定是增函数

C．函数在上是“函数”

D．函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数）

【答案】BC

【分析】对于A，由条件（1）得.由条件（2），得，所以，故A说法正确；对于B，举反例说明B说法错误；对于C，举反例说明C说法错误；对于D，说明函数符合条件（1）（2），故D说法正确.

【详解】对于A，若函数为“函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确；

对于B，若，，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法错误；

对于C，当，时，，，，，不满足条件（2），所以不是“函数”，故C说法错误；

对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“函数”，故D说法正确.

故选：BC.

12．下列说法正确的有（    ）

A．若，则的最大值是

B．若都是正数，且，则的最小值是3

C．若，则的最小值是2

D．若，则的最小值是4

【答案】ABD

【分析】由结合基本不等式求最值判断A；由，令则原式等价于结合基本不等式求最值判断B；由结合基本不等式求最值判断C；由题设，再应用“1”的代换求的最值，即可判断D；注意最值取值条件.

【详解】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，A正确；

由，则，且，

令，则，，

所以原式为，当且仅当，即时等号成立，B正确；

由且，则，故，当且仅当时等号成立，

所以的最小值是4，C错误；

由题设，而，

又，当且仅当时等号成立，

所以，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，则出现正面的频率是______．

【答案】0.54

【分析】由频率、频数、总数之间的关系即可求解.

【详解】由频率=频数÷总数可知，出现正面的频率=.

故答案为：0.54

14．已知，函数若，则___________.

【答案】2

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.

【详解】，故，

故答案为：2.

15．已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是___________

【答案】

【分析】不妨设，结合函数图像可得，从而得出，即可得出答案.

【详解】不妨设，由图可得，，

所以即，

由得，，所以的取值范围是

故答案为：

16．已知函数的定义域，对任意的，，都有，若在上单调递减，且对任意的，恒成立，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】解法一：先求出的最大值为3，将原问题转化为恒成立，再根据已知条件推出且是偶函数，故原问题可转化为恒成立，最后根据的单调性脱去“”，解不等式求出的取值范围．

解法二：先求出的最大值为3，将原问题转化为恒成立，根据已知条件构造符合条件的一个函数，由解不等式即可．

【详解】解法一：令，

易知在上单调递减，所以，

所以．在中，

令，得，令，

得，令，，

得，又的定义域，

所以是偶函数．

因为在上单调递减，且，

所以由，得，得，

解得或，故的取值范围是．

解法二：令，

易知在上单调递减，所以，

所以．根据的定义域，

对任意的，，都有，

且在上单调递减，可设，

则由，得，得，

解得或，

故答案为：．

【点睛】（1）会转化，即会将原不等式进行转化；

（2）会观察，即能通过观察，利用特值法得到函数的奇偶性；

（3）结合函数的单调性脱去“”，建立关于的不等式．

四、解答题

17．已知函数，

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；

（3）求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.

【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.

【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，

解得,

函数的定义域为.

（2）函数为奇函数，

证明：由第一问函数的定义域为，

，

所以函数为奇函数.

（3）解不等式，

即

即，

从而有，

所以.

不等式的解集为.

【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.

18．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”.

（1）写出该试验的样本空间，并求事件发生的概率；

（2）求事件发生的概率；

（3）事件与事件至少有一个发生的概率.

【答案】（1）样本空间见解析，；（2）；（3）.

【分析】（1）用列举法列举出所有的基本事件,利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率；

（2）根据（1）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.；

（3）解法一：根据（1）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.方法二：解法二：、互斥，由计算即可得解.

【详解】解：（1）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，

，共有36个样本点，

它们是等可能的，故这是个古典概型.

，共5个样本点，

∴事件发生的概率为.

（2），

共12个样本点.

∴事件发生的概率.

（3）事件与事件至少有一个发生，即事件，

，共17个样本点，

∴事件与事件至少有一个发生的概率为.

解法二：因为、不可能同时发生，即、互斥，

所以.

19．统计某班级名学生数学期末考试成绩（单位：分）的频率频率分布直方图如图所示：

（1）分别求出成绩落在与中的学生人数；

（2）从成绩在和的学生中按照分层抽样的方法抽取人参加全校数学文化知识竞赛，如果有人获奖，求这人的成绩都在中的概率.

【答案】（1）成绩落在中学生人数为，成绩落在中学生人数为；（2）.

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为求出实数的值，并计算出成绩落在与中的学生所占的频率，乘以可得结果；

（2）列出所有的基本事件，并确定事件“所抽的人的成绩都在中”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）据直方图知组距为，由，解得，

成绩落在中学生人数为，

成绩落在中学生人数为；

（2）从成绩在和的学生中按照分层抽样的方法抽取人，成绩落在有人，成绩落在有人，

记成绩落在中的人为、，成绩落在中的人为、、、，

则从人选人的基本事件共有个：

、、、、、、、、、、、、、、.

其中人的成绩都在中的基本事件有6个.

故所求概率为.

【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：

（1）列举法；

（2）列表法；

（3）数状图法；

（4）排列组合数的应用.

20．已知.

(1)求函数f（x）的表达式；

(2)判断函数f（x）的单调性；

(3)若对恒成立，求k的取值范围．

【答案】(1)

(2)在R上是增函数

(3)

【分析】（1）设，得，代入已知式后，再把换成即得；

（2）由单调性的定义证明；

（3）设，，由（2）知，原不等式可化为在恒成立，求出左边的最小值即得．

【详解】（1）设，，可得.

，即

（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

，

∵，∴，，

∴∴，

∴为R上的增函数．

（3）由对恒成立，

即对恒成立，

可得 ，

则 ，

，

.

设，，由（2）知，

故原不等式可化为在恒成立，

，

当时， ，∴，

∴的取值范围是．

【点睛】方法点睛：解决函数不等式恒成立问题的方法一般是转化为求函数的最值，一种方法是直接求函数最值，然后解最值满足的不等式得参数范围，另一种方法是分离参数，转化为求没有参数的函数的最值，从而得参数范围．

21．双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向.根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利10W（x）（万元），该公司预计2022年全年其他成本总投入万元，由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.22年的全年利润为f（x）（单位：万元）

(1)求函数f（x）的解析式；

(2)当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.

【答案】(1)

(2)当2022年产量为3000辆时，该企业利润最大，最大利润为390万元.理由见解析.

【分析】（1）结合题意，分类讨论和两个区间的情况，化简整理即可.

（2）由（1）可知：，分类讨论后利用二次函数的性质和基本不等式性质求出最大值，即可的答案.

【详解】（1）解：由题意得：

所以当，时，则有

当，时，则

故函数的解析式为：

（2）由（1）可知：

当时，

故在上单调递减，在上单调递增

故

当时，则有

当且仅当，即当时取等号；

故此当2022年产量为3000辆时，该企业利润最大，最大利润为390万元.

22．给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A．

(1)判断的图象是否关于点成中心对称；

(2)当时，求证：．

(3)对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．

【答案】(1)的图象关于点成中心对称

(2)证明见解析

(3)

【分析】由已知，可将代入解析式验证，并可证明函数关于中心对称。

可通过定义证明函数的单调性，并由单调性证明

由题设条件构造过程可以无限进行下去即关于x的方程无解，

即关于x的方程无解或有唯一解，代入可解得

【详解】（1）因为，

所以．

由定义可知，的图象关于点成中心对称．

（2）设，

则，

所以在上是增函数，

所以在上是增函数，

所以当时，，即．

（3）因为构造过程可以无限进行下去，

所以对任意恒成立，

即关于x的方程无解，

即关于x的方程无解或有唯一解，

所以或，解得．

【点睛】本题侧重考查逻辑推理、数学运算素养．对逻辑推理的考查主要体现在利用定义推理得到结论，对数学运算的考查主要体现在推理过程中的计算．