新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值(含解析)

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第2课时　函数的最大(小)值
学习目标　1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．

知识点一　函数的最大值与最小值

最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标

思考1　若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
答案　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．
思考2　若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？
答案　最大值为f(b)，最小值为f(a)．
知识点二　求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，
　ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，
　ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．

1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．

答案　－1　2
解析　由图可知，图象最低点的纵坐标为－1，图象最高点的纵坐标为2，所以函数的最大值为2，最小值为－1.
2．函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值为________．
答案　3
解析　根据图象(图略)可知，f(x)max＝3.
3．函数y＝在[2,3]上的最大值为________．
答案　1
解析　∵y＝在[2,3]上单调递减，∴ymax＝f(2)＝1.
4．函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是________．
答案　2

一、图象法求函数的最值(值域)
例1　求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
解　y＝|x＋1|－|x－2|＝作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]．

所以函数的最大值为3，最小值为－3.
(学生)
反思感悟　图象法求函数最值的一般步骤

跟踪训练1　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值．
解　作出f(x)的图象如图．

由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.
二、利用函数的单调性求函数的最值
例2　已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x11，
所以x1－x21，
所以1－>0，
所以(x1－x2)0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，
故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
(学生)
反思感悟　利用函数的单调性求最值的关注点
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
(1)证明　设1≤x1