新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第3章 3.1.1 第1课时 函数的概念(一)(含解析)

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§3.1　函数的概念及其表示3．1.1　函数的概念第1课时　函数的概念(一)学习目标　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．知识点　函数的概念思考1　在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？答案　确定，一一对应．思考2　如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？答案　不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．特别提醒　理解函数的概念应关注三点(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．1．根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(　×　)2．任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　×　)3．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　×　)4．在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　×　)一、函数关系的判断例1　(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值答案　AD解析　按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)A．0 B．1 C．2 D．3答案　B解析　①中，因为在集合M中当10，即x>－2，所以函数y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，所以函数y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．(4)要使函数f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x＋4x－1<0，))解不等式组得－1≤x<1.因此函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}．(学生)反思感悟　求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．跟踪训练3　求下列函数的定义域：(1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)；(2)y＝eq \r(2x2－3x－2)＋eq \f(1,\r(4－x)).解　(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x≤1.))所以定义域为{x|x≤1且x≠－1}．(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x2－3x－2≥0，,4－x>0，))得x≤－eq \f(1,2)或2≤x<4，所以定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)或2≤x<4)))).函数的判断典例　在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　)①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝eq \f(x,3)；②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25；④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥C．②③④ D．①②③⑤答案　D解析　①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．[素养提升]　(1)判断一个对应关系是否为函数，是函数定义的具体应用，体现了数学抽象的核心素养．(2)首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．1．已知函数f(x)＝eq \f(3,x)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))等于(　　)A.eq \f(1,a) B.eq \f(3,a) C．a D．3a答案　D解析　f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq \f(3,\f(1,a))＝3a.2．下列函数中定义域为R的是(　　)A．y＝eq \r(x) B．y＝(x－1)0C．y＝x2＋3 D．y＝eq \f(1,x)答案　C解析　A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.3．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　)A．y是x的函数B．x是y的函数C．对于不同的x，y也不同D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数答案　AD解析　由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．4．若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，则f(3)＝________，f(f(－2))＝________.答案　－eq \f(1,8)　eq \f(9,8)解析　f(3)＝eq \f(1,1－9)＝－eq \f(1,8)，f(f(－2))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq \f(9,8).5．函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域是____________________________________________．答案　{x|x≥－1且x≠1}解析　由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x－1≠0，))所以x≥－1且x≠1，故函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．1．知识清单：(1)函数的概念．(2)求函数值．(3)求函数的定义域．2．方法归纳：定义法．3．常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义．1．(多选)下列四种说法中，正确的有(　　)A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素答案　ACD解析　由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．2．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是(　　)A．0 B．3a2－1C．6a2－2 D．6a2答案　A解析　f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.3．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(　　)A．f：x→y＝eq \f(1,8)x B．f：x→y＝eq \f(1,4)xC．f：x→y＝eq \f(1,2)x D．f：x→y＝x答案　ABC解析　根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．4．函数f(x)＝eq \f(\r(1－3x),x)的定义域为(　　)A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))))C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(00，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－3，,|x|>x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－3，,x<0.))所以函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．10．已知函数f(x)＝eq \f(6,x－1)－eq \r(x＋4).(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(12)的值．解　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为{x|x≥－4且x≠1}．(2)f(－1)＝eq \f(6,－2)－eq \r(－1＋4)＝－3－eq \r(3).f(12)＝eq \f(6,12－1)－eq \r(12＋4)＝eq \f(6,11)－4＝－eq \f(38,11).11．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为(　　)A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2C．f(x)＝eq \f(1,x) D．f(x)＝|x|答案　A解析　对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．对于C选项，f(x＋1)＝eq \f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(1,x)＋1，不成立．对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．12．若函数f(x)＝eq \f(\r(3,x－1),mx2＋x＋3)的定义域为R，则m的取值范围为________．答案　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>\f(1,12)))))解析　要使原函数有意义，必须满足mx2＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>eq \f(1,12).综上可知，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>\f(1,12))))).13．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域是________．答案　{x|0