备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第一章 §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第一章 §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词，共13页。试卷主要包含了全称量词和存在量词等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称命题和特称命题
常用结论
1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )
(3)“三角形的内角和为180°”是特称命题．( × )
(4)命题“∃x0∈R，sin2eq \f(x0,2)＋cs2eq \f(x0,2)＝eq \f(1,2)”是真命题．( × )
教材改编题
1．(2022·中卫模拟)已知命题p：对任意x∈R，总有x2－x＋1≥0；q：若a2A．(綈p)∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q
答案 B
解析 由x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
所以命题p为真命题，
令a＝0，b＝－1，则a2b，
所以命题q为假命题，
故p∧(綈q)为真．
2．写出命题“∀x∈R，x2－2x＋3>0”的否定________________．
答案 ∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－2x0＋3≤0
3．若命题“∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))
解析 ∀x∈[－1,2]，x2－x－a>0，
∴a<(x2－x)min.
当x＝eq \f(1,2)时，(x2－x)min＝－eq \f(1,4)，∴a<－eq \f(1,4).
题型一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断
例1 (1)(2022·成都检测)已知命题p：在△ABC中，若cs A>cs B，则AA．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
答案 D
解析 命题p：在△ABC中，若cs A>cs B，由于余弦函数在(0，π)上单调递减，则A命题q：向量a与向量b相等的充要条件是向量a与向量b模的大小相等，方向相同，故命题q是假命题，因此，p∧(綈q)为真命题．
(2)(2022·绵阳模拟)2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月18日在卡塔尔举行．某体育台预测比赛结果，若比赛前三名只在甲、乙、丙三支球队中产生，记p：甲获得冠军，q：乙获得亚军，r：丙获得季军．比赛结束后，“q∧(綈r)”为真，则比赛的最终结果为( )
A．甲是冠军，乙是亚军，丙是季军
B．乙是冠军，甲是亚军，丙是季军
C．丙是冠军，乙是亚军，甲是季军
D．甲是冠军，丙是亚军，乙是季军
答案 C
解析 由题意可知“q∧(綈r)”为真，故乙获得亚军，丙不是季军，那么丙是冠军，
所以甲是季军．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式．
(2)判断命题p，q的真假．
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
跟踪训练1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，命题q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．
(2)设命题p：函数f(x)＝ex－1在R上为增函数；命题q：函数f(x)＝x2＋sin x为奇函数．则下列命题中的真命题是( )
A．p∧q B．(綈p)∨q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∧(綈q)
答案 D
解析 因为函数f(x)＝ex－1在R上为增函数，
所以命题p为真命题．
因为f(－x)＝x2－sin x≠－f(x)，
所以函数f(x)＝x2＋sin x不是奇函数，因此命题q为假命题．
于是綈p是假命题，綈q是真命题．
因此p∧q是假命题，(綈p)∨q是假命题，
(綈p)∧(綈q)是假命题，p∧(綈q)是真命题．
题型二 含一个量词的命题
命题点1 含一个量词命题的否定
例2 (1)(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是( )
A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解
B．∃a0∈R，x2－a0x＋1＝0无实数解
C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解
D．∃a0∈R，x2－a0x＋1≠0有实数解
答案 B
解析 因为全称命题的否定是特称命题，
所以“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“∃a0∈R，x2－a0x＋1＝0无实数解”．
(2)命题p：菱形的对角线互相垂直平分，则p的否定为______________________________．
答案 存在一个菱形，它的对角线不互相垂直或平分
命题点2 全称命题、特称命题的真假
例3 (1)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是( )
A．∃x0∈R，≤0
B．∀x∈R，n∈N*且n>1，eq \r(n,xn)＝x
C．∀x∈R，ln(x－1)2≥0
D．∃x0∈R，ln x0≥x0－1
答案 D
解析 ∀x∈R,2x>0，
∴eq \f(1,2x)>0，故A是假命题；
当n为偶数，且x<0时，eq \r(n,xn)＝－x ，故B是假命题；
当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C是假命题；
当x0＝1时，ln x0≥x0－1，故D是真命题．
(2)下列命题是真命题的是________．(填序号)
①∃a0∈R，使函数y＝2x＋a0·2－x在R上为偶函数；
②∀x∈R，函数y＝sin x＋cs x＋eq \r(2)的值恒为正数；
③∀x∈R，x4④∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－2x0＋1≤0.
答案 ①④
解析 当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故①为真命题；
y＝sin x＋cs x＋eq \r(2)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋eq \r(2)，
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝－1时，y＝0，故②为假命题；
当x＝0时，x4＝x5，故③为假命题；
xeq \\al(2,0)－2x0＋1＝(x0－1)2，当x0＝1时，xeq \\al(2,0)－2x0＋1＝0，故④为真命题．
思维升华 含量词命题的解题策略
判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需证明对M中每一个元素x，p(x)都成立；要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只要在M内找到一个x0，使p(x0)成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
跟踪训练2 (1)(2022·襄阳模拟)命题“∃x0>0，＋xeq \\al(2,0)－2<0”的否定为( )
A．∃x0>0，＋xeq \\al(2,0)－2≥0
B．∃x0≤0，＋xeq \\al(2,0)－2≥0
C．∀x>0，ex＋x2－2≥0
D．∀x≤0，ex＋x2－2≥0
答案 C
(2)下列命题是假命题的是( )
A．∀x∈R，－x2－1<0
B．∃m0∈Z，m0x＝m0恒成立
C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D．存在实数x0，使得eq \f(1,x\\al(2,0)－2x0＋3)＝eq \f(3,4)
答案 D
解析 ∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题；
当m0＝0时，m0x＝m0恒成立，故B项是真命题；
任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；
因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
所以eq \f(1,x2－2x＋3)≤eq \f(1,2)题型三 根据命题的真假求参数的范围
例4 (1)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－2]∪[1,2)
解析 若命题p为真，则Δ＝4a2－16<0，
∴－2若命题q为真，则3－2a>1，∴a<1.
∵p∨q为真，p∧q为假，
则p真q假或p假q真；
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2∴1≤a<2或a≤－2，
∴实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．
(2)若命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”的否命题是假命题，
则命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4>0，
解得a>3或a<－1，
故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
思维升华 由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围．
跟踪训练3 (1)若命题“∃x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sin x0A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 因为命题“∃x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sin x0所以“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sin x≥m”是真命题，
即m≤sin x对于∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))恒成立，所以m≤(sin x)min，
因为y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上单调递增，
所以当x＝－eq \f(π,3)时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以m≤－eq \f(\r(3),2)，所以实数m的最大值为－eq \f(\r(3),2).
(2)命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋3x0＋2－a＝0”，若p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))∪(1，＋∞)
解析 若命题p是真命题，则a≤x2对于∀x∈[1,2]恒成立，所以a≤(x2)min＝1.
若命题q是真命题，则关于x的方程x2＋3x＋2－a＝0有实数根，
所以Δ＝9－4(2－a)＝1＋4a≥0，即a≥－eq \f(1,4)，
若p和q同时为真命题，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,a≥－\f(1,4)，))
所以a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1))，
所以当p∧q是假命题时，p和q中至少有一个是假命题，
可得a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))∪(1，＋∞)．
课时精练
1．已知命题p：∃n0∈N，neq \\al(2,0)≥2n0＋5，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2≥2n＋5
B．∃n0∈N，neq \\al(2,0)≤2n0＋5
C．∀n∈N，n2<2n＋5
D．∃n0∈N，neq \\al(2,0)＝2n0＋5
答案 C
2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则p∨q为真命题；
若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，
当p真q假时，p∧q为假命题，
故p∨q为真命题推不出p∧q为真命题．
所以“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件．
3．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x0∈R，sin x0<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1.则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．綈(p∨q)
答案 A
解析 由正弦函数的图象及性质可知，存在x0∈R，使得sin x0<1，所以命题p为真命题；对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题．
4．若命题“p∧q” 与命题“(綈p)∨q”都是假命题，则( )
A．p真q真 B．p真q假
C．p假q真 D．p假q假
答案 B
解析 因为命题“p∧q”为假命题，
则p，q中至少有一个为假命题，
若p为假命题，则綈p为真命题，
则(綈p)∨q为真命题，与命题“(綈p)∨q”是假命题矛盾，
故必有p为真命题，q为假命题．
5．(2022·武汉模拟)若命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2x0＋m≤0”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m≤1
C．m>1 D．m≥1
答案 B
解析 由题可知，不等式x2＋2x＋m≤0在实数范围内有解，
等价于方程x2＋2x＋m＝0有实数解，
即Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.
6．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≥5
C．a≤4 D．a≤5
答案 B
解析 因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，
所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，
所以a≥4，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.
7．下列命题为真命题的是( )
A．∃x0∈R，ln(xeq \\al(2,0)＋1)<0
B．∀x>2,2x>x2
C．∃α0，β0∈R，sin(α0－β0)＝sin α0－sin β0
D．∃x0∈R，sin x0＋cs x0＝eq \f(3,2)
答案 C
解析 ∵x2＋1≥1，
∴ln(x2＋1)≥ln 1＝0，故A为假命题；
当x＝4时，2x＝x2，故B为假命题；
当α0＝β0＝0时，sin(α0－β0)＝0＝sin α0－sin β0，故C为真命题；
sin x0＋cs x0＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(π,4)))∈[－eq \r(2)，eq \r(2)]，故D为假命题．
8．(2023·榆林模拟)已知命题p：∀x∈[0,1]，ex－a≥0；命题q：∃x0∈[1，＋∞)，eq \f(1,x0)－x0>4a2－1.若p∧(綈q)为真命题，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 D
解析 因为p∧(綈q)为真命题，则p为真命题，q为假命题．
命题p：∀x∈[0,1]，ex－a≥0为真命题，则a≤ex在x∈[0,1]上恒成立，
因为y＝ex在[0,1]上是增函数，
所以当x∈[0,1]时，ex≥e0＝1，
则a≤(ex)min＝1，所以a≤1；
命题q：∃x0∈[1，＋∞)，eq \f(1,x0)－x0>4a2－1为假命题，
则綈q：∀x∈[1，＋∞)，eq \f(1,x)－x≤4a2－1为真命题，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))max≤4a2－1.
因为函数y＝eq \f(1,x)－x在[1，＋∞)上单调递减，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))max＝0，
即4a2－1≥0，解得a≤－eq \f(1,2)或a≥eq \f(1,2).
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
9．命题“∀x∈R，x2＋2x－1<0”的否定是____________________．
答案 ∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2x0－1≥0
10．已知真分数eq \f(a,b)(b>a>0)满足eq \f(a＋1,b＋1)>eq \f(a,b)，eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a＋1,b＋1)，eq \f(a＋3,b＋3)>eq \f(a＋2,b＋2)，….根据上述性质，写出一个全称命题或特称命题(真命题)__________________．
答案 ∀b>a>0，m>n>0，eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a＋n,b＋n)(答案不唯一)
解析 ∵真分数eq \f(a,b)(b>a>0)满足eq \f(a＋1,b＋1)>eq \f(a,b)，eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a＋1,b＋1)，eq \f(a＋3,b＋3)>eq \f(a＋2,b＋2)，…，
∴∀b>a>0，m>n>0，eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a＋n,b＋n).
11．(2020·全国Ⅱ)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面；
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4；②p1∧p2；③(綈p2)∨p3；④(綈p3)∨(綈p4)．
答案 ①③④
解析 p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为当空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题．
12．若“∃x0∈(0,2)，2xeq \\al(2,0)－λx0＋1<0”是假命题，则实数λ的取值范围是________．
答案 (－∞，2eq \r(2)]
解析 由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0”是真命题，
所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋eq \f(1,x)恒成立，
当x∈(0,2)时，由基本不等式可得
2x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(2x·\f(1,x))＝2eq \r(2)，
当且仅当x＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立，
所以λ≤2eq \r(2).
13．(2022·南昌模拟)现有下列四个命题：
①∀x∈R,2cs2eq \f(x,2)＝1＋cs 2x；
②存在x0∈{x|x＝7k，k∈Z}，使得x0＋1为质数；
③∀x∈R,2x＋23－x≥4eq \r(2)；
④若x∈(0，＋∞)，则eq \f(6x2,x4＋2x2＋9)的最大值为eq \f(3,4).
其中所有真命题的序号为( )
A．②④ B．①③ C．③④ D．②③④
答案 D
解析 因为∀x∈R,2cs2eq \f(x,2)＝1＋cs x，所以①是假命题；
因为28∈{x|x＝7k，k∈Z}，且29为质数，所以②为真命题；
2x＋23－x≥2eq \r(2x·23－x)＝2eq \r(8)＝4eq \r(2)，当且仅当2x＝23－x，即x＝eq \f(3,2)时，等号成立，所以③为真命题；
若x∈(0，＋∞)，则eq \f(6x2,x4＋2x2＋9)＝eq \f(6,x2＋2＋\f(9,x2))≤eq \f(6,2＋2\r(9))＝eq \f(3,4)，当且仅当x2＝eq \f(9,x2)，即x＝eq \r(3)时，等号成立，所以④为真命题．
14．命题p：集合M＝{x∈R|kx2－2kx＋1＝0}不为空集；命题q：关于x的不等式x2＋(k－1)x＋4>0的解集为R.若p∨q为真，p∧q为假，则实数k的取值范围是____________．
答案 (－∞，－3]∪[0,1)∪[5，＋∞)
解析 由集合M＝{x∈R|kx2－2kx＋1＝0}不为空集，得方程kx2－2kx＋1＝0有实数解，
当k＝0时，方程为1＝0，无解；
当k≠0时，则满足Δ＝(－2k)2－4k≥0，解得k<0或k≥1，
即命题p为真命题时，构成集合A＝(－∞，0)∪[1，＋∞)，
又由关于x的不等式x2＋(k－1)x＋4>0的解集为R，
则满足Δ＝(k－1)2－4×4<0，解得－3即命题q为真命题时，构成集合B＝(－3,5)．
因为p∨q为真，p∧q为假，
所以命题p，q有且只有一个是真命题，
当p真q假时，
则∁RB＝(－∞，－3]∪[5，＋∞)，
此时实数k的取值范围为A∩(∁RB)＝(－∞，－3]∪[5，＋∞)；
当p假q真时，则∁RA＝[0,1)，
此时实数k的取值范围为(∁RA)∩B＝[0,1)，
综上可得，实数k的取值范围是(－∞，－3]∪[0,1)∪[5，＋∞)．
15．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
答案 0
解析 “∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”的否定是“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”，依题意得，命题“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，
∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.
16．(2023·广安模拟)已知命题p：∀x1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，∃x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得方程lg2x1＋a＝xeq \\al(2,2)＋2成立，命题q：∀x1，x2∈[0,1]，不等式a＋3x2>恒成立．若命题p为真命题，命题q为假命题，则实数a的取值范围是______________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,4)，4))
解析 对于命题p，当x1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，
lg2x1＋a∈(a－1，a＋1)，当x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，xeq \\al(2,2)＋2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，6))，
若命题p为真，则(a－1，a＋1)⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，6))，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≥\f(9,4)，,a＋1≤6，))解得eq \f(13,4)≤a≤5.
对于命题q，当x1，x2∈[0,1]时，a＋3x2∈[a，a＋3]，∈[1,4]，
若命题q为真，则(a＋3x2)min>，则a>4，
若命题p为真命题，命题q为假命题，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(13,4)≤a≤5，,a≤4，))所以eq \f(13,4)≤a≤4，
综上可得，实数a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(13,4)，4)).p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x，有p(x)成立
存在M中的元素x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)