专练03 导数应用中求参数（范围）5种题型-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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导数几何意义中求参数（范围）
1.（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）若过点可作两条直线与的图象相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设切点为，写出切线方程代点得，再转化为零点问题求解.
【详解】由题得，设切点为，
则切线方程为，
代点得，
所以.
当时，显然不成立；
当时，，设.
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
所以.
又当时，，当时，.
所以当即时，有两解，即过点可作两条直线与的图象相切.
故选：B
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
【答案】C
【分析】由题意可求得直线与曲线和曲线分别切于点，，则，化简后得，然后将问题转化为方程解的个数，构造函数，利用导数和零点存在性定理可求得其零点的个数，从而可得答案.
【详解】根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，
所以对于曲线，则，所以，
所以切点，
对于曲线，则，所以，
切点，易知A,B不重合，
因为公切线过两点，所以，
进而可得，
令，则，
令，则
所以在单调递增，
因为，
所以存在使得，即，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
故.
又因为，
所以，
当时，，
因为，
所以在内存在，使得，
当时，，
因为，，
所以在内存在，使得，
综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程解的个数问题，然后构造函数，利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
3．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据导数的几何意义可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为的定义域为，且，
由题意可得：，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2023·上海·统考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则的范围是____________．
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．
【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为
因为，所以切线方程为：．
又切线过，则，即
则由题可知函数图象与直线有两个交点，
由得，由得
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，又，，，．
据此可得大致图象如下．

则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．
故答案为：.
5．（2023·山东烟台·统考三模）若曲线与曲线有两条公切线，则的值为________．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可．
【详解】令，，则，，
设，则曲线在处切线为，
设，则曲线在处切线为，
由题意，消去得，
由题意，方程有两个不同的实数根，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故当时，取极大值；当时，取极小值，
又当时，根据以上信息作出的大致图象，

由图可知当，即时，直线与的图象有两个交点，从而方程有两个不同的实数根，
所以，曲线与曲线有两条公切线时，的值为．
故答案为：．
【点评】
应用导数的几何意义求参数问题中，根据参数所处的位置，主要有三类，一是参数位于切点坐标，二是参数在切线方程中，三是参数在曲线方程中；从解法上看，主要是利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等，得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．应特别注意的是：(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
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单调性问题中求参数问题
6．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出，由题意在上有解，再转化为求新函数的最小值．
【详解】由已知在上有解，
即在上有解，
设，则在上恒成立，因此在上是增函数，
，
所以，
故选：D．
7.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对任意的，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，根据题意可知，函数在上单调递减，即在上恒成立，分离参数得在上恒成立，再求出函数在上的上限，即可得解．
【详解】因为对任意的，，且，都有成立，
即对任意的，，且，都有成立，
令，
所以对任意的，，且，都有成立，
所以在上单调递减，
则在上恒成立，即在上恒成立，
易知在上，对于，则，即递减，
所以，即，即，
故，解得，所以实数a的取值范围是．
故选：A．
8．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为_________.
【答案】2(答案不唯一)
【分析】根据函数在上不是单调函数利用导数确定，再由函数图象夹在两直线之间由正弦函数性质列出不等式组求解，即可得解.
【详解】由，则，
因为的最大最小值必在中取得，且在上不是单调函数，
所以必有，解得，
由图象完全位于直线与之间，
所以且，
即恒成立，所以，
综上，.
故答案为：2(答案不唯一)
9．（2023春·北京丰台·高二统考期末）已知函数在区间上单调递增，则m的最大值为__________.
【答案】1
【分析】求出函数的导数，令可求得函数的单调增区间，结合题意即可求得答案.
【详解】由于函数，故，
令，等号仅在时取得,
而，故，
即在上单调递增，
故函数在区间上单调递增，则m的最大值为1，
故答案为：1
10．（2023·全国·高三对口高考）函数在区间内单调递减，且在区间及内单调递增，则实数p的取值集合是__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得是函数的极值点，再借助导数求解并验证作答.
【详解】因为函数在内单调递减，在及内单调递增，
因此分别是函数的极大值、极小值点，而，
于是，且，解得，此时，
当时，，当或时，，
因此函数在内单调递减，在及内单调递增，符合题意，
所以实数p的取值集合是.
故答案为：
11.（2023·全国·高三对口高考）已知函数，其中a为常数，且．
(1)若，求函数的极值点；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把代入, 求出函数的导数，再利用导数确定函数的极值点作答.
（2）求出函数的导数，把函数在上递减问题转化为恒成立的不等式求解作答.
【详解】（1）当时，函数的定义域为R，求导得，
由，得，当或时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点.
（2）函数，求导得，
因为函数在区间上单调递减，则，不等式恒成立，
当时, , 显然，恒成立，因此；
当时, 不等式等价于，
而，则不等式等价于，
令，显然函数在上单调递增，，
而，恒成立，等价于，恒成立，
因此，又，解得，于是，
所以实数的取值范围为.
12．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数
(1)若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.
(2)探究：是否存在正数a，使得在上单调递增，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）令，得出，构造函数再求导，根据函数有两个零点求出的范围.
（2）求对求导，当时，利用放缩得到，然后对分类讨论，求出a的值.
【详解】（1）由已知，令，则，
令，则，
故当时，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
因为，所以，
因为函数在上有两个零点，
所以方程在上有两个实根，所以，
故实数a的取值范围为.
（2）依题意，
，
则
当时，
若，当时，，单调递减，不合题意；
若，时，同理可得，，
当时，，单调递诚，不合题意；
若时，，
令，则.
①当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
②当时，若，
则，
若，，
所以在上单调递减，即在上单调递减.
由①②可知，，当且仅当时取等号，
所以当时，函数在上单调递增.
【点评】
1.单调性问题中求参数（范围）问题，一般有四类，一类是根据单调区间求参数，二类是根据函数的单调性求参数，三类是根据函数不是单调函数求参数，四类是函数存在单调区间．而参数处的位置有两种，参数在函数式中，参数在区间端点处，处理方法有所不同.
2.由函数的单调性求参数的取值（范围）的方法
(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
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函数极值、最值中的求参数（范围）问题
13．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出图形，求出使得的的值，根据函数在区间上有最小值可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则.
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得，
所以，整数的取值集合为.
故答案为：（答案不唯一，、均可）.
14．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】首先根据题意得到，从而得到，再分类讨论其单调性即可得到答案.
【详解】，
因为是的极小值点，所以，解得.
所以
.
当时，，
，，为减函数；，，为增函数，
所以是的极小值点，符合条件.
当时，令，解得或.
当时，，，为增函数；
，，为减函数；
，，为增函数，
所以是的极小值点，符合条件.
当，即时，，
则在R上为减函数，无极值点，舍去.
当时，即，
，，为减函数；
，，为增函数；
，，为减函数，
所以是的极大值点，舍去.
当时，即，
，，为减函数；
，，为增函数；
，，为减函数，
所以是的极小值点，符合条件.
综上，a的取值范围为.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若，函数在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求得在点处的切线方程；
（2）求得，①当时，取得，求得在上递减，在上递增，不符合题意；②当时，令，根据和两种情况讨论，分别求得函数的单调区间，求得函数的极值，进而求得的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，可得，
则，即切线的斜率为，切点坐标为
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）解：由函数，其中，可得，
①当时，，此时，令，解得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，不符合题意；
②当时，令，则，
（i）若，即时，则对，，
即恒成立，此时在上无极值，不符合题意；
（ii）若，即，则图象的对称轴为，
所以在上单调递增，
因为，由函数单调性和零点存在性定理得，在上存在唯一的实数，使得，此时，
当时，，即；
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以仅在处取得极小值，极小值为，
因为在上单调递减，且，所以，符合题意.
综上，实数的取值范围为.
16.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
【答案】(1)极大值为9，无极小值
(2)
【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；
（2）求得函数的导函数，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得，当时，，
则，
令，得，，
，在内随x变化而变化的情况如下表所示：
故在内的极大值为9，无极小值；
（2），
①当时，，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递增，
所以在上，，
由题意，则，解得，与矛盾，
②当时，，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递减，
所以在上，，符合题意，
③当时，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以在上，，
由题意，则，即，即，
即，解得或，与矛盾，
综上，实数a的取值范围为．
【点评】
1.由函数极值（个数）求参数值（范围）：讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
2.【特别提醒】已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
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零点问题中求参数（范围）问题
17．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数，若方程有两个实根，且两实根之和小于0，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出与的图像，对k分类，数形结合得答案.
【详解】，易知方程总有一个实根为0，
当时，，，方程没有非零实根.
当时，当时，，；当时，，，
在上单调递减，在上单调递增
如图所示，作出两函数的大致图像，可知坐标原点为两个图像的公共点.
当时，，，
，，与的图像在原点处相切，
当时，，，
，，与的图像在原点处相切，
此时方程仅有一个实根0.
结合图像可知，当时，方程另有一正根，不合题意；
当时，方程另有一负根，符合题意.
故满足条件的的取值范围是.
故选：C.
18.（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，若有3个不同的解，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】对函数变形得，令，利用导数可求得，则将问题转化为有3个不同的解等价于有两个解，且，，然后利用一元二次方程根的分布可求得结果.
【详解】，
令，则，
∴当或时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
则，可得函数的大致图象，
所以有3个不同的解等价于有两个解，且，，
整理可得，
∴根据根的分布，得，
解得，则a的取值范围是．
故选：A．

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是通过对函数变形换元，将问题转化为有3个不同的解等价于有两个解，且，，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.
19.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数有两个大于1的零点，得在不单调，然后利用导数研究函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数有两个大于1的零点，所以在不单调.
由得，
当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合题意；
当时，显然在上单调递增，而，
当时，当时，，所以在上单调递增，不符合题意，此时可排除ABC；
当时，因为，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值.
而，当趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以当函数有两个大于1的零点时，只要即可，
，
设，则，所以单调递增；
设，则，当时，，单调递减；
对于D，当时，由知，
当时，，所以，满足题意；
故选：D.
20.（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数．
(1)若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求导，令，求出a的值；
（2）运用同构的思想构造函数，对求导判断出的单调性，根据单调性求解.
【详解】（1）函数定义域为，，
在处取得极值，则，
所以，
此时，
令 ，，则，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，
且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增；
故的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）依题意即在上有两个根，
整理为，
即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，
所以只需在上有两个根，
令，，则，
当时，，当时，，
故在处取得极大值即最大值，，
且当x趋于时趋于，当x趋于-1时趋于，
要想在上有两个根，只需，解得，
所以的取值范围为；
综上，（1），的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）的取值范围为.
21.（2023·天津河西·统考一模）已知函数
(1)当时，
①求曲线的单调区间和极值；
②求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)①函数的单调递增区间为，单调递增区间为；的极大值为，无极小值；
②
(2)
【分析】（1）①求函数的定义域和导函数，解方程，分区间研究导数的正负，由此确定函数的单调性和极值；
②利用导数的几何意义，求切线的斜率，结合点斜式即可求切线方程；
（2）首先求函数的导函数可得，讨论，和两种情况研究函数的单调性结合零点存在性定理确定函数的零点个数由此确定的取值范围.
【详解】（1）①当时，，
函数的定义域为，，
令得．
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
函数在时取极大值，极大值为，无极小值．
②由（i）可知当，．
则所求切线方程为，
即．
（2）由已知可得，方程在内有两个不等实根，
设，
则函数定义域为且，
．
当，即时，
若，则，单调递增；
若，则，单调递减，
所以，则所求方程只有一个解，不符合题意，舍去．
当，即时．，
①当，即时，
若，则，单调递减；若，则，单调递增，
【点评】
1.函数零点问题中求参数（范围）问题，有根据零点个数或根据零点所在区间.从处理方法看，有数形结合法、构造函数法、等价转化法、分离参数法等，应具体问题具体分析.关键是根据函数的零点或方程的根的情况建立关于相关参数的不等式(组)或方程(组)．
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不等式恒成立问题中求参数（范围）
22．（2023·全国·高三专题练习）函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式变形为，引入新函数，，利用导数判断函数的单调性，
利用单调性化简不等式可得，取对数，变形为，再引入新函数，x∈（0，+∞），求得它的最大值即可得参数范围．
【详解】因为，对恒成立，
又，
所以，即，
即，
令，，
∴，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
∴恒成立，
∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，
所以，即，即恒成立，
令，，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极大值即最大值.，
所以.
故选：A.
23.（2022·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函数，.
(1)若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数a的值；
(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)2
(2)[ ， +∞）
【分析】（1）分别求得和，根据，列出方程，即可求解；
（2）将不等式变形转化为，构造函数，，利用导数求得函数单调性和最值，即可求出实数的取值范围．
【详解】（1）依题意，，，
则，，
因为在点,处的切线与在点,处的切线互相平行，
所以，又因为，所以
（2）由，得，
即，即，
设，则，，
由，设，可得，
所以时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以,
所以在上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，故，
所以实数的取值范围为．
24．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递减，在单调递增
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）依题意即存在使成立，令，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，求出函数在的最小值，只需最小值小于即可.
【详解】（1）函数的定义域为，且，
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，令得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在单调递增.
综上可得：当时在上单调递增，
当时在上单调递减，在单调递增.
（2）的定义域为，由，整理得，
即存在使成立，
令，，
则
因为，所以，令，则.
因为，
所以，若，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，
只需，解得.
若，即时，在上恒成立，所以在上单调递减，
只需，不成立.
若，即时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上的极小值为，
只需，即，
而当时，，，所以不成立.
综上可得的取值范围为.
【综合点评】
利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法.
x
1
+
0
单调递增
极大值9
单调递减