(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第5章 第4讲　第2课时　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)

A．   B．

C．π  D．2π

解析：选C．因为y＝2＝

2sin，所以T＝＝π.

2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝(　　)

A．0  B．3

C．－1  D．－2

解析：选A．因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，

即tan b＋sin b＝1.

所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1

＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.

3．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选C．因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，

由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.

4．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在上单调递减

解析：选D．函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．

5．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)

A．关于点对称  B．关于点对称

C．关于直线x＝对称  D．关于直线x＝对称

解析：选B．函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝π.函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心.

6．若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．

解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2.

答案：2

7．(2020·无锡期末)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos；④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为________．

解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②y＝cos 2x，最小正周期为π，由图象知y＝|cos 2x|的最小正周期为；③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan 2x的最小正周期T＝.因此①③的最小正周期为π.

答案：①③

8．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．

解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，

所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.

答案：

9．已知函数f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．

解：因为f(x)＝2cos2＋2sin·sin

＝cos＋1＋2sinsin

＝cos＋2sincos＋1

＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1

＝sin 2x－cos 2x＋1

＝sin＋1，

所以f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.

10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.

(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；

(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．

解：由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，

所以f(x)＝sin(2x＋φ)．

(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．

所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，

展开整理得sin 2xcos φ＝0，

已知上式对∀x∈R都成立，

所以cos φ＝0.因为0<φ<，所以φ＝.

(2)因为f＝，所以sin＝，

即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，

又因为0<φ<，所以φ＝，

即f(x)＝sin，

由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得

kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

[综合题组练]

1．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法错误的是(　　)

A．f(x)的周期是

B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}

C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴

D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z

解析：选ABC．函数f(x)＝的周期T＝＝2π，故A错误；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误；

当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即x＝不是f(x)图象的对称轴，故C错误；

令kπ－<x－≤kπ，k∈Z，解得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故D正确．故选ABC．

2．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)在上是减函数

B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0

C．f(x)≥1的解集是，k∈Z

D．f(x)图象的一个对称中心是

解析：选D．由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．选D．

3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为，则f的值为________．

解析：由于f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin为偶函数，可得φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，由于0<φ<π，可得φ＝，又其图象的两条相邻对称轴间的距离为，则最小正周期T＝×2＝π，可得ω＝＝2，则有f(x)＝2sin＝2cos 2x，可得f＝.

答案：

4．(2020·江西赣州摸底改编)已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

解析：函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.则f＝sin＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

答案：　，k∈Z

5．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f(x)在上的单调性．

解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.

6．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.

(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．

解：(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.

(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，

所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.

又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.

所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，

所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，

又f(x2)＝sin＝，

故cos(x1－x2)＝.