(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第2章 第2讲　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．不等式(x－2)(2x－3)<0的解集是(　　)

A．∪(2，＋∞)  B．R

C．  D．∅

解析：选C．因为不等式(x－2)(2x－3)<0，

解得<x<2，

所以不等式的解集是.

2．不等式<1的解集是(　　)

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(－1，1)

解析：选A．因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1.

3．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－，或x>}，则的值为(　　)

A．  B．

C．－  D．－

解析：选A．由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.

4．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集是(　　)

A．∪

B．

C．∪

D．

解析：选A．由f(x)>0，得ax2＋(ab－1)x－b>0，又其解集是(－1，3)，

所以a<0，且

解得a＝－1或a＝(舍去)，

所以a＝－1，b＝－3，所以f(x)＝－x2＋2x＋3，

所以f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－.

5．若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．[－1，4]  B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)  D．[－2，5]

解析：选A．x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.

6．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．

解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2.

答案：{x|0<x<2}

7．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________．

解析：原不等式可化为(x－a)<0，由0<a<1得a<，所以a<x<.

答案：

8．(创新型)规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为非负实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是________．

解析：因为定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为非负实数)，1⊙k2<3，所以＋1＋k2<3，

化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.

答案：(－1，1)

9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.

(1)求实数a的值；

(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．

解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入方程解得a＝－2.

(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，

即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－3<x<，即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为.

10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，

F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

解：(1)因为f(x)最小值是f(－1)＝0，且c＝1，

所以，得，

所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，

因为F(x)＝，

所以F(2)＋F(－2)＝8.

(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0，1]恒成立，

即b≤－x且b≥－－x在x∈(0，1]恒成立，根据单调性可得－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，

所以－2≤b≤0.

[综合题组练]

1．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　)

A．b<0且c>0

B．a－b＋c>0

C．a＋b＋c>0

D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)

解析：选ABD．对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所在－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；令f(x)＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a＋b＋c＝0，所以C错误，对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)，所以D正确．

2．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)

A．[－4，1]  B．[－4，3]

C．[1，3]  D．[－1，3]

解析：选B．原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.

3．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．

解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)．

答案：[2，8)

4．(2020·河南郑州联考改编)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则b＝________；若对于任意x∈[－1，0]，不等式f(x)＋t≤4恒成立，则实数t的取值范围是________．

解析：由不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，可知－1和3是方程－2x2＋bx＋c＝0的根，即解得所以f(x)＝－2x2＋4x＋6.所以不等式f(x)＋t≤4可化为t≤2x2－4x－2，x∈[－1，0]．

令g(x)＝2x2－4x－2，x∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g(x)在[－1，0]上单调递减，则g(x)的最小值为g(0)＝－2，则t≤－2.

答案：4　(－∞，－2]

5．(应用型)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

解：(1)由题意得，y＝100·100.

因为售价不能低于成本价，

所以100－80≥0，解得0≤x≤2.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为{x|0≤x≤2}．

(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范围是.

6．(综合型)(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2.

(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；

(2)求证：x1<－1且x2<－1；

(3)如果∈，试求a的取值范围．

解：(1)因为关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

则(1＋x1)(1＋x2)＝1＋x1＋x2＋x1·x2＝1－＋＝1.

(2)证明：由Δ≥0，得0<a≤.

设f(x)＝ax2＋x＋1，则f(x)的对称轴与x轴交点横坐标x＝－≤－2，

又由于f(－1)＝a>0，

所以f(x)的图象与x轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，

故x1<－1且x2<－1.

(3)由⇒＝＋＋2＝.

因为∈，

所以＝＋＋2∈⇒a∈.

又⇒0<a≤，

所以a的取值范围为.