(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第4章 第1讲　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．(多选)下列求导数运算正确的有(　　)

A．(sin x)′＝cos x　　　　　 B．′＝

C．(log3x)′＝  D．(ln x)′＝

解析：选AD．因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以AD正确．

2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)

A．3  B．2

C．1   D．

解析：选A．因为y′＝－，令y′＝，解得x＝3，即切点的横坐标为3.

3．已知函数f(x)可导，则 等于(　　)

A．f′(x)  B．f′(2)

C．f(x)  D．f(2)

解析：选B．因为函数f(x)可导，

所以f′(x)＝ ，

所以 ＝f′(2)．

4．函数g(x)＝x3＋x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选B．当x＝1时，g(1)＝1＋＋b＝＋b，

又g′(x)＝3x2＋5x＋，

所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，

从而切线方程为y＝11x－5，

由于点在切线上，所以＋b＝11－5，

解得b＝.故选B．

5．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)

解析：选D．由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A、C．又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x) 与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故排除B．

6．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．

解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，

所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.

答案：1＋e

7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________．

解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.

答案：－2　y＝1

8．(2020·江西重点中学4月联考)已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．

解析：y′＝－＋，当x＝1时，y′＝－1＋.由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以·＝－1，解得a＝.

答案：

9．求下列函数的导数：

(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；

(2)y＝sin(1－2cos2)；

(3)y＝.

解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)

＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，

所以y′＝18x2－10x－4.

(2)因为y＝sin(－cos)＝－sin x，

所以y′＝(－sin x)′＝－(sin x)′＝－cos x.

(3)y′＝＝

＝.

10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．

(1)求P0的坐标；

(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．

解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.

令3x2＋1＝4，解得x＝±1.

当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.

又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．

(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，

所以直线l的斜率为－.

因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，

所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，

即x＋4y＋17＝0.

[综合题组练]

1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A．－1  B．0

C．3  D．4

解析：选B．由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.

2．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是(　　)

A．f(x)＝x2  B．f(x)＝e－x

C．f(x)＝ln x  D．f(x)＝tan x

解析：选AC．对于A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，这个方程显然有解，得x＝0或x＝2，故A符合要求；对于B，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，B不符合要求；对于C，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C符合要求；对于D，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D不符合要求．

3．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　)

A．26  B．29

C．212  D．215

解析：选C．因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，

所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.

因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.故选C．

4．(2020·湖北武汉4月调研)设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C．y′＝12x3－6x2－18x，则y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，

所以曲线y＝3x4－2x3－9x2＋4在点M(1，－4)处的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.联立解得

或或

故切线与曲线C还有其他的公共点(－2，32)，，

所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C

5．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1)由题意得

解得b＝0，a＝－3或a＝1.

(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，

即4a2＋4a＋1>0，

所以a≠－.

所以a的取值范围为∪.

6．已知抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．

(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，

则y1＝kx1，①

y1＝－x＋x1－4，②

将①代入②得x＋x1＋4＝0.

因为P为切点，

所以Δ＝－16＝0，得k＝或k＝.

当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.

当k＝时，x1＝2，y1＝1.

因为P在第一象限，

所以k＝.

(2)过P点作切线的垂线，

其方程为y＝－2x＋5.③

将③代入抛物线方程得，

x2－x＋9＝0.

设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，

所以x2＝，y2＝－4.

所以Q点的坐标为.