(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第5章 第4讲　第1课时　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是(　　)

A．[－，]　　　　　　 B．[0，π]

C．[π，]  D．[，2π]

解析：选D．将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D．

2．当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为(　　)

A．　　　　　　　 B．

C．   D．

解析：选C．法一：由题意得所以函数y的定义域为.故选C．

法二：当x＝π时，函数有意义，排除A，D；当x＝时，函数有意义，排除B．故选C．

3．函数f(x)＝cos 2x＋sin xcos x．则下列表述正确的是(　　)

A．f(x)在上单调递减

B．f(x)在上单调递增

C．f(x)在上单调递减

D．f(x)在上单调递增

解析：选D．f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin，

由2x＋∈，k∈Z，

解得x∈，k∈Z，

当k＝0时，x∈，

所以函数f(x)在上单调递增，故选D．

4．已知函数f(x)＝cos2x＋sin2，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π

B．f(x)的最小正周期为2π

C．f(x)的最大值为

D．f(x)的最小值为－

解析：选A．f(x)＝＋＝＋cos 2x＋－＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin＋1，则f(x)的最小正周期为π，最小值为－＋1＝，最大值为＋1＝.

5．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是(　　)

A．   B．

C．  D．π

解析：选C．由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝

sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0＜m≤，即m的最大值为，故选C．

6．比较大小：sin________sin.

解析：因为y＝sin x在上为增函数且－＞－>－，故sin＞sin.

答案：＞

7．已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________．

解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，

得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

又因为x∈[－π，0]，

所以f(x)的单调递增区间为和.

答案：和

8．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．

解析：f(x)＝sin(2x＋)－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝1－2cos2x－3cos x＝－2＋，因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－4.

答案：－4

9．已知f(x)＝sin.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．

解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.

10．已知函数f(x)＝sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域．

解：令－≤2x－≤，则－≤x≤.

令≤2x－≤π，则≤x≤.

因为－≤x≤，

所以f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．

当x＝时，f(x)取得最大值为1.

因为f＝－<f＝，

所以当x＝－时，f(x)min＝－.

所以f(x)的值域为.

[综合题组练]

1．(2020·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝2sin

在区间上单调递增，则ω的最大值为(　　)

A．  B．1

C．2  D．4

解析：选C．法一：因为x∈，所以ωx＋∈，因为f(x)＝2sin在上单调递增，所以＋≤，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C．

法二：将选项逐个代入函数f(x)进行验证，选项D不满足条件，选项A、B、C满足条件f(x)在上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C．

2．(多选)已知函数f(x)＝(x－a)k，角A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，则下列判断正确的是(　　)

A．当k＝1，a＝2时，f(sin A)>f(cos B)

B．当k＝1，a＝2时，f(cos A)＞f(sin B)

C．当k＝2，a＝1时，f(sin A)＞f(cos B)

D．当k＝2，a＝1时，f(cos A)＞f(sin B)

解析：选AD．A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，因为A＋B＞，所以＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，cos A＜cos＝sin B，且sin A，sin B，cos A，cos B∈(0，1)．

当k＝1，a＝2时，函数f(x)＝x－2单调递增，所以f(sin A)＞f(cos B)，f(cos A)＜f(sin B)，故A正确，B错误；

当k＝2，a＝1时，函数f(x)＝(x－1)2在(0，1)上单调递减，所以f(sin A)＜f(cos B)，f(cos A)＞f(sin B)，故C错误，D正确．

3．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

解析：由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝.

答案：

4．(创新型)(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－ cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________．

解析：化简f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin＋1，所以，函数f(x)的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为，最小值点为，

所以只需解得m≥.

答案：

5．已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.

解：(1)f(x)＝cos－2sin xcos x

＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x

＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

所以T＝＝π.

(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，

所以－≤2x＋≤，

因为y＝sin t在上单调递增，

在上单调递减，且sin＜sin，

所以f(x)≥sin＝－，得证．

6．已知f(x)＝2sin＋a＋1.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；

(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．

解：(1)f(x)＝2sin＋a＋1，

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)当x＝时，f(x)取得最大值4，

即f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，所以a＝1.

(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，

可得sin＝－，

则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，

即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，

又x∈[－π，π]，

解得x＝－，－，，，

所以x的取值集合为.