(新高考)高考数学一轮复习过关练考点19 数列通项与求和与通项（含解析）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习过关练考点19 数列通项与求和与通项（含解析），共28页。试卷主要包含了 掌握数列通项的几种常用方法， 掌握数列求和的几种常用方法等内容，欢迎下载使用。

考点19 数列通项与求和与通项
考纲要求



1. 掌握数列通项的几种常用方法:归纳法、累加法、累积法、转化法等方法来求数列的通项公式 .
2. 掌握数列求和的几种常用方法:公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法,能熟练地应用这些方法来求数列的和
近三年高考情况分析



数列的求和是高考重点考查的内容之一，考查的形式往往是体现在综合题型中，作为考查的内容之一。近几年主要考察了运用错位相减法求数列的和。

考点总结




数列的通项公式是数列的本质属性之一,它是研究数列的相关性质的一个重要支撑点,因此,学习数列首要的就是要能根据不同的条件求数列的通项公式;数列的前 n 项和既是数列的基本问题之一,同时,也与数列的通项存在着必然的联系,也是学习数列时,必须要掌握的重要知识点 .关于数列的通项公式,学习中要紧紧围绕着求通项的方法进行,求数列的通项,大致可有以下四类:
1. 应用不完全归纳法,即根据数列的前几项来寻找规律,归纳通项或其中某项;
2. 应用 S n 与 a n 的关系,求解通项;
3. 应用“累加法”“累积法”等课本上常见方法求解通项;
4. 构造新数列,即把其他数列转化为等差、等比数列来加以解决,此种方法在很多考题中都有所体现 关于数列的前 n 项和的求解,要紧紧抓住通项,分析其特征,由此来选择适当的求和方法,把问题转化成最基本的数列求和 . 常考的求和方法有:等差数列和等比数列的公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等
三年高考真题





1、【2020年北京卷】在等差数列中，，．记，则数列（ ）．
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
2、【2020年全国2卷】数列中，，，若，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
3、【2020年山东卷】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
4、【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=___________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
5、【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________．
【答案】4
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因，所以，即，
所以．
6、【2018年高考全国I卷理数】记为数列的前项和，若，则___________．
【答案】
【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是.
7、【2018年高考江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为___________．
【答案】27
【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数列|中，25前面有16个正奇数，即.当n=1时，，不符合题意；当n=2时，，不符合题意；当n=3时，，不符合题意；当n=4时，，不符合题意；……；当n=26时，，不符合题意；当n=27时，,符合题意.故使得成立的n的最小值为27.
8、【2020年全国1卷】.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
9、【2020年全国3卷】设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【解析】（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
10、【2020年天津卷】已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
11、【2020年山东卷】已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）由于，所以
对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个.
所以.
12、【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），.
【解析】（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．
13、【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．
【答案】（1）；（2）（i）（ii）
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．
所以，的通项公式为的通项公式为．
（2）（i）．
所以，数列的通项公式为．
（ii）


．
14、【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得
，
解得．
从而．
所以，
由成等比数列得
．
解得．
所以．
（2）．
我们用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
（ii）假设时不等式成立，即．
那么，当时，
．
即当时不等式也成立．
根据（i）和（ii），不等式对任意成立．
15、【2018年高考全国III卷理数】等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）设的公比为，由题设得.
由已知得，解得（舍去），或.
故或.
（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.
若，则.由得，解得.
综上，.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题.
16、【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
（1）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（2）设，数列前n项和为.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.

二年模拟试题




题型一、数列的通项
1、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据题中定义可得，
即，即，
等式两边同时除以，得，且，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
因此，.
故选：B.
2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由知，，故为非负数列，又，即
，所以，设，则，
易知在单调递减，且，又，所以，
，从而，所以为递减数列，且，故B、C错误；
又，故当时，有，所以
，故D错误；又，而
，故A正确.
故选：A.

3、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的通项公式_______
【答案】
【解析】设数列公差为，由已知得，解得．
∴．
故答案为：．

4、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的通项公式
【答案】(1) ．(2)
【解析】
（1）设等差数列首项为，公差为．
由已知得，解得．
于是．
（2）当时，．
当时，，
当时上式也成立．
于是．
故．
5、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：
（1）；
（2）数列的前项和.
【答案】（1） ， （2）
【解析】
（1）设的公比为q.
因为成等差数列，
所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
因此.
由题意，.
所以，
，从而.
所以的公差.
所以.
（2）令，则.
因此.
又
两式相减得


.
所以.
6、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
【答案】(I) ，；(II)
【解析】
(I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
7、（2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考）已知数列满足：（常数），（，）.数列满足：（）.
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在k，使得数列的每一项均为整数？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】（1）由已知得，，
所以，.
（2）由条件可知：（），①
所以（）.②
①②得.
即：.
因此：，
故（），又因为，，
所以.
（3）假设存在k，使得数列的每一项均为整数，则k为正整数.
由（2）知（，2，3…）③
由，，所以或2，
检验：当时，为整数，
利用，，结合③，各项均为整数；
当时③变成（，2，3…）
消去，得：（）
由，，所以偶数项均为整数，
而，所以为偶数，故，故数列是整数列.
综上所述，k的取值集合是.

题型二、数列的求和
1、（北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末数学试题）等差数列中，若，为的前项和，则（ ）
A．28 B．21 C．14 D．7
【答案】C
【解析】
等差数列中，若，则则
故选：C
2、（北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年上学期期中）已知是等差数列( )的前项和，且,以下有四个命题：
①数列中的最大项为 ②数列的公差
③ ④
其中正确的序号是（ ）
A．②③ B．②③④ C．②④ D．①③④
【答案】B
【解析】
∵，∴，∴
∴数列中的最大项为，
，
∴正确的序号是②③④
故选B
3、（北京市西城区第八中学2019-2020学年上学期期中）设等差数列的前n项和为，若，则(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】是等差数列


又，
∴公差，
，故选C．
4、（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是( )
A．S2019 C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】AB
【解析】
当时，，不成立；
当时，，不成立；
故，且，故，正确；
，故正确；
是数列中的最大值，错误；
故选：
5、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列中，，其前项和满足，则__________；__________.
【答案】
【解析】
（1）由题：，令，
，
得：，所以；
（2）由题，
，化简得：
，
，
是一个以2为首项，1为公差的等差数列，
，，
故答案为：(1). (2).
6、（2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考）设为数列的前n项和，若（），且，则的值为______.
【答案】1240
【解析】当时，，，可得，
当时，由，得，
∴，即，
∴数列是首项，公差为6的等差数列，
∴，
故答案为：1240.
7、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）等比数列的相邻两项，是方程的两个实根，记是数列的前项和，则________．
【答案】．
【解析】
因为，是方程的两个实根，
则由韦达定理得，，，
因为数列是等比数列，则数列的公比，又，所以首项，故
所以，
故数列是以为首项，4为公比的等比数列，
所以．
故答案为：
8、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.
(1)求;
(2)设，求的前项和.
【答案】（1）.（2）
【解析】
(1)设数列的公差为，
由题意知: ①
又因为成等比数列，
所以，
，
，
又因为，
所以. ②
由①②得，
所以，
， ，，
.
(2)因为，
所以


所以数列的前项和.
9、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）存在，
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，
由得，解得，
；
（2），
， ，
若，则，整理得，
又，，整理得，
解得，
又，，，
∴存在满足题意．
10、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）因为,,
所以,,
两式相减得,
整理得,
即,,所以为常数列,
所以,
所以
（2）由（1）,,
所以

两式相减得：
，
，
化简得
11、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）设数列的公比为，∵，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：.
∴，
∴.
（2），
∴

.
12、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，
解得.
所以.
（Ⅱ）因此.
所以，
，
相减得
.
故：.
13、（2020·浙江高三）已知等比数列{an}（其中n∈N*），前n项和记为Sn，满足：，log2an+1＝﹣1+log2an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an•log2an}（n∈N*）的前n项和Tn．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q，
∵log2an+1＝﹣1+log2an，
∴，∴．
由，得，解得．
∴数列{an}的通项公式为．
（2）由题意，设bn＝an•log2an，则．
∴Tn＝b1+b2+…+bn
故，
．
两式相减，可得．
∴．
14、（江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)）在公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，，，成等比数列得：，
解得或（舍去），
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，所以，
所以， ①
， ②
①-②得：
，
所以.