(新高考)高考数学一轮复习过关练考点18 等差数列与等比数列的基本量（含解析）

考点18 等差数列与等比数列的基本量

1. 理解等差数列、等差中项的概念,掌握等差数列的通项公式、前 n 项和的公式,能运用公式解决一些简单问题 .

2. 能在具体的情境中识别数列的等差关系,并能运用有关的知识解决问题 . 了解等差数列与一次函数的关系及等差数列的前 n 项和的公式与二次函数的关系 .

3. 理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式、前 n 项和的公式,能运用公式解决一些简单问题 .

4. 能在具体的情境中识别数列的等比关系,并能运用有关的知识解决问题 . 了解等比数列与指数函数的关系

等比数列是高考中的 C 级要求,它作为一种特殊的数列,也是一种基本的数列形式,是高考命题的热点与难点 . 考查形式主要有两种:一是考查等比数列的概念,二是公式、性质的直接应用及等比中项的间接应用 . 解题中,要紧紧抓住以下几个方面:

1. 深刻理解并应用好它的定义 . 在理解定义时,要紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点 .

2. 高效、灵活地应用好的通项公式及前 n 项和公式,进行科学的计算 . 在等比数列中有五个量 a 1 ,q , n , a n , S n ,当知道其中三个量就可以求出其余的两个量,即“知三求二”,要求能根据不同的问题合理选用不同的公式,恰当应用它们,做到运算简单、合理、有效,运算量小 . 为此,就得合理地应用好两种基本方法“基本量法”与“对称性”法 . 另外,对于利用等比数列的前 n 项和公式时,要注意判断它的公比 q 是否等于 1 ,否则就容易导致出错 .

3. 合理应用好等比数列的相关性质,等比数列的相关性质主要有两个方面 . 一是“通项”的性质;二是“和”的性质 .

4. 处理好一类问题 . 在高考命题中,经常借助于数列的通项与前 n 项和的关系来命题问题,这是高考数列命题的热点,近几年中,江苏省高考多次在这方面进行命题,今后,还会在这方面进行命题 .

等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是高考中数列考查的重中之重,值得关注 . 考查的形式主要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合 . 在复习中,要紧抓以下几个方面 :

1. 关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的“对称性”;

2. 领悟等差数列、等比数列的两类本质:等差数列、等比数列是两类特殊数列,又是两类特殊的函数,这种双重身份,注定它们必然是高考中的重点、难点,故而,学习中,要从“函数”及“数列”这两个方面来认识它们;

3. 两类数学思想:分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思想

1、【2020年全国2卷】数列中，，，若，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故选：C.

2、【2020年浙江卷】已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ）

A. 2a4=a2+a6 B. 2b4=b2+b6 C.  D.

【答案】D

【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；

对于B，由题意可知，，，

∴，，，．

∴，．

根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；

对于C，，

当时，，C正确；

对于D，，，

．

当时，，∴即；

当时，，∴即，所以，D不正确．

故选：D

3、【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则

A．  B． 

C．  D．

【答案】A

【解析】由题知，，解得，∴，,故选A．

4、【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则

A．16  B．8 

C．4  D．2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.

5、【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则

A． 当 B． 当

C． 当 D． 当

【答案】A

【解析】①当b=0时，取a=0，则.

②当时，令，即.

则该方程，即必存在，使得，

则一定存在，使得对任意成立，

解方程，得，

当时，即时，总存在，使得，

故C、D两项均不正确.

③当时，，

则，

.

（ⅰ）当时，，

则，

，

，

则，

，

故A项正确.

（ⅱ）当时，令，则，

所以，以此类推，

所以，

故B项不正确.

故本题正确答案为A.

6、【2018年高考全国I卷理数】设为等差数列的前项和，若，，则

A．            B．

C．            D．

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，

整理解得，所以，故选B．

7、【2020年浙江卷】已知数列{an}满足，则S3=________．

【答案】

【解析】因为，所以．

即．

故答案为：.

8、【2020年江苏卷】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.

等差数列的前项和公式为，

等比数列的前项和公式为，

依题意，即，

通过对比系数可知，故.

故答案为：

9、【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________．

【答案】4

【解析】设等差数列{an}的公差为d,

因，所以，即，

所以．

【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．

10、【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________．

【答案】 0，.

【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,

由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.

11、【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是___________．

【答案】16

【解析】由题意可得：，

解得：，则.

【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.

12、【2018年高考全国I卷理数】记为数列的前项和，若，则___________．

【答案】

【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是

13、.【2020年全国1卷】.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，

，

；

（2）设前项和为，，

，①

，②

①②得，

，

.

题型一   等差数列及性质

1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】C

【解析】

∵a1=12，S5=90，

∴5×12+ d=90，

解得d=3．

故选C．

2、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知数列满足且，则（    ）

A．-3 B．3 C． D．

【答案】B

【解析】

,∴数列是以2为公差的等差数列，

，

，，，

故选：B.

3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【解析】

由已知，得，

故选：C.

4、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.

5、（北京市西城区第四中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题）设数列{an}是等差数列，若a3+a4+a5＝12，则a1+a2+…+a7＝（    ）

A．14 B．21 C．28 D．35

【答案】C

【解析】数列{an}是等差数列，则；

故选：

6、（2020届北京市昌平区新学道临川学校上学期期中）已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（   ）

A.             B.              C.               D.

【答案】C

【解析】由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，所以，故选C.

7、（北京师范大学附属实验中学2019--2020学年上学期10月月考）等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由等差数列的性质及求和公式得，,，故选C.

8、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】

，，，，.

，.

故选：D.

9、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在等差数列（）中，若，，则的值是______.

【答案】-15

【解析】数列是等差数列，，又，，

，故.

故答案为：

10、（2020届江苏省启东市高三下学期期初考）已知等差数列的前n项和为Sn，若，则____.

【答案】

【解析】由等差数列的性质可得：，，成等差数列，

可得：，代入，

可得：，

故答案为：.

11、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前n项和为．若，，则________，的最大值为________．

【答案】4    42   

【解析】

∵数列是等差数列，∵，∴，，

又，，，

，

,

∴当或时，有最大值42.

故答案为：（1）4；（2）42.

12、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列中，，其前项和满足，则__________；__________.

【答案】       

【解析】

（1）由题：，令，

，

得：，所以；

（2）由题，

，化简得：

，

，

是一个以2为首项，1为公差的等差数列，

，，

故答案为：(1).     (2).

13、（2020届山东省泰安市高三上期末）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.

【答案】1.5

【解析】

设此等差数列的公差为，

由题意即解得

 所以夏至的日影子长为

 故答案为：

题型二、等比数列及性质

1、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为(　　)

A． B．

C． D．或

【答案】C

【解析】

根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.

2、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知数列，满足且设是数列的前项和，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由且，

得，，

所以，，

，

又，所以，解得，

故选：C.

3、（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是(    )

A．S2019<S2020 B．

C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值

【答案】AB

【解析】

当时，，不成立；

当时，，不成立；

故，且，故，正确；

，故正确；

是数列中的最大值，错误；

故选：

4、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）等比数列的相邻两项，是方程的两个实根，记是数列的前项和，则________．

【答案】．

【解析】

因为，是方程的两个实根，

则由韦达定理得，，，

因为数列是等比数列，则数列的公比，又，所以首项，故

所以，

故数列是以为首项，4为公比的等比数列，

所以．

故答案为：

5、（北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考）在等比数列中，，公比为q，前n项和为，若数列也是等比数列，则q等于        

【答案】3

【解析】

由题意可得q≠1由数列{Sn+2}也是等比数列可得+2，+2，+2成等比数列则（+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得 q=3

6、（2020届北京市顺义区高三上学期期末数学试题）设为公比的等比数列的前项和,且，，成等差数列，则__________,________.

【答案】       

【解析】设等比数列的通项公式,

又因为,,成等差数列,

所以,即,

又因为等比数列中,则,解得或,

又因为,所以.

所以.

故答案为：(1).     (2).

7、已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，若成等比数列，则的值为______．

【答案】88

【解析】由题意得

所以

8、（2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研）已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为_____.

【答案】1

【解析】由的等差数列,

因为成等比数列,则,即,

可得,则,

故答案为：1

9、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）已知等比数列的前项的和为,,,则的值为_______.

【答案】4

【解析】

解得,.所以.

故答案为:4.

10、（江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)）等比数列中，，前项和为，满足，则______.

【答案】31

【解析】设等比数列的公比为，

由,可得。

∴，

故答案为：31.

11、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）证明：因为，

所以．

因为

所以

所以．

又，

所以是首项为，公比为2的等比数列，

所以．

（2）解：由（1）可得，

所以

．