(新高考)高考数学一轮复习过关练考点22 点线面的判断与证明（含解析）

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考点22 点线面的判断与证明
考纲要求



1. 了解空间线面平行、面面平行的有关概念,能正确地判断空间线线、线面、面面的位置关系;理解关于空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理;并能用图形语言和符号语言表述这些定理 .
2 能运用公理及其推论和相关定理证明一些空间位置关系的简单命题 .
近三年高考情况分析



江苏高考对立体几何的考查主要有两个方面,一是对体积(或点到平面的距离)、表面积的一类计算问题的考查,二是对直线与平面的位置关系的考查 . 以一大一小两题的形式进行考查,其中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的位置关系的考查是高考中必考的问题,尤其是直线与平面平行、垂直关系的证明尤为重要 . 在证明的过程中,一定要注意推理的严密性,条件不要遗漏 . 另外,要关注与位置关系有关的一类探究性问题,它体现了新课程中考查学生的探究能力的要求,值得注意。
对于江苏之外地区的高考在大题的考查中，除了考查线面、面面以及线线的位置关系的证明外，第2问设置了空间向量求角与距离的求解题。

考点总结




复习中,一要重视对本部分概念的内涵与外延的理解、定理的应用,做到弄清搞透;二要重视对典型问题求解基本思想方法的掌握,做到应用自如,特别是化归、转化等思想方法的掌握与应用;三要重视解题过程的规范训练,尽量避免因解题不规范而丢分 . 对于本部分的内容,高考的重点还是线线平行、线面平行、面面平行的判定以及它们的性质的应用
三年高考真题





1、【2020年全国2卷】设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
【答案】①③④
【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.

2、【2020年浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B

3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则

A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
【答案】B
【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相交直线.
过作于，连接，
平面平面，平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，，，故选B．

5、【2018年高考浙江卷】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.
6、【2019年高考北京卷理数】已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.

7、【2020年江苏卷】.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．

（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】（1）由于分别是的中点，所以.
由于平面,平面，所以平面.
（2）由于平面，平面，所以.
由于，所以平面,
由于平面，所以平面平面.


8、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC−A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
9、【2018年高考江苏卷】在平行六面体中，．

求证：（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．


二年模拟试题




题型一 性质定理与判定定理的综合考查
1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
，则存在有.而由可得，从而有.反之则不一定成立，可能相交，平行或异面.所以是的充分不必要条件，故选A
2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设，为两个平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，平行与同一个平面
C．内有两条相交直线与内两条相交直线平行 D．，垂直与同一个平面
【答案】C
【解析】
对于A，内有无数条直线与平行，可得与相交或或平行；
对于B，，平行于同一条直线，可得与相交或或平行；
对于C，内有两条相交直线与内两条相交直线平行，可得α∥β；
对于D，，垂直与同一个平面，可得与相交或或平行．
故选：C．
3、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知，是两条不同的直线，是平面，且，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
A选项 有可能线在面内的情形，错误；
B选项中l与m还可以相交或异面，错误；
C选项中不满足线面垂直的判定定理，错误，
D选项中由线面垂直的性质定理可知正确.
故选：D
4、（2020·浙江高三）已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（　　）
A．β内一定能找到与l平行的直线
B．β内一定能找到与l垂直的直线
C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行
D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直
【答案】B
【解析】
由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：
在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；
在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；
在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；
在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误．
故选：B．
5、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）如果用表示不同直线，表示不同平面，下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【解析】
选项A中还有直线n在平面内的情况，故A不正确，
选项B中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故B不正确，
选项C中还有相交，故C不正确，
故选：D．

6、(2019苏北模拟） 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；　②α⊥β⇒l∥m；
③m∥α⇒l⊥β；　④l⊥β⇒m∥α.
其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)．
答案： ①④　
【解析】：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m⊂β，所以l⊥m；
②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交；
③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β；
④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m⊂β，所以m∥α.
7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若则
B．若则
C．若，，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】

若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对；
若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故B错；
垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；
若，则，又，则，故D对；
故选：ACD．
8、（2020届山东省济宁市高三上期末）己知为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,则下列说法正确的是( )
A．若且则
B．若则
C．若则
D．若则
【答案】BC
【解析】
A. 若且则可以，异面，或相交，故错误；
B. 若则，又故，正确；
C. 若则或，又故，正确；
D. 若则，则或，错误；
故选：
9、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：

①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)
【答案】①④
【解析】
对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE，又，所以平面PAB，从而可得，故①正确．
对于②，由于PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故②不正确．
对于③，由于在正六边形中，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故③不正确．
对于④，由条件得为直角三角形，且PA⊥AD，又，所以∠PDA=45°．故④正确．
综上①④正确．
答案：①④
题型二 线面平行、垂直的判定与性质
1、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）如图，在正方体中，是棱的中点.求证：

（1）平面；
（2）平面⊥平面.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】证明:(1)在正方体中,设与相交于点,则为的中点
取的中点,连.所以,.
在正方体中,.又点是的中点
所以.于是四边形是平行四边形,从而.
又因为平面,平面,所以平面.

(2)在正方体中,平面,而平面,
所以.又在正方体中,四边形为正方形
所以.由(1)知,,于是,.
又平面,平面,,所以平面.
又因为平面,所以平面平面.
2、（江苏省南通市海安市2019-2020学年高三下学期3月月考）如图，在正方体中，是棱的中点.求证：

（1）平面；
（2）平面⊥平面.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】(1)在正方体中,设与相交于点,则为的中点
取的中点,连.所以,.
在正方体中,.又点是的中点
所以.于是四边形是平行四边形,从而.
又因为平面,平面,所以平面.

(2)在正方体中,平面,而平面,
所以.又在正方体中,四边形为正方形
所以.由(1)知,,于是,.
又平面,平面,,所以平面.
又因为平面,所以平面平面.
3、(2019镇江期末）如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.
(1) 求证：BC⊥平面VCD；
(2) 求证：AD∥MN.

规范解答 (1)在四棱锥VABCD中，
因为VD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以VD⊥BC.(3分)
因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.(4分)
又CD⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，CD∩VD＝D，则BC⊥平面VCD.(7分)
(2)因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC.(8分)
又AD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，则AD∥平面VBC.(11分)
又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD⊂平面ADNM，则AD∥MN.(14分)
4、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．
(1) 求证：EF∥平面ABC；
(2) 求证：BB1⊥AC.

规范解答 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EF∥AC.(4分)
因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(8分)
(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1⊥AB.
因为平面AA1B1B⊥平面ABC，且平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，BB1⊂平面AA1B1B，
所以BB1⊥平面ABC.(12分)
因为AC⊂平面ABC，所以BB1⊥AC.(14分)
在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时一定要将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将给予扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求很高．要适度关注性质定理的使用，因为性质定理的使用往往涉及到添置辅助线或辅助平面，这无疑就增加了试题的难度．
5、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.
求证：(1)MN∥平面PBC；
MD⊥平面PAB.


【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD.(2分)
又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)
又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)
(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分)
又MD⊂侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分)
因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分)
又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)

6、(2019苏锡常镇调研（一））如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：
(1) EF∥平面ABC；
(2) BD⊥平面ACE.

规范解答 (1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EF∥BC，(3分)
因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
所以EF∥平面ABC.(6分)
(2)因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面BCD
所以AC⊥平面BCD，(8分)
因为BD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，(10分)
因为DC＝BC，E为BD的中点，所以CE⊥BD，(12分)
因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE.(14分)
7、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.
求证：(1) DE∥平面ABB1A1；
(2) BC1⊥平面A1B1C.

规范解答 (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB.(3分)
又AB⊂平面ABB1A1，DE⊄平面ABB1A1，
所以DE∥平面ABB1A1.(6分)
(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.
又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1.(8分)
又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1.(10分)
又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.(12分)
又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C.
又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C，
所以BC1⊥平面A1B1C.(14分)