高考数学一轮复习考点突破讲与练 第6章 第1节　数列的概念与简单表示 (含解析)

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第六章 数列
第一节　数列的概念与简单表示


1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
突破点一　数列的通项公式


1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
4．Sn与an的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　)
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)
(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×


二、填空题
1．数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，则a5的值为________．
解析：由a1＝2，an＋1＝an－1，得a2＝a1－1＝1－1＝0，a3＝a2－1＝0－1＝－1，a4＝a3－1＝－－1＝－，a5＝a4－1＝－－1＝－.
答案：－
2．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为________．
解析：困为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.
答案：9
3．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．
解析：an＝＝＝－，
∵－3＝－，∴－3是该数列的第9项．
答案：9
4．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是____________．
答案：an＝


考法一　利用an与Sn的关系求通项　
数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．
[例1]　(1)(2019·化州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．
(2)(2019·广州测试)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝____________.
[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
所以数列{an}的通项公式为an＝
(2)∵an，Sn，a成等差数列，∴2Sn＝an＋a.
当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a.
又a1>0，∴a1＝1.
当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，
∴(a－a)－(an＋an－1)＝0.
∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n(n∈N*)．
[答案]　(1)an＝　(2)n
[方法技巧]
已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　
考法二　利用递推关系求通项　
[例2]　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)因为an＋1－an＝3n＋2，
所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2＝×(3×1＋1)，符合上式，
所以an＝n2＋.
(2)因为an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.
由累乘法可得an＝a1···…·＝＝(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.
(4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，
∴是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝(n∈N*)．
[方法技巧]　典型的递推数列及处理方法
递推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
叠加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
叠乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B
(A≠0,1，B≠0)
化为等比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝
(A，B，C为常数)
化为等差数列
a1＝1，an＋1＝

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 019＝(　　)
A．2 018　　　　　　　 B．2 019
C．4 036 D．4 038
解析：选B　由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，
∴＝＝…＝＝1，∴an＝n.则a2 019＝2 019.故选B.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1 B．n－1
C.n－1 D．n－1
解析：选B　Sn＝2an＋1＝2Sn＋1－2Sn⇒3Sn＝2Sn＋1⇒＝，故数列{Sn}为等比数列，公比是，又S1＝1，所以Sn＝1×n－1＝n－1.故选B.
3.已知在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝____________.
解析：由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝.因为a1＝4，所以an＝(n≥2)．因为a1＝4满足上式，所以an＝.
答案：
4.已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝____________.
解析：由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，
以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n.
因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝(n≥2)．
因为a1＝2满足上式，
所以an＝.
答案：
突破点二　数列的性质


数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1an；
当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>2时，an＋1－an…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.
法二：(作商比较法)
＝＝，
令>1，解得n0，故a1a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.
[答案]　A
[方法技巧]
求数列最大项或最小项的方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0或an>0时，>1，则an＋1>an，即数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；
②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)0时，