(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第7章 第1讲　数列的概念及简单表示法 (含解析)

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第1讲　数列的概念及简单表示法


一、知识梳理
1．数列的有关概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项
间的大小
关系分类
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
按其他
标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列
对n∈N*，存在正整数常数k，使an＋k＝an
(3)数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2．数列的通项公式
(1)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
3．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
常用结论
1．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．
2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
二、教材衍化
1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D．a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．

答案：5n－4

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)
(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．(　　)
(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．(　　)
(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)
(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．(　　)
(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
二、易错纠偏
(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或其子集{1，2，…，n}；
(2)根据Sn求an时忽视对n＝1的验证．
1．在数列－1，0，，，…，中，0.08是它的第________项．
解析：依题意得＝，解得n＝10或n＝(舍)．
答案：10
2．已知Sn＝2n＋3，则an＝________．
解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝
答案：

考点一　由数列的前几项求通项公式(基础型)
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法和通项公式法)．
核心素养：逻辑推理
1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－(n－1)　　　　 B．an＝n2－1
C．an＝ D．an＝
解析：选C．观察数列1，3，6，10，…可以发现

第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
所以an＝.
2．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________．
解析：数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.
答案：
3．数列，，，，…的一个通项公式是________．
解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a－a－1＝4，所以a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝.
答案：an＝
4．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．
解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…故其通项公式可以为an＝(－1)n·.
答案：an＝(－1)n·

解决此类问题，需抓住下面的特征：
(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．
(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．
(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征．
(4)拆项、添项后的特征．
(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．
[注意]　根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！　
考点二　由an与Sn的关系求an(基础型)
由Sn与an的关系求an.利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式．
(1)(2020·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则a1＝________，{an}的通项公式为________．
【解析】　(1)因为Sn＝，a4＝32，所以S4－S3＝－＝32，所以a1＝，故选A．
(2)数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
所以(2n－1)an＝2，所以an＝.
当n＝1时，a1＝2，上式也成立．
所以an＝.
【答案】　(1)A　(2)2　an＝

(1)已知Sn求an的三个步骤
①先利用a1＝S1求出a1；
②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.所以an＝
答案：
2．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________．
解析：由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋，所以a1＝1，所以{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.
答案：(－2)n－1
考点三　由递推关系求通项公式(基础型)
由数列的递推关系求通项公式常利用构造法、累加法、累乘法等．
分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
【解】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.
(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，
将这n－1个等式叠乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2，
所以数列的通项公式为an＝2.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.

由递推关系求数列的通项公式的常用方法
　

1．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，则an＝________．
解析：a1＝2，an＋1＝an＋2n－1⇒an＋1－an＝2n－1⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，
则an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1
＝＋2＝2n－1＋1.
答案：2n－1＋1
2．若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2)．
所以an＝···…···a1
＝···…·××1＝，(*)
又a1也满足(*)式，所以an＝.
答案：
考点四　数列的函数特征(综合型)
通过实例，了解数列是一种特殊函数．
核心素养：逻辑推理
角度一　数列的单调性
已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】　因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D．
【答案】　D

(1)解决数列单调性问题的三种方法
①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断；
③结合相应函数的图象直观判断．
(2)求数列最大项或最小项的方法
①可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项；
②利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．　
角度二　数列的周期性
设数列{an}满足：an＋1＝，a2 020＝3，那么a1＝(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
【解析】　设a1＝x，由an＋1＝，
得a2＝，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝x＝a1，
所以数列{an}是周期为4的周期数列．
所以a2 020＝a505×4＝a4＝＝3.解得x＝－2.
【答案】　A

解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．　

1．等差数列{an}的公差d＜0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为(　　)
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
解析：选C．由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，
因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，
又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.
因为d＜0，所以{an}是递减数列，
所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C．
2．(2020·辽宁重点中学协作体联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S18＝(　　)
A．0 B．18
C．10 D．9
解析：选C．因为an＋1－an＝sin，
所以an＋1＝an＋sin.因为a1＝1，
所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin＝0，a5＝a4＋sin＝1，a6＝a5＋sin＝1，a7＝a6＋sin＝0，
a8＝a7＋sin＝0，…，故数列{an}为周期数列，周期为4.
所以S18＝4(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝10.故选C．
3．已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
解析：因为数列{an}是递增数列，所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对∀n∈N*都成立．所以λ＜3.
答案：(－∞，3)

[基础题组练]
1．已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)
A．第19项　　　　　　 B．第20项
C．第21项 D．第22项
解析：选C．数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
所以通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.
2．已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．因为数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.故选A．
3．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．“|an＋1|＞an”⇔an＋1＞an或－an＋1＞an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1＞an成立，必要性成立，所以“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B．
4．(多选)已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)
A．a3＝－1 B．a2 019＝
C．S3＝ D．S2 019＝
解析：选ACD．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…所以an－3＝an，数列的周期为3.a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.S3＝，S2 019＝.
5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)
A． B．2
C． D．
解析：选C．由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，
则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，
则＝＝－，
则＋＋…＋＝2×[＋＋…＋]＝2×＝.故选C．
6．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．
解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，
当n＝1时，a1＝6；
当n≥2时，
故当n≥2时，an＝，
所以an＝
答案：an＝
7．(2020·黑龙江大庆一中模拟)数列{an}的前n项和Sn满足a2＝2，Sn＝n2＋An，则A＝________，数列的前n项和Tn＝________．
解析：因为a2＝S2－S1＝(2＋2A)－＝2，所以A＝.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝n，当n＝1时，a1＝S1＝1满足上式，所以an＝n.
所以＝＝－，所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：：　
8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，则an＝________．
解析：由2Sn＝(n＋1)an知，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1，所以(n－1)an＝nan－1，
所以当n≥2时，＝，所以＝＝1，所以an＝n.
答案：n
9．已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；
(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.
解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，
当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝
(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，
由于a1不适合此式，所以an＝
10．(2020·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；
(2)证明：＝4.
解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.
(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.
[综合题组练]
1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　)
A．4 B．4－1
C．8 D．9
解析：选C．由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，
当n＝1时，a1＝20符合上式，
所以＝n＋－1，n∈N*，
所以n≤4时单调递减，n≥5时单调递增，
因为＝，所以的最小值为＝＝8，故选C．
2．(多选)在数列{an}中，an＝(n＋1)，则数列{an}中的最大项可以是(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
解析：选AB．假设an最大，则有
即
所以即6≤n≤7，所以最大项为第6项或第7项．
3．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前n项和为Sn，若＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝________．
解析：因为＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N*.故答案为n.
答案：n
4．(2020·新疆一诊)数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}的前n项之积，则A2 019＝________．
解析：由an－anan＋1＝1，得an＋1＝1－，
又a1＝3，则a2＝1－＝，a3＝1－＝1－＝－，a4＝1－＝1－(－2)＝3，
则数列{an}是周期为3的周期数列，且a1a2a3＝3××＝－1，则A2 019＝(a1a2a3)·(a4a5a6)·…·(a2017a2 018a2 019)＝(－1)673＝－1.
答案：－1
5．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝a＋an，①
当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
6．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
所以，当n≥2时，
an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9，
又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.
所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．