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专题21 抛物线的焦点弦 微点1 抛物线的焦点弦常用结论试题及答案
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这是一份专题21 抛物线的焦点弦 微点1 抛物线的焦点弦常用结论试题及答案，共32页。学案主要包含了微点综述，强化训练等内容，欢迎下载使用。
专题21 抛物线的焦点弦 微点1 抛物线的焦点弦常用结论及其应用
专题21 抛物线的焦点弦
微点1 抛物线的焦点弦常用结论及其应用
【微点综述】
在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．本文对此作一些介绍．
一、常用结论
不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则有如下结论（1）～（9）：
（1）．
（2）焦半径长公式：（坐标式）；夹角式：（在轴上方，在轴下方）．
（3）焦点弦长公式：．
（4）通径长公式：（通径最短）．
（5）AF，BF的数量关系：．
（6）三角形AOB的面积：．
（7）中点弦斜率：若斜率为，，则．
（8）直线的斜率之和为零，即．
（9）焦点弦与圆有关的结论，如图2，
①以为直径的圆与准线相切；
②以为直径的圆与轴相切；
③以为直径的圆与轴相切；
④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．
（10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论，如图3，
①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；
②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；
③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；
④以为直径的圆必过原点，即；
⑤．
（11）点三点共线；点三点共线．
（12）如图4，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点．
图4
证明：（1）因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，．
当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：．
（2）由抛物线的定义易得．
又，同理可证．
（3）由（2）可得弦长：
．
（4）当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：．
（5）由，得，又
，
．
（6）点到直线的距离就是的高，，
．
（7），由点差法得．
（8），，
，
分子，
直线的斜率之和为零：，即．
（9）①如图2，过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知
，
即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③．
④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．
（10）①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点，
直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：．
④由抛物线的定义知，////，
，而，即．
⑤易知，又．
（11）由（1）知．
点三点共线．同理可证：点三点共线．
（12）．设，则
，直线方程为，
即，直线AB过定点．
二、应用举例
例1．（2022太原一模）
1．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若6，则的面积为
A． B． C． D．4
例2．（2022晋中二模）
2．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，坐标原点，若的面积为，则
A． B． C． D．
3．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于
A．2 B． C． D．
4．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，A在x轴上方，若，求．
5．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，A在x轴上方，直线倾斜角为，求．
6．若抛物线，过焦点F作倾斜角为的直线与抛物线交于A，B，求．
7．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，若，求．
8．若抛物线，过焦点F作两条互相垂直的直线分别于抛物线交于A，B和C，D，求．
9．若抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于A，B，若，求直线l方程．
10．若抛物线，过焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求．
11．斜率为k的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，O为原点，M为AB中点，且，求k．
【强化训练】
（2022·云南玉溪·高二期末）
12．直线与抛物线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
13．过抛物线的焦点F的直线与其交于A，B两点，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
14．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
15．设抛物线的焦点为 ，点在 上，，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为
A．或
B．或
C．或
D．或
（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）
16．已知直线l过抛物线的焦点，并且与抛物线C交于不同的两点A、B，若为线段的中点，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
（2022·广东佛山·模拟预测）
17．已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
18．已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（ ）
A．10 B．14 C．12 D．16
（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）
19．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
（2022全国·高二月考）
20．已知抛物线C∶，过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线y=x-2于E，F两点，则|EF|的最小值（ ）
A． B．
C． D．
（2022·辽宁实验中学模拟预测）
21．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，准线为l，过点A作，垂足为，的角平分线交l于点M，过B作抛物线的切线交l于点N，则_________．
（2022·青海·海东市第一中学模拟预测）
22．已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.
（2022·江苏南通·高二期末）
23．直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为_______．
（2022·四川省内江市第六中学高二月考）
24．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则的最小值为___________.
（2022·广东广州·高二期末）
25．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则线段的长度为__________．
（2022·全国·高二月考）
26．已知抛物线：的焦点为点在抛物线上，且三点共线;点在准线上， 则 __．
27．已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值．
（2022·湖南衡阳·三模）
28．已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．
(1)求实数的值；
(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．
（2022·河北秦皇岛·三模）
29．已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．
(1)求抛物线的方程．
(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．
（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）
30．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．
(1)求证：；
(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；
（2022·江苏·扬州中学模拟预测）
31．已知抛物线H：的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点..
(1)求抛物线H的方程；
(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点，求证：.
（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测）
32．已知抛物线的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知C，D为抛物线上的动点，且，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．
（2022·江苏南京·模拟预测）
33．已知圆：，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系．
参考答案：
1．A
【详解】解：设直线 的方程为： ，
与抛物线方程联立可得： ，
则： ，
由弦长公式可得： ，
三角形的面积为： .
本题选择A选项.
2．A
【详解】抛物线 的焦点 坐标为 ,过焦点的直线设为 ,设 ,联立 有 ,所以有 ,由 ,所以有 , ,
故选A.
3．C
【分析】设PQ直线方程是则x1，x2是方程的两根，借助韦达定理即可得到的值．
【详解】抛物线转化成标准方程：，
焦点坐标，准线方程为，
设过的直线方程为，
，整理得．
设，，，
由韦达定理可知：，，
，
，
根据抛物线性质可知，，，
，
的值为，
故选：C．
【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
4．
【分析】根据抛物线的焦点弦性质计算．
【详解】由对称性，不妨设的倾斜角为锐角，，
由结论2可得：．
5．
【分析】由焦点弦的性质求得，
【详解】由题意．
6．12
【分析】由抛物线的焦点弦长公式（是焦点弦所在直线倾斜角）计算．
【详解】．
7．
【分析】根据抛物线的焦点弦长公式（为焦点弦所在直线的倾斜角，由对称性，设为锐角）求出弦所在直线的倾斜角的正弦，再由焦半径公式较短的，较长的计算．
【详解】设倾斜角为，且为锐角，则
．
8．16
【分析】设出直线的倾斜角为，根据抛物线焦点弦的结论得到与，利用三角函数的恒等变换及有界性求出最小值.
【详解】设直线的倾斜角为，则，，
所以，
当或时，，
9．或．
【分析】由焦点弦性质求得直线的倾斜角的余弦值，从而得直线斜率，得直线方程．
【详解】先设直线AB倾斜角为锐角，
．
由对称性直线方程还可以为，
综上，直线的方程为或．
10．
【分析】求出直线的方程，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出原点到直线的距离，从而求出三角形的面积.
【详解】由题意得：，直线的斜率为，
故直线的方程为，
将联立得：，
设，
则，
则，
点到直线的距离为，
所以
11．．
【分析】由焦点弦的性质求解.
【详解】设，设，，，
，又，，
所以，由对称性，也适合．
综上，．
12．D
【分析】焦点弦长度等于.
【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则
由得：，
所以，，
所以，
故选：D.
13．B
【分析】设，根据，利用抛物线定义求得点A的坐标，进而得到直线AF的方程，求得点B的坐标，再利用抛物线定义求解.
【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，则，故，此时，
即，则直线AF的方程为，即，
代入得，解得（舍）或，
则，
故选：B．
14．D
【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算．
【详解】抛物线，可知，
设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，显然，
过焦点的弦，，
∴，
故选：D．
15．C
【详解】∵抛物线 方程为,∴焦点，
设,由抛物线性质,可得，
因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，
由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为或.
故答案C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为的焦半径,以为直径的圆交抛物线于点，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.
16．C
【分析】先求出抛物线的准线方程，分别过作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得出答案.
【详解】抛物线的准线方程为：
分别过作准线的垂线，垂足分别为
则点到准线的距离为
根据抛物线的定义可得,且
所以
故选：C
17．C
【分析】设直线l的倾斜角为，求得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义求出和.
在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出,即可解得．
【详解】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．
过A作准线于，过B作准线于，过B作于.
由抛物线定义可得：.
因为，所以.
而.
在直角三角形ABC中，,解得：．
故选：C
18．C
【分析】确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得，结合条件可得，结合抛物线的几何性质可得当且仅当A，F，B三点共线时，即可得答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，
根据抛物线的定义得，．
又，所以．
因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，
所以的最大值为12，
故选：C
19．B
【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：
所以.∵，
当时，，当时，，
∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，
故选：B.
20．D
【分析】设AB的方程为y=kx+1代入，得x2-4kx-4=0，设，得出根与系数的关系，再得出直线OA的方程为，与联立求得点E、F的坐标，表示出线段EF，运用函数的性质可求得最小值得选项.
【详解】由抛物线C∶，得焦点为，设AB的方程为y=kx+1代入，得x2-4kx-4=0，设，
所以，，，，
直线OA的方程为，联立；
同理可得，，所以，
令，则，所以，
当时，，
当时，，当，即时，取等号，
所以|EF|的最小值为，
故选：D.
【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.
21．0
【分析】设，求出的角平分线方程，得到；求出在处的切线方程为： ，得到.由，整理得M、N重合.即可求得.
【详解】抛物线的焦点为，准线为l：.
因为过F的直线交抛物线于A，B两点，所以可设直线AB：.
设，则，消去x得：.
所以.
不妨设，则.
因为过点A作，垂足为，所以，
设的中点为E,则，所以，所以直线AE: .
令，解得：，所以.
对于点，因为，由可得：，所以.
所以在处的切线的斜率为，切线方程为：，即.
令，解得：，所以.
因为，所以所以，即
所以M、N重合.
所以0.
故答案为：0.
22．2
【分析】过点F且斜率为1的直线方程为，联立抛物线C的方程，求出，，由，即可求出的值.
【详解】过点F且斜率为1的直线方程为，
联立抛物线C的方程，得，
所以，
又因为令中，则，又因为，
所以，又因为，所以，解得p＝2.
故答案为：2.
23．##
【分析】推导出抛物线的焦半径的性质，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】易知，可得，所以，抛物线的方程为.
若直线与轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，即，，
由韦达定理可得，.
所以，
，
所以，，则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
24．
【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．
【详解】解：设抛物线的方程：，焦点为F，则，则，
∴抛物线的标准方程：，焦点坐标，准线方程为，
圆的圆心为，半径为1，
由直线PQ过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l的方程为：，
设P､Q坐标分别为和，
由联立，得，恒成立，
由韦达定理得：，，
∴，，
∴，
则
.
当且仅当时等号成立，
故答案为：
25．8
【分析】确定，设直线方程并和抛物线方程联立，求得，进而求出，根据抛物线的弦长公式求得答案.
【详解】由题意知,故，其焦点为，
设直线l的方程为 ，联立，得: ,
,由于，，
则，而，
故 ，
故的长为，
故答案为：8
26．
【分析】作辅助线，由可知，由三角形相似结合抛物线定义可求得，从而推得 ，从而由求得答案.
【详解】如图，设抛物线准线交x轴与点K,
分别过作垂直于抛物线的准线于
由，得 ，
由抛物线定义可知
由 得
则，
，
故答案为：．
27．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将用表示，得出的值，进而得抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果.
（1）
由题意可得，得，
∴抛物线.
（2）
证明：，联立，得．
由，得或，
设，，则，，
∴
.
28．(1)
(2)存在，定点为，为定值1
【分析】（1）根据抛物线和过焦点的直线联立方程，根据焦点弦的计算，即可求解.
（2）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解.
（1）
抛物线：化为标准方程为：，其焦点，因为斜率一定存在，设其方程为，
联立方程得：，整理得：，恒成立．
其中，，，，
因为焦点弦长，所以当时，弦长．
所以，实数的值为．
（2）
由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．
联立方程得：，整理得：，．
其中，，，，
因为以为直径的圆经过点，所以．
又因为，
∵，∴．
所以直线过定点，
又因为，所以为直角三角形，
所以当为斜边中点时，为定值，
此时．
所以定点为，为定值1．
29．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明即可.
【详解】（1）设点，由题意可知，
所以，解得．
因为，所以．
所以抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，
联立方程组消去得，
所以．
设，则
，
又因为，
所以，即直线的斜率成等差数列．
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线的斜率成等差数列只需证明即可.
30．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，即可表示、的坐标，再由直线的方程，得到点坐标，同理可得点坐标，从而得证；
（2）依题意可得，即可求出、，再根据三角形面积求出的取值范围；
（1）
解：设，
则，
由于A，F，B三点共线，则，整理得，
又，
则，同理可得
则，
，所以，即证；
（2）
解：若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，
即，则，
化简得，，
即
可得，又因为，
，
可得，，，
，，即
31．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据点在抛物线上的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可；
（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量夹角公式进行计算证明即可.
（1）
因为抛物线的方程为，M抛物线上且的横坐标为5，
所以M的纵坐标为，
当点的坐标为时，过点作，垂足为，
因为，所以，所以
又，所以，
所以，所以，又
所以，同理当点的坐标为时，所以抛物线的方程为；
（2）
设直线AB：，，，，
由，得，
则，，，.
，
，
所以，所以.
【点睛】关键点睛：利用平面向量夹角公式是解题的关键.
32．(1)
(2)证明见解析；P点坐标为（4，0）
(3)
【分析】（1）过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，由直线的斜率得出倾斜角，利用三角函数及抛物线的定义求出即可得解；
（2）设直线CD的方程为：，，，联立方程组，由根与系数的关系求出，再由建立斜率的方程即可得解；
（3）由向量的数量积坐标运算化简，利用二次函数求最值.
（1）
过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，如图，
由题知，直线l的倾斜角为．∴在中，，
又∵，∴，∴．
∴，∴在中，又，
∴，∴，∴抛物线的标准方程为．
（2）
由（1）可知，抛物线方程为，
设直线CD的方程为：，，，
直线与抛物线联立：，得：，
则，，
∵，且，∴则，
∴直线CD过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），
（3）
由（2）可知P点坐标为（4，0），
∴，
∴的最大值为．
33．(1)
(2)
【分析】(1)根据直线与圆的位置关系可得，根据圆与圆的位置关系可得，列出方程，解之即可；
(2)设直线的方程为、、，法一：由平面共线向量的坐标表示和定点分比公式可得、，列出方程，解之即可；法二：联立抛物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示，化简计算可得、，证明即可.
【详解】（1）设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧，
因为圆与定直线相切，所以．
又圆与圆内切，所以，
所以，化简得，即的方程为．
（2）解法一：由（1）得，设直线的方程为，，，
则，因为，由定点分比公式可知，
因为点A在上，所以，即，所以．
同理，由，可得，
所以，，即，，
因为点在上，所以，即，所以．
由，得，
因为，，所以，即．
解法二：设直线的方程为，，，则．
由，整理得，
由韦达定理可知，．
因为，即，所以．
由，可得，所以．
所以，
即．
专题21 抛物线的焦点弦 微点1 抛物线的焦点弦常用结论及其应用
专题21 抛物线的焦点弦
微点1 抛物线的焦点弦常用结论及其应用
【微点综述】
在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．本文对此作一些介绍．
一、常用结论
不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则有如下结论（1）～（9）：
（1）．
（2）焦半径长公式：（坐标式）；夹角式：（在轴上方，在轴下方）．
（3）焦点弦长公式：．
（4）通径长公式：（通径最短）．
（5）AF，BF的数量关系：．
（6）三角形AOB的面积：．
（7）中点弦斜率：若斜率为，，则．
（8）直线的斜率之和为零，即．
（9）焦点弦与圆有关的结论，如图2，
①以为直径的圆与准线相切；
②以为直径的圆与轴相切；
③以为直径的圆与轴相切；
④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．
（10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论，如图3，
①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；
②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；
③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；
④以为直径的圆必过原点，即；
⑤．
（11）点三点共线；点三点共线．
（12）如图4，点A，B是抛物线，O为原点，若，则直线AB过定点．
图4
证明：（1）因为焦点坐标为，当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得：，，．
当轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：．
（2）由抛物线的定义易得．
又，同理可证．
（3）由（2）可得弦长：
．
（4）当轴时，直线AB方程为，则，，∴通径长公式：．
（5）由，得，又
，
．
（6）点到直线的距离就是的高，，
．
（7），由点差法得．
（8），，
，
分子，
直线的斜率之和为零：，即．
（9）①如图2，过点作于，则是梯形的中位线，由抛物线的定义知
，
即以为直径的圆与准线相切，同理可证②，③．
④分别以为直径的圆有以下关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．
（10）①准线与圆相切，圆的圆心在准线上的射影就是切点，
直径所对的圆周角是直角，．同理可证②，③：．
④由抛物线的定义知，////，
，而，即．
⑤易知，又．
（11）由（1）知．
点三点共线．同理可证：点三点共线．
（12）．设，则
，直线方程为，
即，直线AB过定点．
二、应用举例
例1．（2022太原一模）
1．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若6，则的面积为
A． B． C． D．4
例2．（2022晋中二模）
2．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，坐标原点，若的面积为，则
A． B． C． D．
3．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于
A．2 B． C． D．
4．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，A在x轴上方，若，求．
5．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，A在x轴上方，直线倾斜角为，求．
6．若抛物线，过焦点F作倾斜角为的直线与抛物线交于A，B，求．
7．直线过抛物线的焦点F且交抛物线于A，B两点，若，求．
8．若抛物线，过焦点F作两条互相垂直的直线分别于抛物线交于A，B和C，D，求．
9．若抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于A，B，若，求直线l方程．
10．若抛物线，过焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求．
11．斜率为k的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，O为原点，M为AB中点，且，求k．
【强化训练】
（2022·云南玉溪·高二期末）
12．直线与抛物线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
13．过抛物线的焦点F的直线与其交于A，B两点，，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
14．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
15．设抛物线的焦点为 ，点在 上，，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为
A．或
B．或
C．或
D．或
（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）
16．已知直线l过抛物线的焦点，并且与抛物线C交于不同的两点A、B，若为线段的中点，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
（2022·广东佛山·模拟预测）
17．已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
18．已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（ ）
A．10 B．14 C．12 D．16
（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）
19．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
（2022全国·高二月考）
20．已知抛物线C∶，过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线y=x-2于E，F两点，则|EF|的最小值（ ）
A． B．
C． D．
（2022·辽宁实验中学模拟预测）
21．已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，准线为l，过点A作，垂足为，的角平分线交l于点M，过B作抛物线的切线交l于点N，则_________．
（2022·青海·海东市第一中学模拟预测）
22．已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.
（2022·江苏南通·高二期末）
23．直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为_______．
（2022·四川省内江市第六中学高二月考）
24．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则的最小值为___________.
（2022·广东广州·高二期末）
25．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则线段的长度为__________．
（2022·全国·高二月考）
26．已知抛物线：的焦点为点在抛物线上，且三点共线;点在准线上， 则 __．
27．已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值．
（2022·湖南衡阳·三模）
28．已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．
(1)求实数的值；
(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．
（2022·河北秦皇岛·三模）
29．已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．
(1)求抛物线的方程．
(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．
（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）
30．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．
(1)求证：；
(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；
（2022·江苏·扬州中学模拟预测）
31．已知抛物线H：的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点..
(1)求抛物线H的方程；
(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点，求证：.
（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测）
32．已知抛物线的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知C，D为抛物线上的动点，且，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．
（2022·江苏南京·模拟预测）
33．已知圆：，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系．
参考答案：
1．A
【详解】解：设直线 的方程为： ，
与抛物线方程联立可得： ，
则： ，
由弦长公式可得： ，
三角形的面积为： .
本题选择A选项.
2．A
【详解】抛物线 的焦点 坐标为 ,过焦点的直线设为 ,设 ,联立 有 ,所以有 ,由 ,所以有 , ,
故选A.
3．C
【分析】设PQ直线方程是则x1，x2是方程的两根，借助韦达定理即可得到的值．
【详解】抛物线转化成标准方程：，
焦点坐标，准线方程为，
设过的直线方程为，
，整理得．
设，，，
由韦达定理可知：，，
，
，
根据抛物线性质可知，，，
，
的值为，
故选：C．
【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
4．
【分析】根据抛物线的焦点弦性质计算．
【详解】由对称性，不妨设的倾斜角为锐角，，
由结论2可得：．
5．
【分析】由焦点弦的性质求得，
【详解】由题意．
6．12
【分析】由抛物线的焦点弦长公式（是焦点弦所在直线倾斜角）计算．
【详解】．
7．
【分析】根据抛物线的焦点弦长公式（为焦点弦所在直线的倾斜角，由对称性，设为锐角）求出弦所在直线的倾斜角的正弦，再由焦半径公式较短的，较长的计算．
【详解】设倾斜角为，且为锐角，则
．
8．16
【分析】设出直线的倾斜角为，根据抛物线焦点弦的结论得到与，利用三角函数的恒等变换及有界性求出最小值.
【详解】设直线的倾斜角为，则，，
所以，
当或时，，
9．或．
【分析】由焦点弦性质求得直线的倾斜角的余弦值，从而得直线斜率，得直线方程．
【详解】先设直线AB倾斜角为锐角，
．
由对称性直线方程还可以为，
综上，直线的方程为或．
10．
【分析】求出直线的方程，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出原点到直线的距离，从而求出三角形的面积.
【详解】由题意得：，直线的斜率为，
故直线的方程为，
将联立得：，
设，
则，
则，
点到直线的距离为，
所以
11．．
【分析】由焦点弦的性质求解.
【详解】设，设，，，
，又，，
所以，由对称性，也适合．
综上，．
12．D
【分析】焦点弦长度等于.
【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则
由得：，
所以，，
所以，
故选：D.
13．B
【分析】设，根据，利用抛物线定义求得点A的坐标，进而得到直线AF的方程，求得点B的坐标，再利用抛物线定义求解.
【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，则，故，此时，
即，则直线AF的方程为，即，
代入得，解得（舍）或，
则，
故选：B．
14．D
【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算．
【详解】抛物线，可知，
设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，显然，
过焦点的弦，，
∴，
故选：D．
15．C
【详解】∵抛物线 方程为,∴焦点，
设,由抛物线性质,可得，
因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，
由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为或.
故答案C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为的焦半径,以为直径的圆交抛物线于点，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.
16．C
【分析】先求出抛物线的准线方程，分别过作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得出答案.
【详解】抛物线的准线方程为：
分别过作准线的垂线，垂足分别为
则点到准线的距离为
根据抛物线的定义可得,且
所以
故选：C
17．C
【分析】设直线l的倾斜角为，求得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义求出和.
在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出,即可解得．
【详解】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．
过A作准线于，过B作准线于，过B作于.
由抛物线定义可得：.
因为，所以.
而.
在直角三角形ABC中，,解得：．
故选：C
18．C
【分析】确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得，结合条件可得，结合抛物线的几何性质可得当且仅当A，F，B三点共线时，即可得答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，
根据抛物线的定义得，．
又，所以．
因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，
所以的最大值为12，
故选：C
19．B
【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：
所以.∵，
当时，，当时，，
∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，
故选：B.
20．D
【分析】设AB的方程为y=kx+1代入，得x2-4kx-4=0，设，得出根与系数的关系，再得出直线OA的方程为，与联立求得点E、F的坐标，表示出线段EF，运用函数的性质可求得最小值得选项.
【详解】由抛物线C∶，得焦点为，设AB的方程为y=kx+1代入，得x2-4kx-4=0，设，
所以，，，，
直线OA的方程为，联立；
同理可得，，所以，
令，则，所以，
当时，，
当时，，当，即时，取等号，
所以|EF|的最小值为，
故选：D.
【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.
21．0
【分析】设，求出的角平分线方程，得到；求出在处的切线方程为： ，得到.由，整理得M、N重合.即可求得.
【详解】抛物线的焦点为，准线为l：.
因为过F的直线交抛物线于A，B两点，所以可设直线AB：.
设，则，消去x得：.
所以.
不妨设，则.
因为过点A作，垂足为，所以，
设的中点为E,则，所以，所以直线AE: .
令，解得：，所以.
对于点，因为，由可得：，所以.
所以在处的切线的斜率为，切线方程为：，即.
令，解得：，所以.
因为，所以所以，即
所以M、N重合.
所以0.
故答案为：0.
22．2
【分析】过点F且斜率为1的直线方程为，联立抛物线C的方程，求出，，由，即可求出的值.
【详解】过点F且斜率为1的直线方程为，
联立抛物线C的方程，得，
所以，
又因为令中，则，又因为，
所以，又因为，所以，解得p＝2.
故答案为：2.
23．##
【分析】推导出抛物线的焦半径的性质，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】易知，可得，所以，抛物线的方程为.
若直线与轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，即，，
由韦达定理可得，.
所以，
，
所以，，则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
24．
【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．
【详解】解：设抛物线的方程：，焦点为F，则，则，
∴抛物线的标准方程：，焦点坐标，准线方程为，
圆的圆心为，半径为1，
由直线PQ过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l的方程为：，
设P､Q坐标分别为和，
由联立，得，恒成立，
由韦达定理得：，，
∴，，
∴，
则
.
当且仅当时等号成立，
故答案为：
25．8
【分析】确定，设直线方程并和抛物线方程联立，求得，进而求出，根据抛物线的弦长公式求得答案.
【详解】由题意知,故，其焦点为，
设直线l的方程为 ，联立，得: ,
,由于，，
则，而，
故 ，
故的长为，
故答案为：8
26．
【分析】作辅助线，由可知，由三角形相似结合抛物线定义可求得，从而推得 ，从而由求得答案.
【详解】如图，设抛物线准线交x轴与点K,
分别过作垂直于抛物线的准线于
由，得 ，
由抛物线定义可知
由 得
则，
，
故答案为：．
27．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将用表示，得出的值，进而得抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果.
（1）
由题意可得，得，
∴抛物线.
（2）
证明：，联立，得．
由，得或，
设，，则，，
∴
.
28．(1)
(2)存在，定点为，为定值1
【分析】（1）根据抛物线和过焦点的直线联立方程，根据焦点弦的计算，即可求解.
（2）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解.
（1）
抛物线：化为标准方程为：，其焦点，因为斜率一定存在，设其方程为，
联立方程得：，整理得：，恒成立．
其中，，，，
因为焦点弦长，所以当时，弦长．
所以，实数的值为．
（2）
由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．
联立方程得：，整理得：，．
其中，，，，
因为以为直径的圆经过点，所以．
又因为，
∵，∴．
所以直线过定点，
又因为，所以为直角三角形，
所以当为斜边中点时，为定值，
此时．
所以定点为，为定值1．
29．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明即可.
【详解】（1）设点，由题意可知，
所以，解得．
因为，所以．
所以抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，
联立方程组消去得，
所以．
设，则
，
又因为，
所以，即直线的斜率成等差数列．
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线的斜率成等差数列只需证明即可.
30．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，即可表示、的坐标，再由直线的方程，得到点坐标，同理可得点坐标，从而得证；
（2）依题意可得，即可求出、，再根据三角形面积求出的取值范围；
（1）
解：设，
则，
由于A，F，B三点共线，则，整理得，
又，
则，同理可得
则，
，所以，即证；
（2）
解：若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，
即，则，
化简得，，
即
可得，又因为，
，
可得，，，
，，即
31．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据点在抛物线上的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可；
（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量夹角公式进行计算证明即可.
（1）
因为抛物线的方程为，M抛物线上且的横坐标为5，
所以M的纵坐标为，
当点的坐标为时，过点作，垂足为，
因为，所以，所以
又，所以，
所以，所以，又
所以，同理当点的坐标为时，所以抛物线的方程为；
（2）
设直线AB：，，，，
由，得，
则，，，.
，
，
所以，所以.
【点睛】关键点睛：利用平面向量夹角公式是解题的关键.
32．(1)
(2)证明见解析；P点坐标为（4，0）
(3)
【分析】（1）过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，由直线的斜率得出倾斜角，利用三角函数及抛物线的定义求出即可得解；
（2）设直线CD的方程为：，，，联立方程组，由根与系数的关系求出，再由建立斜率的方程即可得解；
（3）由向量的数量积坐标运算化简，利用二次函数求最值.
（1）
过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，如图，
由题知，直线l的倾斜角为．∴在中，，
又∵，∴，∴．
∴，∴在中，又，
∴，∴，∴抛物线的标准方程为．
（2）
由（1）可知，抛物线方程为，
设直线CD的方程为：，，，
直线与抛物线联立：，得：，
则，，
∵，且，∴则，
∴直线CD过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），
（3）
由（2）可知P点坐标为（4，0），
∴，
∴的最大值为．
33．(1)
(2)
【分析】(1)根据直线与圆的位置关系可得，根据圆与圆的位置关系可得，列出方程，解之即可；
(2)设直线的方程为、、，法一：由平面共线向量的坐标表示和定点分比公式可得、，列出方程，解之即可；法二：联立抛物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示，化简计算可得、，证明即可.
【详解】（1）设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧，
因为圆与定直线相切，所以．
又圆与圆内切，所以，
所以，化简得，即的方程为．
（2）解法一：由（1）得，设直线的方程为，，，
则，因为，由定点分比公式可知，
因为点A在上，所以，即，所以．
同理，由，可得，
所以，，即，，
因为点在上，所以，即，所以．
由，得，
因为，，所以，即．
解法二：设直线的方程为，，，则．
由，整理得，
由韦达定理可知，．
因为，即，所以．
由，可得，所以．
所以，
即．
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