高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题2培优点11向量极化恒等式(学生版+解析)

这是一份高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题2培优点11向量极化恒等式(学生版+解析)，共5页。学案主要包含了要点总结，方法总结，拓展训练等内容，欢迎下载使用。

极化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.
变式：a·b＝eq \f(a＋b2,4)－eq \f(a－b2,4)，a·b＝eq \f(|a＋b|2,4)－eq \f(|a－b|2,4).
如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \(MB,\s\up6(→))2.

【典例】 (1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4， eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值为________．
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是________．
【方法总结】
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
【拓展训练】
1．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝eq \f(1,4)AB，且对于边AB上任一点P，恒有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))，则( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值是________．
培优点11 向量极化恒等式
【要点总结】
极化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.
变式：a·b＝eq \f(a＋b2,4)－eq \f(a－b2,4)，a·b＝eq \f(|a＋b|2,4)－eq \f(|a－b|2,4).
如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))2－eq \(MB,\s\up6(→))2.

【典例】 (1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4， eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值为________．
【答案】 eq \f(7,8)
【解析】 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.
根据向量的极化恒等式，有eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4， eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.
联立解得n2＝eq \f(5,8)，m2＝eq \f(13,8).
因此eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq \f(7,8).
即eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(7,8).
(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是________．
【答案】 [0,2]
【解析】 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2eq \r(3).当弦MN的长度最大时，MN为球的直径．设内切球的球心为O，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(PO,\s\up6(→))2－eq \(ON,\s\up6(→))2＝eq \(PO,\s\up6(→))2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，eq \r(3)]，所以eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．
【方法总结】
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
【拓展训练】
1．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝eq \f(1,4)AB，且对于边AB上任一点P，恒有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))，则( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
【答案】 D
【解析】 如图所示，取AB的中点E，因为P0B＝eq \f(1,4)AB，所以P0为EB的中点，取BC的中点D，则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE.
根据向量的极化恒等式，
有eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2，eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))＝eq \(P0D,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2.
又eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≥eq \(P0B,\s\up6(→))·eq \(P0C,\s\up6(→))，则| eq \(PD,\s\up6(→))|≥|eq \(P0D,\s\up6(→))|恒成立，
必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.
2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值是________．
【答案】 2
【解析】 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))2－eq \f(1,4).
因为OM≤ON＋NM＝eq \f(1,2)AD＋AB＝eq \f(3,2)，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号．
所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的最大值为2.