湖南省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试题（专家B卷）（Word版附解析）

湖南省普通高中学业水平考试合格性考试（专家B卷）

数学

本试卷时量90分钟，满分100分.

一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据交集的知识确定正确答案.

【详解】依题意，.

故选：D

2. 已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（    ）

A. －i B. i C. 1 D. －1

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的概念直接求解.

【详解】复数z的虚部为-1.

故选：D

3. 函数的定义域为（    ）

A. 且 B.  C.  D. 且

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

【详解】依题意，，解得且，

所以函数的定义域为且.

故选：A

4. 在正六边形中，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量运算求得正确答案.

【详解】依题意，.

故选：C

5. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式求得正确答案.

【详解】依题意，，

.

故选：A

6. 已知函数，则（    ）

A. 4 B.  C. 81 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数解析式求得正确答案.

【详解】，.

故选：C

7. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分不必要条件的知识确定正确答案.

【详解】不等式成立的一个充分不必要条件是，

是的必要不充分条件，

是的非充分非必要条件，

是的充分必要条件.

故选：A

8. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），出现点数和为4的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用古典概型的知识求得正确答案.

【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件有种，

其中点数和为的有共种，

所以出现点数和为4概率是.

故选：C

9. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据对数、指数的单调性对的大小进行分析，由此确定正确答案.

【详解】，即，

，，

所以.

故选：D

10. 在空间中，设m，n为两条不同的直线，为一个平面，下列条件可判定的是（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，且

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，当，时，，所以A选项错误.

B选项，当，时，可能平行，所以B选项错误.

C选项，当，时，，所以C选项正确.

D选项，当，且时，可能平行，所以D选项错误.

故选：C

11. 函数的图象如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的图象，依次求得和的值.

【详解】由图可知，，

则，

则当时，，

由于，所以.

故选：B

12. 某学校数学、物理、化学老师的人数分别为12，8，8，现采用分层随机抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查，应从数学教师中抽取人数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.

【详解】依题意，应从数学教师中抽取人数为人.

故选：B

13. 已知，，若，则（    ）

A. -2 B.  C.  D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值.

【详解】由于，所以.

故选：A

14. 已知，那么（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数运算的知识求得，进而求得.

【详解】依题意，，

所以，所以，

所以.

故选：C

15. 下列关于函数的说法正确的是（    ）

A. 图象关于点成中心对称 B. 图象关于直线成轴对称

C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的对称性、定义域、单调性等知识确定正确答案.

【详解】当时，，所以是函数的中心对称，

所以A选项正确，B选项错误.

C选项，注意到时，，而不存在，所以C选项错误.

D选项，注意到时，，而不存在，所以D选项错误.

故选：A

16. 甲、乙、丙、丁四人参加诗歌朗诵，甲第一个朗诵或乙第四个朗诵的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据古典概型的知识求得正确答案.

【详解】甲、乙、丙、丁四人参加诗歌朗诵，基本事件有种，

其中甲第一个朗诵或乙第四个朗诵的事件有：种，

所以甲第一个朗诵或乙第四个朗诵的概率是.

故选：D

17. 如图是周老师散步时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象，则周老师散步的路线可能是（    ）

A.        B.    C.    D.  

【答案】D

【解析】

【分析】根据关于的函数关系的图象确定正确答案.

【详解】根据关于的函数关系的图象可知，

周老师先远离家，然后有一段时间和家的距离相同，然后再回家（离家越来越近），

所以D选项对应图象符合.

故选：D

18. 已知函数（a，b为常数，且，）的图象经过点，，下列四个结论：

①；

②；

③函数仅有一个零点；

④若不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

【答案】C

【解析】

【分析】根据的坐标求得，结合零点存在性定理、分离常数法判断即可.

【详解】依题意，解得（负根舍去），，所以①正确，②错误，只有C选项正确.

则，函数在上递增，

当时，；当时，，

所以函数在上有唯一零点，③正确.

不等式在时恒成立，即在时恒成立，

函数在上单调递增，最小值为，所以，④正确.

所以正确的为①③④.

故选：C

【点睛】利用零点存在性定理判断函数零点个数时，除了要判断以外，还需要判断函数的单调性.另外函数不满足，也可能存在零点.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

19. 已知一个球的体积为，则此球的表面积为_______．

【答案】4π

【解析】

【分析】求出球半径，即可求得表面积．

【详解】解：因为球的体积为，

所以r3，

解得球的半径r＝1．

所以球的表面积为：4πr2＝4π．

故答案为：4π．

20. 如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据线面角的知识求得正确答案.

【详解】连接，由于平面，

所以是直线与平面所成角，

设正方体的边长为，则，

所以，

所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为.

故答案为：

21. 已知，则的最大值是_________

【答案】##

【解析】

【分析】直接利用基本不等式求最大值.

【详解】，则，

当且仅当即时取等号．

故答案为：.

22. 若函数在区间上至少有一个零点，则实数a的取值范围为____________．

【答案】

【解析】

【分析】利用分离常数法，结合图象来求得的取值范围.

【详解】当时，由得，

画出的图象如下图所示，

，结合图象可知的值域是.

依题意，函数在区间上至少有一个零点，

所以取值范围是.

故答案为：

三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

23. 若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．

（1）求的解析式；

（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得，也即求得.

（2）由分离常数，进而求得的取值范围.

【小问1详解】

由为二次函数，可设

∵图象的对称轴为，最小值为-1，且，

∴，∴，

∴．

【小问2详解】

∵，即在上恒成立，

又∵当时，有最小值0，

∴，

∴实数m的取值范围为．

24. 某中学为了提高学生学习数学的兴趣，举行了一次数学竞赛，共有600名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分为正整数，满分为150分），经统计，得到如图所示的频率分布表和频率分布直方图．

（1）求图中的x，a的值；

（2）估计这600名学生竞赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果精确到整数）．

【答案】（1），   

（2）116分

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为求得，进而求得，的值.

（2）根据平均数的求法求得平均成绩.

【小问1详解】

由题图得，

，

又∵，

∴，

∴图中x，a的值分别为16和0.04．

【小问2详解】

（分）

∴这600名学生竞赛的平均成绩为116分．

25. 如图所示，平面平面，四边形为矩形，，，，．

（1）求多面体体积；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）通过割补法，结合锥体体积计算公式求得正确答案.

（2）作出二面角的平面角，进而计算出其余弦值.

【小问1详解】

如图，连接BD，

∵四边形AEFB为矩形，

∴，，

∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面，

平面ABEF，平面ABEF，

∴AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，

∵平面ABCD，

∴，

又，AB∩AE＝A，平面，

∴AD⊥平面AEFB，

∴，

∵，，

∴．

∴，

∴多面体ABCDEF的体积为

．

【小问2详解】

如图，过B作交DC的延长线于点G，连接FG，

∵FB⊥平面ABCD，平面，

∴DG⊥FB，

又DG⊥BG，BG∩FB＝B，平面，

∴DG⊥平面FBG，

∵平面，

∴DG⊥FG，

∴∠FGB为二面角F-CD-A的平面角，由题意得，

∵，

∴，

在Rt△FBG中，，，

∴，

∴，

∴二面角F-CD-A的余弦值为．