河北省普通高中2023年3月学业水平合格性考试模拟（三）数学试题（Word版附解析）

2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试

数学模拟试卷（三）

一、选择题（本题共30小题，每题3分，共90分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】由已知得，设，化简计算可得.

【详解】因为，所以，故设，则，所以.

故选：B.

2. 下面四个命题正确的个数是（    ）.

①集合中最小的数是1；

②若，则；

③若，则的最小值是2；

④的解集是.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】由是正整数集可判断①②③，根据集合中元素的互异性知④错误.

【详解】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；

当时，，但，故②错误；

若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；

由集合中元素的互异性知④错误.

故选：C

【点睛】本题考查常用数集、集合中元素的性质，属于基础题.

3. 已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】由特称命题的否定改写规则可得答案.

【详解】因命题：，，则其否定为：.

故选：C

4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由原函数的定义域，分别求、的定义域，它们的交集即为的定义域

【详解】∵函数的定义域是

∴解之得：

故选：C

【点睛】本题考查了求抽象函数的定义域，利用原函数的定义域求复合函数的定义域，属于简单题

5. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数运算性质计算即可

【详解】

故选：C

6. 某市场监管局从所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了检查，则（    ）

A. 该市场监管局的调查方法是普查 B. 样本容量是该超市的20种冷冻饮品

C. 总体是超市在售的40种冷冻饮品 D. 样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量

【答案】D

【解析】

【分析】根据随机抽样概念求解即可.

【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，

样本的个体是20种冷冻饮品中每种冷冻饮品的质量，样本容量是20．

故选：D

7. 已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（    ）

A. 6π B. 12π C. 18π D. 24π

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.

【详解】解：正方体的八个顶点在同一个球面上，

若正方体的棱长是2，

设外接球的半径为r，

则，解得，

故球的直径为.

球的表面积为.

故选：B.

8. 下表为随机数表的一部分：

08015   17727   45318   22374   21115   78253

77214   77402   43236   00210   45521   64237

已知甲班有位同学，编号为号，规定：利用上面的随机数表，从第行第列的数开始，从左向右依次读取个数，则抽到的第位同学的编号是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据随机数表法读取出前位同学的编号，由此可得出结果.

【详解】从第行第列的数开始，从左向右依次读取个数，读取前位同学的有效编号为、、、、、、、，

因此，抽到的第位同学的编号是.

故选：A.

9. 已知集合，，若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据可求得，再求即可.

【详解】因为集合，，

且，则有，

或，

则.

故选：B.

10. 出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由块玻璃拼组而成，塔高米，底宽米，则该金字塔的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可得正四棱锥的底面边长与高，代入棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

如图正四棱锥中，底面，，，

底面正方形的面积为，

则正四棱锥的体积为，

故选：A

11. 已知复数z在复平面内对应的点为，z是的共轭复数，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】依题意，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；

【详解】解：由题知，则，所以.

故选：D.

12. 已知向量，满足，，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.

【详解】由得，

两边平方得，

所以.

故选：A

13. 设向量，的模分别为2和3，且夹角为120°，则等于（    ）

A.  B. 13 C. 7 D.

【答案】D

【解析】

【分析】应用向量数量积的运算律求模长.

【详解】，

所以等于.

故选：D

14. 若命题“”是假命题，则实数a的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据命题的否定为真命题可求.

【详解】若命题“”是假命题，

则命题“”是真命题，

当时，，所以.

故选：A.

15. 从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之间的人数约为（    ）

A. 18000 B. 15000 C. 12000 D. 10000

【答案】C

【解析】

【分析】根据给出的数据算出事件发生的概率，再乘以总数即可.

【详解】在随机抽取10人中，身高在155.5cm－170.5cm之间的人数为4人，

所以从所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm的概率为

，所以从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随

机抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之间的人数约为人.

故A，B，D错误.

故选：C.

16. 已知，则函数的最小值是（    ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本不等式可求得最小值．

【详解】∵，∴，

当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6．

故选：B．

17. 已知函数，则值为（    ）.

A. －2 B. 6 C. 1 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】

令，求出，代入后可得答案

【详解】由得，所以．

故选：B．

【点睛】本题考查求函数值，解题方法是整体思想，即把作为一个整体，令求解．

18. 已知，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可.

【详解】，因为函数是实数集上的增函数，

所以由可得：，即，

故选：C

19. 已知向量，，若，则的值为（    ）

A. 2 B. -2 C. 6 D. -6

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算，求得，结合向量垂直的条件和数量积的运算公式，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，向量，，可得，

因为，则，解得.

故选：C.

20. 复数满足，则最大值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的几何意义求解即可.

【详解】复数满足，其对应的点是以原点为圆心，为半径的圆上的点，

复数几何意义是复数对应的点到点的距离，

所以的最大值为，

故选：D.

21. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积为（    ）

A 160 B. 80 C. 100 D. 120

【答案】A

【解析】

【分析】由已知条件求得底面菱形的两条对称线长，从而求得菱形的边长，由侧面积公式可得侧面积．

【详解】设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，

所以＝152－52，＝92－52.

又，

即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，

所以S侧＝ch＝4×8×5＝160

故选：A．

22. 某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据频率分布直方图得到内有2人，内有4人，然后列举出所有的基本事件，用古典概型求概率的公式求概率即可.

【详解】由频率分布直方图知内有2人，不妨记为a，b；在内有4人，不妨记为1，2，3，4.从6人中任取2人的基本事件为，共15个，事件“恰有一人的成绩在内”的基本事件有8个，所以所求的概率为.

故选：B.

23. 定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据偶函数定义，将自变量转化到区间上，利用单调性比较大小即可.

【详解】因为为偶函数，所以，，又，且在上是减函数，所以.

故选：A

24. “”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】由不等式性质由得，充分性满足，但，时，满足，但不满足，不必要．应为充分不必要条件．

故选：A．

25. 已知函数，，若存在两个零点，则a的取值范围是（    ）

A. (﹣4，0] B. (，﹣9)

C. (，﹣9)(﹣4，0] D. (﹣9，0]

【答案】C

【解析】

【分析】

令，将存在两个零点，转化为两函数有两个交点，在同一坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合法求解.

【详解】令，

得，

令，

在同一坐标系中，作出两个函数的图象，如图所示：

因为存在两个零点，

由图象可得：a<﹣9或﹣4<a≤0，

故选：C

【点睛】方法点睛：函数零点问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．

26. 下列不等式：

①；

②；

③；

④

其中恒成立的有（    ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

【答案】B

【解析】

【分析】对于①，利用不等式的性质可得解；对于②，利用作差法可知，只时，成立；对于③，利用作差法知即可判断； 对于④，利用③的结论结合不等式的性质可判断；

【详解】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立；

对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立；

对于③，，∴，故③恒成立；

对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立；

故恒成立的结论是①③④

故选：B．

27. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，乙只投了1个球包括甲未投进乙投进结束，甲未投进乙未投进甲再投投进结束两个互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及独立事件同时发生的概率求解.

【详解】设，分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，，（，2），记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D．

则

故选：B

28. 直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ）

A.

B. 或

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法．

【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，

选项中除去的是四条线；

选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；

选项，则且，即除去两点､，符合题意；

选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．

故选：C

【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．

29. 已知函数，，的零点分别，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．

【详解】解：因为函数，，，

所以函数，，均为增函数，

当时，恒成立，故的零点小于0，即，

当时，恒成立，当时，，所以，

当时，，故，

故．

故选：A．

30. 已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球的体积等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由条件可得球心为正方形的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值. 设球的半径为,则，可得为等边三角形，根据条件可得，从而得出答案.

【详解】四棱锥的所有顶点都在同一球面上，

底面是正方形且和球心在同一平面内,

所以球心为正方形的中心，

当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.

此时四棱锥为正四棱锥.

设球的半径为，则,

为等边三角形，则

所以此四棱锥的表面积为

所以，因此球的体积.

故选：C.

【点睛】本题考查四棱锥的表面积和外接球的体积问题，属于中档题.

二、解答题（本题共1题，共10分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

31. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且（c﹣a）（c+a）+abcosC＝S.

（1）求角A的大小；

（2）若4cosB•cosC＝1，且a＝2，求S的值.

【答案】（1）;（2）

【解析】

【分析】（1）边化角即可；（2）通过角得关系求出，进一步即可获解

【详解】（1）

所以，即

，

（2）

△ABC为等边三角形

所以