天津市滨海新区塘沽第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

塘沽一中2020-2021学年度第一学期高一第一次月考数学学科试题

一.选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据交集运算，直接求解即可.

【详解】因为集合，，

故可得.

故选：.

【点睛】本题考查集合的交运算，属简单题.

2. 已知命题,，那么是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

由特称命题的否定知，命题“,”的否定为“”．选C．

3. 设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（　　）个

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数．

【详解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C．

【点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4. 已知，，则下列命题中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

通过反例可得B、C、D错误，利用不等式的性质可证明A成立，故可得正确的选项.

【详解】因为，，由同向不等式的可加性得，故A正确.

取，，则，成立，

但，故B错误.

而，故C错误，

又，故D错误，

故选：A.

【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明不等式不成立，只需一个反例即可，本题属于基础题.

5. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出集合，根据，得到，再由，可求出答案.

【详解】已知，，

又，所以，因此或或，

所以实数取值集合为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数，涉及由集合的包含关系求参数，以及一元二次不等式的解法，属于基础题.

6. 已知，，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据集合的包含关系，由充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】因为，，

是的真子集，

则是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查判定命题的充分不必要条件，属于基础题型.

7. 若，，则与的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

作差后因式分解，即可判断大小.

【详解】因为，，

所以，即,选A.

【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.

8. 已知，，，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据基本不等式，由题中条件，直接计算，即可得出结果.

【详解】因为，，，

所以，当且仅当即时取等；

故，即.

故选：B.

【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最值，属于基础题型.

9. 一元二次不等式的解集是，则的值是（    ）

A. 10 B. -10 C. 14 D. -14

【答案】D

【解析】

【分析】

由方程的两根为和，根据韦达定理求出可得结果.

【详解】根据题意，一元二次不等式的解集是，

则，方程的两根为和，

则有，，

解可得，

则

故选：D．

【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，属于基础题.

10. 已知，，且，若恒成立，则实数取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题中条件，先由基本不等式，求出的最小值，进而可得出结果.

【详解】因，，且，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

又恒成立，所以只需，解得.

故选：A.

【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，考查由基本不等式求最值，以及一元二次不等式的解法，属于常考题型.

二. 填空题（每小题5分，共30分）

11. 满足关系式的集合的个数是__________.

【答案】4

【解析】

【分析】

列举出满足题意的集合A即得解.

【详解】由题得满足关系式的集合A有：.

所以集合A的个数为4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查集合的关系和集合个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

12. 当时，的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.

【详解】，，由基本不等式得.

当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题.

13. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据特称命题是假命题进行转化即可

【详解】命题“”是假命题，

则命题“”是真命题，

则，解得

则实数的取值范围是

故答案为

【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．

14. 下列命题中：①若，，则；②“”是“”的充分不必要条件；③若，则；④“”是“”的必要不充分条件，上述命题中正确命题的序号______.

【答案】②③④

【解析】

【分析】

取特殊值可判断①；由基本不等式可判断③；由充分条件必要条件的定义判断②④.

【详解】对于①，当时，，故①错误；

对于②，若，则，故充分性成立；若，取，满足，但不满足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故②正确；

对于③，若，则，则，故③正确；

对于④，若，，则，故充分性不成立；若，则，所以，故必要性成立，即“”是“”的必要不充分条件，故④正确.

故答案为：②③④

【点睛】本题考查命题真假的判断，其中涉及不等式性质，基本不等式，充分必要条件的判断，属于基础题.

15. 某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ；

【答案】20吨

【解析】

【分析】

依题意写出表达式，均值不等式求最小值．

【详解】由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨．

【点睛】实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件．

16. 已知关于的不等式（）的解集为空集，则的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判别式小于零，可得出，再将化为，由和均值不等式可求得最小值.

【详解】由题意可得：，，可以得到，

而，可以令，

则有，

当且仅当，即时，等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查均值不等式，关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出的关系，再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式求解即可，属于中档题.

三.解答题（共2个大题，共40分，规范书写解题过程）

17. 已知集合，，

（1）当时，求：①；②；

（2）若，求实数的取值范围；

（3）若时，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由得，由并集，交集以及补集概念，即可得出结果；

（2）由，根据题中条件，列出不等式组求解，即可得出结果；

（3）分别讨论与的情况，根据题中条件，即可求出结果；

【详解】（1）当时，，

所以或，

又，所以，；

（2）因为，所以，解得；

即实数的取值范围是；

（3）因为，

当，则，即；

当，则或，解得；

综上，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查集合的并集、交集、以及补集运算，考查已知集合的包含关系求参数，考查由集合的交集结果求参数，属于基础题型.

18. 设函数.

（1）当，时，求不等式的解集；

（2）当时，若对于，有恒成立，求的取值范围；

（3）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.

【答案】（1）或；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）利用一元二次不等式的解法即可求解.

（2）根据一元二次不等式恒成立可得，解不等式即可.

（3）由题意可得，即，再由，利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）当，时，

则，

解得或，

所以不等式的解集为或，

（2）当时，若对于，有恒成立，

即恒成立，可得，

解得，所以的取值范围为.

（2）对于一切实数恒成立，可得，

由存在，使得成立，可得，

所以，即，解得，

，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式恒成立问题、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于中档题.