天津市第七中学2021届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

2020-2021高三年级(上)第一次月考数学试卷

一、选择题

1. 已知命题：，总有，则为（    ）

A. ，使得 B. ，使得

C. ，总有 D. ，使得

【答案】B

【解析】

【分析】

本题可直接利用全称命题的否定是特称命题来得出结果.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，命题：，总有，

所以：，使得，

故选：B.

【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，是简单题.

2. 已知集合P＝（﹣∞，1]∪（4，+∞），Q＝{1，2，3，4}，则（）∩Q＝（    ）

A. {1，4} B. {2，3} C. {2，3，4} D. {x|1≤x＜4}

【答案】C

【解析】

【分析】

首先求出，再利用集合的交运算即可求解.

【详解】由集合P＝（﹣∞，1]∪（4，+∞），

则，因为Q＝{1，2，3，4}，

所以（）∩Q＝{2，3，4}.

故选：C

【点睛】本题考查了集合的交、补运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

3. 设，则“”是“”的(  )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.

【详解】由可得，

由可得，

据此可知“”是“”的必要而不充分条件.

故选B.

【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4. 函数的图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先判断函数的奇偶性排除D，利用，排除C，再利用，且时，可排除B，即可求解.

【详解】，

所以函数为奇函数，故排除D；

由，故排除C；

当，且时，接近于，

，此时，故排除B；

故选：A

【点睛】本题考查了函数图像的识别，考查了函数的奇偶性，属于基础题.

5. 若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A. （﹣∞，﹣1） B. （﹣1，0） C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

讨论二次项系数或，当时，只需满足，解不等式即可.

【详解】当时，不等式对于一切实数x恒成立，满足题意；

当时，则 ，即，解得，

综上所述，实数a的取值范围是.

故选：C

【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了分类与整合的思想，属于基础题.

6. 已知，，，则的大小关系为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用等中间值区分各个数值的大小．

【详解】，

，

，故，

所以．

故选A．

【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．

7. 已知函数，图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数的图象（）

A. 关于直线对称 B. 关于直线对称

C. 关于点对称 D. 关于点对称

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数y=f（x）的图象与性质求出T、ω和φ，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心．

【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为4π，

所以ω==，所以f（x）=sin（x+φ）；

将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[（x+）+φ]图象．

因为得到的图象关于y轴对称，所以×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z；

又|φ|＜，所以φ=，所以f（x）=sin（x+），

令x+=kπ，k∈Z，解得x=2k﹣，k∈Z；

令k=0时，得f（x）的图象关于点（-，0）对称．

故选D．

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，是基础题．

8. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，

令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.

二、填空题

9. 已知集合，，若，，则_____.

【答案】19

【解析】

【分析】

利用交集和并集的性质可得，从而5和6是方程的两个根，则，进而可求出的值

【详解】解：因为，，

，，

所以，

所以5和6是方程的两个根，

所以，解得，

所以

故答案为：19

【点睛】此题考查由集合的运算求参数，考查计算能力，属于基础题

10. 已知幂函数的图像经过点，则此幂函数的解析式为_____；关于的不等式的解集为_____.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

（1）设幂函数的解析式为，解方程即得解；

（2）由题得函数定义域为，在是减函数，解不等式即得解集.

【详解】（1）设幂函数的解析式为，

所以函数的解析式为；

（2）由题得函数的定义域为，在是减函数，

因为，所以.

所以不等式的解集为.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法，考查幂函数的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11. 已知，，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据得到， 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，然后利用二倍角公式化简求解.

【详解】∵，，

∴，

∴，

∵，两边平方，

可得，，

∴.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12. 已知，且，则的最小值为____________.

【答案】.

【解析】

【分析】

由可得，再利用基本不等式可得：

，即可得解.

【详解】由可得：

，则：

，

故答案为：.

【点睛】本题考查了基本不等式求最值，考查了“1”的妙用，需要转化思想，有一定的计算量，属于中档题.

13. 若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

令，然后利用x的范围可以求出t的范围，不等式就转化为关于t的一元二次不等式的恒成立问题，再利用一元二次函数的单调性可以求出最小值，进而可以得到a的取值范围．

【详解】令，因为，所以，

则关于t的不等式在[2，4]上恒成立，

因为一元二次函数在[2，4]上单调递增，

故在[2，4]上最小值为，

则，即

故答案为.

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，及二次函数的单调性，属于基础题．

14. 设函数在上为增函数，，且为偶函数，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数的平移关系得到函数g（x）的单调递增区间，根据函数的单调性解不等式即可得到结论．

【详解】∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，

∴f（x）向左平移1个单位得到f（x+1），则f（x+1）在[0，+∞）上为增函数，

即g（x）在[0，+∞）上为增函数，

且g（2）=f（2+1）=0，

∵g（x）=f（x+1）为偶函数

∴不等式g（2﹣2x）＜0等价为g（2﹣2x）＜g（2），

即g（|2﹣2x|）＜g（2），

则|2﹣2x|＜2，

则﹣2＜2x﹣2＜2，

即0＜2x＜4，

则0＜x＜2，

即不等式的解集为（0，2），

故答案为（0，2）．

【点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则 ，若函数是奇函数，则．

三、解答题

15. 已知函数.

（1）求的定义域与最小正周期；

（2）讨论在区间上的单调性.

【答案】（1）定义域为，最小正周期；（2）函数的减区间为，增区间为.

【解析】

【分析】

（1）根据正切函数的定义域即可求出函数的定义域，化简函数为即可求出周期；

（2）根据正弦型函数的单调性求出单调区间，结合定义域即可求出.

【详解】（1）.

，即函数的定义域为，

则

，

则函数的周期；

（2）由，

得，即函数的增区间为，

当时，增区间为，

，

此时，

由，

得，即函数的减区间为，

当时，减区间为，

，

此时，

即在区间上，函数的减区间为，增区间为.

【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域，正弦型函数的周期，单调区间，考查了三角恒等变形，属于中档题.

16. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a＝2,c＝3，又知bsinA＝acos（B）．

（Ⅰ）求角B的大小、b边的长：

（Ⅱ）求sin（2A﹣B）的值．

【答案】（Ⅰ）B，b；（Ⅱ）

【解析】

分析】

（1）将已知条件利用余弦的差角公式展开，再利用正弦定理将边化角，整理后得到角，再利用余弦定理，求得边即可；

（2）由（1）中所求，结合正弦定理，即可求得，再利用正弦的差角公式以及倍角公式展开代值计算即可.

【详解】（Ⅰ）∵bsinA＝acos（B）．∴bsinA＝a（cosBsinB），

∴由正弦定理可得sinBsinA＝sinA（cosBsinB），∵sinA≠0，

∴sinBsinA＝sinA（cosBsinB），可得sin（B）＝0，

∵B∈（0，π），B∈（，），

∴B0，可得B．

∵a＝2，c＝3，

∴由余弦定理可得

b．

（Ⅱ）∵B，a＝2，b．∴由正弦定理，

可得sinA，cosA，

sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝2cos2A﹣1，

∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB．

【点睛】本题考查三角恒等变换，以及利用正余弦定理解三角形，涉及倍角公式，正余弦和差角公式，属综合性基础题.

17. 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）求在区间上的最大值；

（3）求的单调递减区间.

【答案】（1）；（2）1；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由分母不为零得到，即求解.

（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为，再利用余弦函数的性质求解.

（3）由（2）知，利用余弦函数的性质，令 求解.

【详解】（1）因为，即，

解得，

所以的定义域是

（2）因为，

，

又，

所以，

，

所以区间上的最大值是1；

（3）令 ，

解得 ，

 所以单调递减区间.是

【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

18. 已知定义域为的函数.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断函数的单调性，并证明；

（3）解不等式.

【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）单调递增，证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由奇偶性的定义判断和的关系即可判断；

（2）任取，作差判断的正负可判断；

（3）由奇函数将不等式化为，再利用单调性即可解出.

【详解】（1）定义域为关于原点对称，

，

是奇函数；

（2）任取，

，

，，，

，

在是增函数；

（3）是奇函数，，

，

在增函数，

，解得，

不等式的解集为.

【点睛】本题考查奇偶性和单调性的判断证明，考查利用奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.