浙江省高考数学模拟试卷(理科)

这是一份浙江省高考数学模拟试卷(理科)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题
1．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）

A．π B． C． D．2π
2．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10
3．若正数x，y满足4x+9y=xy，则x+y的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．25 D．36
4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足=（++2），则为（　　）
A． B． C．2 D．
5．定义：max{a，b}=，若实数x，y满足：|x|≤3，|y|≤3，﹣4x≤y≤x，则max{|3x﹣y|，x+2y}的取值范围是（　　）
A．[，7] B．[0，12] C．[3，] D．[0，7]
6．已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|=，若|f[f（f（x，y））]|=8，则|（x，y）|的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．函数f（x）=若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（　　）
A．（24，25） B．[16，25） C．（1，25） D．（0，25]
8．设Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=，D是线段AC（除端点A、C）上一点，将△ABD沿BD翻折至平面A′BD，使平面A′BD⊥平面ABC，当A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空题
9．（6分）（2016金华模拟）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，则S∩（∁UT）=　　　　　　，集合S共有　　　　　　个子集．
10．（6分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=1，并且a2n=2an，a2n+1=an+1（n∈N*），则a5=　　　　　　，a2016=　　　　　　．
11．（6分）（2016金华模拟）已知α∈[0，π]，
（1）若cosα=，则tan2α=　　　　　　；
（2）若sinα＞cosα＞，则α的取值范围是　　　　　　．
12．（4分）（2016金华模拟）设对一切实数x，函数f（x）都满足：xf（x）=2f（2﹣x）+1，则f（4）=　　　　　　．
13．（4分）（2016金华模拟）平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，则异面直线EF与BC所成角大小为　　　　　　．

14．（4分）（2016金华模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线与双曲线C的右支交于点P，若线段F1P的中点Q恰好在双曲线C的一条渐近线，且=0，则双曲线的离心率为　　　　　　．
15．（6分）（2016金华模拟）自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持||为定值2（P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，
（1）PQ的中点M的轨迹是　　　　　　的一部分（不需写具体方程）；
（2）N是线段PQ上任﹣点，若|OM|=1，则的取值范围是　　　　　　．
　
三、解答题
16．（14分）（2016金华模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2=，△ABC的面积为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若2sinB=5sinC，求a的值．
17．（15分）（2016金华模拟）如图，在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC．
（Ⅱ）若动点M在底面三角形ABC内（包括边界）运动，使二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，求此时∠MAB的余弦值．

18．（15分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=，an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），令bn=an﹣1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=，求证：c1+c2+…+cn＜n+．
19．（15分）（2016金华模拟）已知F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l1，l2，l，直线l与l1，l2分别交于点R，T．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；
（ii）求△RTM的面积最小值．

20．（15分）（2016金华模拟）设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．
　
浙江省高考数学模拟试卷（理科）试题解析　
一、选择题
1．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）

A．π B． C． D．2π
【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：三视图复原的几何体是下部是半球，半径为：1，
上部是圆锥，底面半径为1，高为：2，
几何体的体积为： =．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．
　
2．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10
【分析】先求命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件即可
【解答】解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a
a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充分必要条件的概念，属于基础题．
　
3．若正数x，y满足4x+9y=xy，则x+y的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．25 D．36
【分析】变形已知式子可得+=1，整体代入可得x+y=（x+y）（+）=13++，由基本不等式可得．
【解答】解：∵正数x，y满足4x+9y=xy，
∴=1，即+=1，
∴x+y=（x+y）（+）
=13++≥13+2=25，
当且仅当=即2x=3y时取等号，
结合+=1可解得x=15且y=10，
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式求最值，变形并整体代入化已知式子为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．
　
4．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足=（++2），则为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】作出图形：延长CO交边AB的中点于D，根据O是△ABC的重心，以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义和向量的数乘运算便可以得出，从而便可得到，而，这样即可求出的值．
【解答】解：如图，延长CO，交AB中点D，O是△ABC的重心，则：
===；
∴；
∴，；
∴．
故选A．

【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，以及向量的数乘运算，三角形的面积公式．　
5．定义：max{a，b}=，若实数x，y满足：|x|≤3，|y|≤3，﹣4x≤y≤x，则max{|3x﹣y|，x+2y}的取值范围是（　　）
A．[，7] B．[0，12] C．[3，] D．[0，7]
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分．

由y﹣3x的几何意义为在y轴上的纵截距，
平移直线y=3x，可得经过点（0，0）时，取得最大值0；
经过点（3，﹣3）时，取得最小值﹣12．
max{|3x﹣y|，x+2y}=max{3x﹣y，x+2y}，
由y≤，可得3x﹣y≥x+2y，
即有z=max{3x﹣y，x+2y}=3x﹣y．
显然平移直线y=3x，可得经过点（0，0）时，z取得最小值0；
经过点（3，﹣3）时，z取得最大值12．
即所求取值范围是[0，12]．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义确定对应的直线方程是截距是本题的关键，属于中档题．
6．已知实数对（x，y），设映射f：（x，y）→（，），并定义|（x，y）|=，若|f[f（f（x，y））]|=8，则|（x，y）|的值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】根据新定义得出|f[f（f（x，y））]|=8，|（，）|=8，计算即可．
【解答】解：∵映射f：（x，y）→（，），
∴f[f（f（x，y））]=f（f（，））=f（，）=（，），
∵定义|（x，y）|=，若|f[f（f（x，y））]|=8，
∴|（，）|=8，
∴=8，

∴|（x，y）|的值为16，
故选：C
【点评】本题考察了映射的概念，关键是理解题目条件的含义，展开计算即可，属于中档题目．　
7．函数f（x）=若a，b，c，d各不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（　　）
A．（24，25） B．[16，25） C．（1，25） D．（0，25]
【分析】先画出函数f（x）的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．
【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：
若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
不妨令a＜b＜c＜d，
则0＜a＜1，1＜b＜4，
则log2a=﹣log2b，即log2a+log2b=log2ab=0，
则ab=1，
同时c∈（4，5），d∈（5，6），
∵c，d关于x=5对称，∴ =5，
则c+d=10，则10=c+d，
同时cd=c（10﹣c）=﹣c2+10c=﹣（c﹣5）2+25，
∵c∈（4，5），
∴cd∈（24，25），
即abcd=cd∈（24，25），
故选：A

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，由题意正确画出图象和熟练掌握对数函数的图象是解题的关键．利用对数函数的运算性质以及指数函数的对称性转化为一元二次函数是解决本题的关键．
　
8．设Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=，D是线段AC（除端点A、C）上一点，将△ABD沿BD翻折至平面A′BD，使平面A′BD⊥平面ABC，当A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图所示，连接A′A．设AD=x，．点H到平面A′AB的距离为h．由于=，可得S△ABH=h，又A′H==AH，S△ABH=，BH=．A′A=， =，代入化简利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：如图所示，连接A′A．
设AD=x，．点H到平面A′AB的距离为h．
∵=，
S△ABH=h，
又A′H==AH，S△ABH=，BH=．
A′A=， =，
h====≤，当且仅当x=时取等号．
∴当A′在平面ABC的射影H到平面ABA′的距离最大时，AD的长度为．
故选：A．

【点评】本题考查了空间线面位置关系、三棱锥体积计算公式、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
二、填空题
9．（6分）（2016金华模拟）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，则S∩（∁UT）=　{1，5}　，集合S共有　8　个子集．
【分析】利用补集的定义求出T的补集；利用交集的定义求出两个集合的交集．
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，
∴∁UT={1，4，5}，
∴S∩（∁UT）={1，5}，
S={1，2，5}的子集的个数为23=8，
故答案为：{1，5}，8．
【点评】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算．　
10．（6分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=1，并且a2n=2an，a2n+1=an+1（n∈N*），则a5=　3　，a2016=　192　．
【分析】利用a2n=2an，a2n+1=an+1逐层转换，从而求得．
【解答】解：a5=a2+1=2a1+1=3，
a2016=2a1008=4a504=…
=32a63=32（a31+1）
=32（a15+1+1）
=32（a7+3）
=32（a3+4）
=32（a1+5）
=32×6=192；
故答案为：3，192．
【点评】本题考查了递推公式的应用，属于中档题．　
11．（6分）（2016金华模拟）已知α∈[0，π]，
（1）若cosα=，则tan2α=　﹣　；
（2）若sinα＞cosα＞，则α的取值范围是　（，）　．
【分析】（1）cosα=，α∈[0，π]，α=，∴tan2α=tan=﹣，
（2）观察函数图象，写出α的取值范围．
【解答】解：cosα=，α∈[0，π]，α=，
∴tan2α=tan=﹣，
（2）α∈[0，π]，由函数图象可知：sinα＞cosα，
∴α＞，
cosα＞，
∴α＜，
综上可知：α的取值范围是（，）．
【点评】本题考查特殊角的函数值及正弦函数余弦函数图象，属于基础题．　
12．（4分）（2016金华模拟）设对一切实数x，函数f（x）都满足：xf（x）=2f（2﹣x）+1，则f（4）=　0　．
【分析】由题意知4f（4）=2f（﹣2）+1，﹣2f（﹣2）=2f（4）+1，从而解方程即可．
【解答】解：∵xf（x）=2f（2﹣x）+1，
∴4f（4）=2f（﹣2）+1，﹣2f（﹣2）=2f（4）+1，
∴4f（4）=﹣2f（4）﹣1+1，
解得，f（4）=0；
故答案为：0．
【点评】本题考查了函数的基本性质应用及方程思想的应用．　
13．（4分）（2016金华模拟）平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，则异面直线EF与BC所成角大小为　30°　．

【分析】延长AD，FE交于Q，∠AQF是异面直线EF与BC所成的角，由此能求出异面直线EF与BC所成角．
【解答】解：延长AD，FE交于Q．
∵ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．
在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得
∠AQF=30°．
即异面直线EF与BC所成角为30°．
故答案为：30°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
14．（4分）（2016金华模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线与双曲线C的右支交于点P，若线段F1P的中点Q恰好在双曲线C的一条渐近线，且=0，则双曲线的离心率为　　．
【分析】由题意可得F1（﹣c，0），设P（m，n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式和向量垂直的条件：数量积为0，由两直线垂直的条件：斜率之积为0，解方程可得P的坐标，代入双曲线的方程，化简可得b=2a，由离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），设P（m，n），
可得﹣=1，③
中点Q的坐标为（，），且Q在渐近线y=﹣x上，
由=0，可得PF1⊥PF2，
即有OQ⊥PF1，可得
=，①
又=﹣，②
由①②解得m=，n=，
代入③可得，﹣=1，
由c2=a2+b2，化简可得b=2a，
c==a，
可得e==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和向量垂直的条件，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．　
15．（6分）（2016金华模拟）自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持||为定值2（P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，
（1）PQ的中点M的轨迹是　椭圆　的一部分（不需写具体方程）；
（2）N是线段PQ上任﹣点，若|OM|=1，则的取值范围是　[1﹣，1+]　．
【分析】（1）以OB为x轴，过O垂直于OB的直线为y轴，求出P，Q，M的坐标，利用余弦定理，可得结论；
（2）利用平行四边形的对角线的平方和等于1，结合a2+b2+ab=8，求出a，b，可得P，Q，M的坐标，利用向量的数量积公式可得结论．
【解答】解：（1）以OB为x轴，过O垂直于OB的直线为y轴，|OQ|=a，|OP|=b，则P（﹣， b），Q（a，0），
∴M（， b），
设M（x，y），则x=，y=b，
∴a=2x+y，b=y
由余弦定理可得a2+b2+ab=8，
∴3x2+4xy+7y2=6，
∴PQ的中点M的轨迹是椭圆的一部分；
（2）∵||为定值2，|OM|=1，
∴a2+b2=6，
∵a2+b2+ab=8，
∴ab=2，
∴a=，b=，
∴P（﹣，），Q（，0），M（，），
∴=1﹣， =1+， =1
∴的取值范围是[1﹣，1+]．
故答案为：椭圆；[1﹣，1+]．
【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．　
三、解答题
16．（14分）（2016金华模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2=，△ABC的面积为4．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若2sinB=5sinC，求a的值．
【分析】（I）由cos2=，可得=，化为cosA=，A∈（0，π），利用sinA=即可得出．利用S△ABC=4=bcsinA，可得bc．即可得出．
（II）由2sinB=5sinC，得2b=5c，又bc=10，解得b，c．再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：（I）在△ABC中，∵cos2=，∴ =，
∴，解得cosA=，A∈（0，π），
∴sinA==．
∵S△ABC=4=bcsinA=bc×，可得bc=10．
=bccosA=10×=6．
（II）由2sinB=5sinC，得2b=5c，又bc=10，解得b=5，c=2．
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=17，
∴a=．
【点评】本题考查了余弦定理、倍角公式、三角函数的面积计算公式、同角三角函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
17．（15分）（2016金华模拟）如图，在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面APC．
（Ⅱ）若动点M在底面三角形ABC内（包括边界）运动，使二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，求此时∠MAB的余弦值．

【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连结OP，OB，推导出OP⊥OC，OP⊥OB，由此能证明OP⊥平面APC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠MAB的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点O，连结OP，OB，
∵AP=CP，∴OP⊥OC，
∵在三棱椎P﹣ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2，
∴OP=2，OB=2，PB=4，∴PB2=OP2+OB2，△POB是直角三角形，
∴OP⊥OB，
又OC与OB交于点O，∴OP⊥平面APC．
解：（Ⅱ）以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，﹣2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），
平面PAC的法向量=（1，0，0），
设平面PAM的法向量=（x，y，z），M（m，n，0），
∴=（0，2，2），=（m，n+2，0），
则，取z=﹣1，得=（），
∵二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，
∴|cos＜＞|===，
整理，得（n+2）2=9m2，
∴n+2=3m或n+2=﹣3m（舍），
∴cos∠MAB====．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．　
18．（15分）（2016金华模拟）已知数列{an}满足a1=，an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），令bn=an﹣1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=，求证：c1+c2+…+cn＜n+．
【分析】（I）an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），bn=an﹣1，即an=bn+1．代入化为：﹣=﹣1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）由（I）可得：an=bn+1=1﹣=．代入cn==1+，由于n≥2时，2n+2≤2n+1﹣1，可得＜，利用“裂项求和”、数列的单调性即可得出．
【解答】（I）解：∵an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），bn=an﹣1，即an=bn+1．
∴（bn+1+1）（bn+1）=2（bn+1+1）﹣1，化为：﹣=﹣1，
∴数列是等差数列，首项为﹣2，公差为﹣1．
∴=﹣2﹣（n﹣1）=﹣1﹣n，∴bn=﹣．
（II）证明：由（I）可得：an=bn+1=1﹣=．
∴cn====1+，
∵n≥2时，2n+2≤2n+1﹣1，∴＜，
∴c1+c2+…+cn≤n++=n+﹣＜n+．
【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
19．（15分）（2016金华模拟）已知F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，分别过点A、B、P作椭圆C的切线l1，l2，l，直线l与l1，l2分别交于点R，T．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）（i）求证：以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标；
（ii）求△RTM的面积最小值．

【分析】（Ⅰ）由当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，求出c=1，2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）（i）设直线l为：y=kx+m，与椭圆联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、椭圆对称性，向量数量积，结合已知条件能证明以RT为直径的圆过定点，并求出定点M的坐标．
（ii）由图形的对称性，取M为右焦点F2（1，0），S△RTM=S四边形ABTR﹣S△BDA=2（m+k），由此能求出△RTM的面积的最小值为3．
【解答】解：（Ⅰ）∵F1、F2是椭圆C的左右焦点，点A，B为其左右顶点，
P为椭圆C上（异于A、B）的一动点，当P点坐标为（1，）时，△PF1F2的面积为，
∴=，解得c=1，
又∵2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，b=，
故椭圆C的方程为．
证明：（Ⅱ）（i）由题意直线l的斜率存在，设直线l为：y=kx+m，
联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，
化简，得m2=3+4k2，
R（﹣2，﹣2k+m），T（2，2k+m），
由对称性，知定点M在x轴上，
设M（x，0），M在RT为直线的圆上，∴MR⊥MT，
∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣2k+m）（2k+m）=x2﹣4+m2﹣4k2=0，
解得x=±1，
∴定点M即为左右焦点F1，F2，其坐标为（±1，0）．
解：（ii）由图形的对称性，不妨取M为右焦点F2（1，0），
点P在x轴上方，
S△RTM=S四边形ABTR﹣S△BDA=2（m+k），
令m+k=t，则m=t﹣k，代入m2=3+4k2，
得3k2+2tk+3﹣t2=0，
△=4（4t2﹣9）≥0，
∵t＞0，∴t≥，S△RDA≥3，
当m=2，k=﹣时，取等号，
故△RTM的面积的最小值为3．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查圆过定点的证明及定点坐标的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、椭圆对称性，向量数量积的合理运用．
　
20．（15分）（2016金华模拟）设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．
【分析】（Ⅰ）把2a+b=4代入函数解析式，利用f（x）的对称轴为进行分类，求出f（x）在[0，4]上的最值，进一步求得|f（x）|在区间[0，4]上的最大值．由最大值的最小值为12证得答案；
（Ⅱ）f（x）的对称轴为x=﹣，根据对称轴与区间[0，b]的关系分情况讨论f（x）的单调性，求出最值，根据1≤f（x）≤10列出不等式组，化简得出b的取值范围，从而得到实数b的最大值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵2a+b=4，
∴f（x）=x2+ax+b=x2+ax+4﹣2a=，
当，即a≥0时，f（x）在[0，4]上为增函数，f（x）∈[﹣2a+4，2a+20]，
|f（x）|的最大值为M（a）=2a+20；
当，即a≤﹣8时，f（x）在[0，4]上为减函数，f（x）∈[2a+20，﹣2a+4]，
此时﹣2a+4＞|2a+20|，|f（x）|的最大值为M（a）=﹣2a+4；
当0，即﹣4≤a＜0时，f（x）在[0，4]上的最小值为，
f（x）在[0，4]上的最大值为f（4）=2a+20，
∵2a+20≥12，4＜，
∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=2a+20；
当，即﹣8＜a＜﹣4时，f（x）在[0，4]上的最小值为，
f（x）在[0，4]上的最大值为f（0）=﹣2a+4，
∵﹣2a+4＞12，4＜，
∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=﹣2a+4．
∴M（a）=，则M（a）≥12；
（Ⅱ）f（x）=x2+ax+b的对称轴为x=．
①若a≥0，则≤0，∴f（x）在[0，b）上单调递增，
∴．
由b2+ab+b≤10，得≥a≥0，
解不等式组，得1．
②若0＜＜，即﹣b＜a＜0时，f（x）在[0，]上单调递减，在（﹣，b]单调递增，
∴．
∴，即，得1＜b＜10．
③若0＜＜b，即﹣2b＜a＜﹣b＜0时，f（x）在[0，]单调递减，在（，b]单调递增，
∴，即，则1＜b≤10．
④若≥b，即a≤﹣2b时，f（x）在[0，b）上单调递减，
∴，
∴，即，则b∈∅．
综上，b的取值范围是[1，10]，b的最大值为10．
【点评】本题考查恒成立问题，主要考查二次函数的图象和性质，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，体现了分类类讨论的思想方法，难度较大．