2023年山东省枣庄市滕州市中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省枣庄市滕州市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，是负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 山东博物馆 B. 西藏博物馆
C. 温州博物馆 D. 湖北博物馆

4.  已知经过闭合电路的电流单位：与电路的电阻单位：是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况满分分，则所打分数的众数为(    )

 

A. 分 B. 分 C. 分 D.

6.  如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  某款“不倒翁”图的主视图是图，，分别与所在圆相切于点，，若该圆半径是，，则的长是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：；；；若为任意实数，则，正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是______．

13.  如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，，连接若，则          ．

 

14.  如图，是的切线，为切点，与交于点，以点为圆心、以的长为半径作，分别交，于点，若，，则图中阴影部分的面积为            ．

15.  在水光激滟的墨子湖畔，枣庄市首条湖底隧道建设格外受人关注如图，沿方向修建隧道箱体，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工，取，，，则，两点的距离是______

16.  如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知方程组的解满足，求的取值范围．

18.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

19.  本小题分
在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区，两所学校九年级各名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取名九年级学生的课后书面作业时长数据保留整数，整理分析过程如下：
【收集数据】学校名九年级学生中，课后书面作业时长在组的具体数据如下：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，．
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的学校频数分布直方图如图所示：

【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：

根据以上信息，回答下列问题：
本次调查是______调查选填“抽样”或“全面”；
统计表中，______，______；
补全频数分布直方图；
在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是______学校选填“”或“”；
按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过分钟，估计两所学校名学生中，能在分钟内包括分钟完成当日课后书面作业的学生共有______人．

20.  本小题分
为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前天完成任务．
求实际施工时，每天改造管网的长度；
施工进行天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？

21.  本小题分
如图，▱中，，相交于点，，分别是，的中点．
求证：；
设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．

22.  本小题分
为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夹角为，点，，，，在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传递到铁环上，会有较好的启动效果．

求证：．
实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长．

23.  本小题分
已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．
求反比例函数的关系式；
如图，函数，的图象分别与函数图象交于，两点，在轴上是否存在点，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点．
求抛物线的解析式；
如图，将抛物线向左平移个单位长度，记平移后的抛物线顶点为，平移后的抛物线与轴交于，两点点在点的右侧，与轴交于点判断以，，三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由；
直线与抛物线交于，两点点在点的右侧，当轴上存在一点，能使以，，三点为顶点的三角形与相似时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：：因为，所以选项不符合题意；
：因为，所以选项不符合题意；
：因为，所以选项不符合题意；
：因为，所以选项符合题意；
故选：．
：根据绝对值运算法则进行计算即可得出答案；
：根据二次根式的性质进行计算即可得出答案；
：根据零指数幂法则进行计算即可得出答案；
：先根据一个数平方的计算方法求出，再求根据相反数的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查绝对值、零指数幂、相反数的运算，熟练应用相关法则进行计算是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为是正整数，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：闭合电路的电流单位：与电路的电阻单位：是反比例函数关系，
，
，
，
故选：．
先根据等量关系“电流”，即可求解．
本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流”是解决此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由扇形统计图知，得分的人数占总人数的，人数最多，
所以所打分数的众数为分，
故选：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作，交的延长线于点，
，，
∽，
，
，
，
在中，
由于，设，则，
又，
，，
，
故选：．
通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示、即可求出答案．
本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，，
，
为正方形对角线的中点，为等边三角形，
，，
．
故选：．
首先利用正方形的性质可以求出，然后利用等边三角形的性质可求出．
本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综合性．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，，可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧的度数．
【解答】
解：作，，和相交于点，如图，











，
，
，
优弧对应的圆心角为，
优弧的长是：，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：边长为的正六边形的中心与原点重合，
，，
轴，
，
，
，，
，
将绕点顺时针旋转，每次旋转，可知点与点重合，

由可知，每次为一个循环，
，
点与点重合，
点与点关于原点对称，
，
第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
由正六边形的性质可得，再根据由可知，每次为一个循环，由，可知点与点重合，求出点的坐标可得答案．
本题主要考查了正六边形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质等知识，根据旋转的性质确定每次为一个循环是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故错误；
设抛物线对称轴与轴交点为，则，

，
，即点坐标为，
当时，，即，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，即，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
当时，函数有最小值，
由，可得，
若为任意实数，则，故正确；
故选：．
分析：
根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据对称轴，，可得点，当时，即可判断；根据对称轴，以及，得与的关系，即可判断；根据函数的最小值是当时，，即可判断；
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

12.【答案】 

【解析】解：画树形图得：

由树形图可知共种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有种，所以概率是．
故答案是．
列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
如图，连接，根据作图可知为的垂直平分线，从而得到，然后利用勾股定理求出，，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，作一条线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握常见图形的尺规作图方法是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接，

，
，，
而根据作图可知为的垂直平分线，
，
在中，，
，
为直角三角形斜边上的中线，
．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
连接，根据切线的性质可得，从而可得，根据题意可得，然后利用阴影部分的面积的面积扇形的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的计算是解题的关键．
【解答】
解：连接，

是的切线，为切点，
，
，
由题意得：
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积扇形的面积


，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，米，
，两点的距离是米，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用平角定义可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可求出的长，再利用三角形内角和定理求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图：

，，
，
点为的中点，
，，
，
点、、在同一条直线上，
由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，
在中，，
，
当点在的延长线上，
在中，，
，
综上所述：当时，的长为或，
故答案为：或．
分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
 

17.【答案】解：得：，
，
得：，
，
代入得：，
．
的取值范围为：． 

【解析】用加减消元法求出方程组的解，代入即可得到的取值范围．
本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
 

19.【答案】解：抽样  ；
，；
补全频数分布直方图：

；
   

【解析】解：根据题意知本次调查是抽样调查；
故答案为：抽样．
，
中位数为第个和第个平均数，
故答案为：，．
补全频数分布直方图：

因为学校的方差为，学校的方差为，
，
课后书面作业时长波动较小的是学校，
故答案为：．
人．
故答案为：．
根据题意知本次调查是抽样调查；
用总数减去其它组的频数求，利用求中位数的方法求；
根据学校的频数分布表补全频数分布直方图；
根据方差即可判断；
分别求出在分钟内包括分钟完成当日课后书面作业的学生即可．
本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

20.【答案】解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，米．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是米；
设以后每天改造管网还要增加米，
由题意得：，
解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加米． 

【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，在解答时找到相等关系和不相等关系建立方程和不等式是关键．
设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，根据比原计划提前天完成任务建立方程求出其解就可以了；
设以后每天改造管网还要增加米，根据总工期不超过天建立不等式求出其解即可．
 

21.【答案】证明：如图，连接，，

四边形是平行四边形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
解：当时，四边形是矩形；理由如下：
当时，，即，
由知：四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形，
当时，四边形是矩形．
故答案为：． 

【解析】利用平行四边形的性质，即可得到，，进而得出四边形是平行四边形，进而得到；
先确定当时，四边形是矩形，从而得的值．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

22.【答案】证明：方法：如图，过点作，分别交于点，交于点．

与相切于点，
．
，
．
，
，
，，
为的切线，
．
，
，
；
方法：如图，延长交于点．

与相切于点，
，
，
，
．
为的切线，
，
．
在四边形中，．
，
．
；

解：如图，在中，

，，
．
由知，，
，
在中，
，
，
．
，
．
，
四边形为矩形，
，
． 

【解析】方法：如图，过点作，分别交于点，交于点首先证明，；再根据是切点得出后面就很简单的证明出结论；方法：如图，延长交于点因为为的切线，所以根据切线性质得到，，再根据四边形、三角形的内角和即可证明；
利用中图的辅助线即可解答．首先根据条件，，得到再利用证明出的，  再求出四边形为矩形，所以，从而得到．
本题重点考查切线的判定和性质，三角函数，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．是很好的中考题．
 

23.【答案】解：把，代入中可得：
，
解得：，
反比例函数的关系式为：；
存在，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的最小，即周长最小，

由题意得：，
解得：或，
，
由题意的：，
解得：或，
，
，
点与点关于轴对称，
，，
，
，
的最小值为，
周长最小值，
在轴上存在点，使得周长最小，且周长的最小值为． 

【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
把，代入中，列出方程组进行计算即可解答；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的最小，即周长最小，先求出，两点坐标，从而求出的长，
再根据点与点关于轴对称，求出的坐标，从而求出的长，进而求出周长的最小值．
 

24.【答案】解：抛物线与轴交于点，
，
抛物线的解析式为；
是直角三角形．理由如下：
将抛物线向左平移个单位长度，得新抛物线，
平移后的抛物线顶点为，
令，得，
，
令，得，
解得：，，
，，
，
，
，
，
是直角三角形；
，，
，
，，
为锐角三角形，，
以，，三点为顶点的三角形与相似，必须，且点在轴右侧，
设，且，则，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
由，
解得：或，
，，
，
当∽时，则，
，
解得：，
；
当∽时，则，
，
解得：，
．
综上，点的坐标为或． 

【解析】将点的坐标代入抛物线解析式中即可求解；
由题意可得平移后抛物线解析式为，得到，，，由两点间距离公式求得，，，进而得到，由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形；
易得，，，，由为锐角三角形，可知，要使以，，三点为顶点的三角形与相似，必须，且点在轴右侧，设，则，根据待定系数法求得直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式求出，，则，分两种情况：当∽时；当∽时．分别根据相似三角形的性质列出方程，求解即可．
本题主要考查用待定系数法求函数解析式、抛物线与轴的交点、抛物线的平移、勾股定理逆定理、两点间距离公式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质，学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．