空间直线、平面的垂直关系导学案-2024届高三一轮复习

第八章 第五节　空间直线、平面的垂直关系

一、学习目标

【课标解读】

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中直线、平面垂直的有关性质与判定定理.

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

【衍生考点】

1.与线、面垂直(平行)相关命题的判断

2.线面垂直的判定及性质

3.面面垂直的判定及性质

4.平行、垂直关系的综合应用

二、相关知识回顾

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.

                 “任意”与“所有”是同义的,但与“无数”不同

(2)判定定理与性质定理

微点拨定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.

微思考1当直线m与平面α不垂直时,在α内是否一定存在无数条直线与m垂直?

微思考2若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?

2.直线和平面所成的角

(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的　　　　所成的　　　　叫作这条直线和这个平面所成的角. 

(2)线面角的范围:　　　　　　　　. 

微点拨一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角.加上斜线与平面所成的角,故线面角范围是[0°,90°].

3.二面角

(1)定义:从一条直线出发的　　　　　　　　所组成的图形叫作二面角;  

(2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作　　　　　　　　的两条射线,这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角. 

(3)二面角的范围:[0°,180°].

微点拨二面角的平面角定义中有三个关键词:一是“棱上一点”,二是“在两个半平面内”,三是“作棱的垂线”.

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　　　　　,就说这两个平面互相垂直. 

(2)判定定理与性质定理

微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.

微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直线m⊥l,则m与平面β一定垂直吗?

常用结论

1.直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.

2.三垂线定理

在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

三、考点精讲精练

考点一 与直线、平面垂直(平行)相关命题的判断

典例突破

例1.(1)(2021四川凉山州三模)已知三条不重合的直线m,n,l,三个不重合的平面α,β,γ,下列命题中正确的是(　　)

A.⇒m∥n  B.⇒α∥β          C.⇒α∥β  D.⇒n∥α

(2)(2021山西太原二模)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC且PA=BC=1,PB=AC=,PC=,则下列命题不正确的是(　　)

A.平面PAB⊥平面PBC

B.平面PAB⊥平面ABC

C.平面PAC⊥平面PBC

D.平面PAC⊥平面ABC

对点训练1(1)(2021山东青岛高三期末)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下结论正确的是(　　)

A.若l⊥α,α∥β,则l⊥β

B.若l∥α,l∥β,则α∥β

C.若l⊥α,α⊥β,则l⫋β

D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β

(2)(2021湖南师大附中高三月考)若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊥α,n⫋β,则“m∥n”是“α⊥β”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分又不必要条件

考点二 直线、平面垂直的判定及性质(多考向探究)

考向1.直线与平面垂直的判定

典例突破

例2.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC;

(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB, 求点C到平面POM的距离.

对点训练2如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF.

考向2.直线与平面垂直的性质

典例突破

例3.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=1,AD=2,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.

(1)求三棱锥E-PAD的体积;

(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE.

对点训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为D1D的中点,O为底面ABCD的中心,求证:B1O⊥AP.

考点三 平面与平面垂直的判定及性质

典例突破

例4.(2021新高考Ⅰ,20)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD, AB=AD,O为BD的中点.

(1)证明:OA⊥CD;

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

对点训练4(2021陕西咸阳模拟)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ADEF为正方形,DE=BD=1,CE=,点G为AD的中点,点H为DE的中点.

(1)求证:平面ADEF⊥平面ABCD且FH⊥BE;

(2)求三棱锥B-CEG的体积.

考点四 平行、垂直关系的综合应用

典例突破

例5.在多面体ABCDEF中,BC∥EF,BF=,

△ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDF是菱形,∠FAC=60°,M,N分别是AB,DF的中点.

(1)求证:MN∥平面AEF;

(2)求证:平面ABC⊥平面ACDF.

对点训练5(2021西南交大附中高三月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AD⊥AB,AB=AD=PD=CD,PD⊥平面ABCD.

(1)证明:平面PBD⊥平面PBC;

(2)是否存在一点E,使得PA∥平面BDE?若存在,请说明点E的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.