高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第四课时空间直线、平面的垂直学案

这是一份高三数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第四课时空间直线、平面的垂直学案，共31页。

考点一 直线与平面垂直的判定与性质
1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
[典例1] (2024·郑州一中月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.
又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
判定线面垂直的四种方法
跟进训练1 (2024·河北廊坊模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
①F为BB1的中点；②AB1＝3；③AA1＝2.
[解] (1)证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF.
如图，连接A1B，
∴DF∥A1B.
在△ABC中，AC＝BC＝1，
∠ACB＝90°，则AB＝2，
又AA1＝2，
则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1.
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1.
∵DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF，
∴AB1⊥平面C1DF.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
1．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．
[典例2] (2024·潍坊联考)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
[证明] (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴BC⊥平面ABD.
∵AD⊂平面ABD，
∴BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，
∴AD⊥平面ABC.
又∵AC⊂平面ABC.
∴AD⊥AC.
已知两平面垂直时，一般要明确两平面的交线，用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
跟进训练2 (2024·厦门模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
(1)求证：EF∥平面AB1C1；
(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.
[证明] (1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，
所以EF∥AB1.
又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以B1C⊥AB.
又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，
AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，
所以AB⊥平面AB1C.
又因为AB⊂平面ABB1，
所以平面AB1C⊥平面ABB1.
考点三 垂直关系的综合应用
1．直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)范围：0°≤θ≤90°．
2．二面角
(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(2)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°．
3．三种距离
(1)点面距
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
(2)线面距
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(3)面面距
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，把它叫做这两个平行平面间的距离．
[典例3] (2024·天津河北区模拟)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，四边形PACQ是矩形，PA＝1，且平面PACQ⊥平面ABCD.
(1)求直线BP与平面PACQ所成角的正弦值；
(2)求平面BPQ与平面DPQ的夹角的大小；
(3)求点C到平面BPQ的距离．
[解] (1)连接BD交AC于点O，连接OP.
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
∵平面PACQ⊥平面ABCD，平面PACQ∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PACQ，
∴∠BPO即为BP与平面PACQ所成的角．
∵四边形PACQ为矩形，∴PA⊥AC，
又平面PACQ⊥平面ABCD，平面PACQ∩平面ABCD＝AC，PA⊂平面PACQ，
∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
∴BP＝AB2+PA2＝4+1＝5，
在Rt△POB中，OB＝3，
∴sin ∠BPO＝OBBP＝35＝155，
故BP与平面PACQ所成角的正弦值为155.
(2)取PQ的中点M，连接BM，DM，
由(1)知，PA⊥平面ABCD.
∵四边形ABCD是菱形，四边形PACQ是矩形，
∴BP＝BQ，DP＝DQ，
∴BM⊥PQ，DM⊥PQ，
∴∠BMD即为二面角B-PQ-D的平面角．
在△BDM中，BD＝23，BM＝DM＝
BP2-PM2＝BP2-12 AC2＝5-1＝2，
由余弦定理的推论知，cs ∠BMD＝BM2+DM2-BD22BM·DM＝4+4-122×2×2＝－12，
∴∠BMD＝120°，
故二面角B-PQ-D的大小为120°，则平面BPQ与平面DPQ的夹角为60°.
(3)设点C到平面BPQ的距离为d，
∵VC-BPQ＝VB-CPQ, ∴13d·12BM·PQ
＝13OB·12CQ·PQ，
∴d×2×2＝3×1×2, ∴d＝32，
故点C到平面BPQ的距离为32.
利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可．
跟进训练3 (2024·江苏宿迁模拟)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
(1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为2时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
[解] (1)证明：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，∴BC⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△PBC是直角三角形．
(2)如图，过A作AH⊥PC于点H.
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角．
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA就是直线PC与平面ABC所成的角，
∵tan ∠PCA＝PAAC＝2，
又PA＝2，∴AC＝2，
∴在Rt△PAC中，AH＝PA·ACPA2+AC2＝233，
∴在Rt△ABH中，sin ∠ABH＝AHAB＝2332＝33，
即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为33.
课后习题(三十八) 空间直线、平面的垂直
1．(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
D [对于A，若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故选项A不正确；
对于B，若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，故选项B不正确；
对于C，若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故选项C不正确；
对于D，若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知选项D正确．故选D.]
2．(人教A版必修第二册P159练习T2改编)已知直线l垂直于△ABC的边AB和AC，另一条直线m垂直于△ABC的边BC和AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直
A [因为直线l垂直于△ABC的边AB和AC，AB∩AC＝A，所以直线l垂直于平面ABC，同理可得直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.]
3．(苏教版必修第二册P185练习T3改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．
13 [由题干图形分析可知，∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成的角．
因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝22，
又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin ∠AC1A1＝AA1AC1＝13.]
4．(人教A版必修第二册P152练习T4改编)已知点P为边长为a的正△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．
63a [设点P在平面ABC上的射影为点O.由PA＝PC＝PB，可知OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．如图，延长CO交AB于点G.因为△ABC是正三角形，故CG为△ABC边AB上的高，且CO＝2OG.易知OG＝13CG＝36a.
又因为PA＝PB＝AB＝a，所以△ABP是等边三角形，所以点P到直线AB的距离为a2-a22＝32a，则点P到平面ABC的距离PO＝34a2-112 a2＝63a.
]
5．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
C [因为α∩β＝l，所以l⊂β，
又n⊥β，所以n⊥l，故选C.]
6．(2024·山东枣庄模拟)已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )
A．m⊥l，m⊂β，l⊥α
B．m⊥l，α∩β＝l，m⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．l⊥α，m∥l，m∥β
D [对于A，有可能出现α，β平行的情况，故A错误；对于B，会出现平面 α，β相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，m∥l，m⊥α，l⊥β⇒α∥β，故C错误；对于D，l⊥α，m∥l⇒m⊥α，又由m∥β⇒α⊥β，故D正确．]
7．(2024·邢台模拟)如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论不正确的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
D [因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故选项A正确；
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，所以DF⊥平面PAE.
又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此B，C均正确．]
8．(2024·太原二中月考)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成的角为( )
A．π6 B．π4 C．π3 D．π2
A [如图，连接BD，交AC于点O.因为PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA.又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，故BO⊥平面PAC.连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面PAC所成的角．
又因为PA＝AB＝2，所以PB＝22，BO＝2.
所以sin ∠BPO＝BOPB＝12，
所以∠BPO＝π6.故选A.
]
9．(多选)(2024·武汉调研)如图，AC为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是( )
A．平面ANS⊥平面PBC
B．平面ANS⊥平面PAB
C．平面PAB⊥平面PBC
D．平面ABC⊥平面PAC
ACD [∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，
∴平面ABC⊥平面PAC，∴D正确；
∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AC为圆O的直径，
B为圆周上不与点A，C重合的点，∴AB⊥BC，
又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC，∴C正确；
又AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN，
又AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，
∴AN⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，
∴AN⊥PC，又PC⊥AS，
AS∩AN＝A，AS，AN⊂平面ANS，
∴PC⊥平面ANS，又PC⊂平面PBC，
∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正确．]
10“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．
[答案] 必要不充分
11．(2024·临川模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC等) [∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，
则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.]
12．(2024·唐山模拟)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点．
(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；
(2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值．
[解] (1)不论点P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.证明如下：∵BA⊥平面AA1D1D，BA⊂平面BPA，
∴平面BPA⊥平面AA1D1D，
∴与点P位置无关．
(2)过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E(如图)，则PE∥AA1，
∴∠B1PE或其补角是异面直线AA1与B1P所成的角．
在Rt△AA1D1中，
∵∠AD1A1＝60°，
∴∠A1AD1＝30°.
∴A1B1＝A1D1＝12AD1＝2，A1E＝12A1D1＝1.又PE＝12AA1＝3，
∴在Rt△B1PE中，B1P＝B1E2+PE2＝22，cs ∠B1PE＝PEB1P＝322＝64.
∴异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为64.
阶段提能(十二) 空间中的平行与垂直问题
1．(人教A版必修第二册P152练习第4题)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的______心．
(2)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点．
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的________心．
(1)外 (2)中 (3)垂 [(1)∵PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，
∴点O是△ABC的外心．
(2)如图，由(1)知，点O是△ABC的外心，
又∠ACB＝90°，
∴点O是斜边AB的中点．
(3)连接AO并延长交BC于点E，连接PE.
∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，
∴PA⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴BC⊥PA.
∵PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PO⊥BC.
又PO∩PA＝P，PO，PA⊂平面PAE，
∴BC⊥平面PAE.
∵AE⊂平面PAE，∴BC⊥AE.
同理可证HC⊥AB，BG⊥AC，
∴O是△ABC的垂心．
]
2．(人教B版必修第四册P108练习B组第3题)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点，A，C是平面α内两点，直线PA和PC分别与β相交于B和D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．
[解] (1)证明：直线PB与直线PD可确定平面γ，
且γ分别与α，β交于AC，BD.
因为α∥β，所以AC∥BD.
(2)由(1)知△PAC∽△PBD，所以PAPB＝PCPD，
所以PD＝PB·PCPA＝4+5×34＝274(cm)．
3．(人教A版必修第二册P170复习参考题8第10题)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′.
(1)求证：A′D⊥EF；
(2)求三棱锥A′-EFD的体积．
[解] (1)证明：折叠前AD⊥AE，CD⊥CF，折叠后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F＝A′，A′E，A′F⊂平面A′EF，
∴A′D⊥平面A′EF.
∵EF⊂平面A′EF，∴A′D⊥EF.
(2)由(1)可知，A′D⊥平面A′EF，
∴三棱锥D-A′EF的高A′D＝AD＝2，
又△A′EF折叠前为△BEF，
E，F分别为AB，BC的中点，
∴S△A′EF＝S△BEF＝12×1×1＝12，
∴VA′-EFD＝VD-A′EF＝13S△A′EF·A′D＝13×12×2＝13.
4．(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别为A1D，D1B的中点，则( )
A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD
B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD
D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
A [法一：连接AD1，则易得点M在AD1上，且AD1⊥A1D.因为AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，所以A1D⊥平面ABD1，所以A1D与BD1异面且垂直．在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，所以MN∥平面ABCD.易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，所以MN与平面BB1D1D不垂直．所以选项A正确．故选A.
法二：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)．设AB＝2，则A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，所以A1D＝(－2，0，－2)，D1B＝(2，2，－2)，MN＝(0，1，0)，所以A1D·D1B＝－4＋0＋4＝0，所以A1D⊥D1B.又由图易知直线A1D与D1B是异面直线，所以A1D与D1B异面且垂直．因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以MN·n＝0，所以MN∥平面ABCD.设直线MN与平面BB1D1D所成的角为θ，因为平面BDD1B1的一个法向量为a＝(－1，1，0)，所以sin θ＝|cs 〈MN，a〉|＝MN·aMN·a＝12＝22，所以直线MN与平面BB1D1D不垂直．故选A.]
5．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A．π2 B．π3 C．π4 D．π6
D [法一：如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝12B1D1＝2，BC1＝2 2，
sin ∠PBC1＝PC1BC1＝12，所以∠PBC1＝π6，故选D.
法二：以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，PB＝(－1，－1，2)，AD1＝(2，0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为θ，则cs θ＝PB·AD1PBAD1＝-66×8＝32.
因为θ∈0，π2，所以θ＝π6，故选D.
法三：如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角，即∠PBC1.根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝π3，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝12∠A1BC1＝π6.
]
6．(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( )
A．15 B．25 C．35 D．25
C [取AB的中点E，连接CE，DE.因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE⊥AB，又△ABD是等边三角形，则DE⊥AB，从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150°，
显然CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB⊂平面ABC，
因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE∩平面ABC＝CE，
直线CD⊂平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，
从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角．
令AB＝2，则CE＝1，DE＝3，在△CDE中，由余弦定理得
CD＝CE2+DE2-2CE·DEcs∠CED
＝1+3-2×1×3×-32＝7，
由正弦定理得DEsin∠DCE＝CDsin∠CED，
即sin ∠DCE＝3sin150°7＝327，
显然∠DCE是锐角，cs ∠DCE＝1-sin2∠DCE＝1-3272＝527，
所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为35.
故选C.
]
7．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则( )
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为43π
C．AC＝22
D．△PAC的面积为3
AC [在△PAB中，由余弦定理得AB＝23.如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝3.
对于A，该圆锥的体积V＝13πr2h＝π，故A选项正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝23π，故B选项错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝AO2-OH2＝2，所以AC＝22，故C选项正确；对于D，PH＝2OH＝2，S△PAC＝12·AC·PH＝2，故D选项错误．综上，故选AC.]
8．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
ABD [如图，连接B1C ，BC1，因为DA1∥B1C ，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角，
因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确；
连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1 ，
因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1C，
又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，故B正确；
连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O，连接BO.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B，
因为C1O⊥B1D1, B1D1∩B1B＝B1，所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，
设正方体棱长为1，则C1O＝22，BC1＝2，
sin ∠C1BO＝C1OBC1＝12，
所以，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；
因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC＝45°，故D正确．
故选ABD.]
9．(2021·全国乙卷)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P-ABCD的体积．
[解] (1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，
∴PD⊥AM.
∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，
∴AM⊥平面PBD.
又AM⊂平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD.
(2)∵M为BC的中点，∴BM＝12AD.
由题意知AB＝DC＝1.
∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AM⊥BD，
由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，
易得△BAM∽△ADB，所以BMAB＝ABAD，
即12AD1＝1AD，得AD＝2，
所以S矩形ABCD＝AD·DC＝2×1＝2，
则四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD＝13S矩形ABCD·PD＝13×2×1＝23.
10．(2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积．
[解] (1)证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，
所以AO⊥平面BCD，
又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.
(2)法一：因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OC＝OB＝OD＝1，
所以△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，BC＝3，所以S△BCD＝32.
如图，过点E作EF∥AO，交BD于F，过点F作FG⊥BC，垂足为G，连接EG.
因为AO⊥平面BCD，
所以EF⊥平面BCD，
又BC⊂平面BCD，所以EF⊥BC，
又FG⊥BC，且EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，
所以BC⊥平面EFG，
则∠EGF为二面角E-BC-D的平面角，
所以∠EGF＝45°，则GF＝EF.
因为DE＝2EA，所以EF＝23OA，DF＝2OF，所以BFFD＝2.
因为FG⊥BC，CD⊥BC，所以GF∥CD，
则GFCD＝23，所以GF＝23.
所以EF＝GF＝23，所以OA＝1，
所以VA-BCD＝13S△BCD·AO＝13×32×1＝36.
法二：如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系．
因为△OCD是边长为1的正三角形，
且O为BD的中点，
所以OC＝OB＝OD＝1，
所以B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C-12，32，0.
设A(0，0，a)，a＞0，因为DE＝2EA，
所以E-13，0，2a3.
由题意可知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)．
设平面BCE的法向量为m＝(x，y，z)，
因为BC＝-32，32，0，BE＝-43，0，2a3，
所以m·BC=0，m·BE=0，即-32x+32y=0，-43x+2a3z=0，
令x＝1，则y＝3，z＝2a，所以m＝1，3，2a.
因为二面角E-BC-D的大小为45°，
所以cs 45°＝m·nmn＝2a4+4a2＝22，
得a＝1，即OA＝1.
因为S△BCD＝12BD·CD sin 60°＝12×2×1×32＝32，
所以VA-BCD＝13S△BCD·OA＝13×32×1＝36.
11．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，PB＝PC＝6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)求证：EF∥平面ADO.
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P-ABC的体积．
[解] (1)证明：因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，O是BC的中点，所以ABBC＝OBAB＝22，
所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB.
记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA，
所以∠HBA＝∠AOB.
所以∠HBA＝∠CAB，
所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，
所以CF＝BF，
故CF＝AF，F是AC的中点．
因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC.
因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC，
所以EF∥DO.
又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，
所以EF∥平面ADO.
(2)由(1)得FO∥AB，
因为AB⊥BC，所以FO⊥BC.
又PO⊥BC，
所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角，
所以二面角P-BC-F的大小为120°.
如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB，
则∠POM是二面角P-BC-M的平面角，
所以∠POM＝60°.
在△PBC中，由PB＝PC＝6，BC＝22，得PO＝2，
所以PM＝3.
所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝13S△ABC·PM＝13×12×2×22×3＝263.
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
l⊥a l⊥b a∩b=Oa，b⊂α
⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
a⊥αb⊥α⇒
a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
l⊥αl⊂β⇒
α⊥β
性质
定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
α⊥β α∩β=al⊥a l⊂β
⇒l⊥α