2021-2022学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，0，1，，，则　　

A．，，0， B．，0，1， C．， D．，

2．（5分）“”是“”的　　

A．充分条件 B．必要条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3．（5分）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则　　

A． B． 

C． D．

4．（5分）在平面直角坐标系中，，是角终边上一点，与原点之间距离为，比值叫做角的正割，记作；比值叫做角的余割，记作；比值叫做角的余切，记作．四名同学计算同一个角的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．

如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是　　

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．（5分）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

6．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，在，上递增，且（2），则不等式的解集是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

7．（5分）已知，，，则下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

8．（5分）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等，目视星等和观测距离（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为，在地球某地测得天狼星的目视星等为，老人星的目视星等为，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为　　，

A．0.288 B．0.0288 C．34.67 D．3.467

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列函数中是奇函数的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）已知，，则　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）已知，，则　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）已知函数，的一个对称中心为，，则下列说法正确的是　　

A．越大，的最小正周期越小 

B．当时，是偶函数 

C．当时，， 

D．当时，在区间，上具有单调性

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

13．（5分）若，则　　．

14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　　．

①定义域为；

②；

③（1）．

15．（5分）若，且，，，则的最小值为 　　．

16．（5分）分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，它在机械加工业上具有广泛用途．如图，放置在地面上的勒洛三角形与地面的唯一接触点恰好是弧的中点，已知正三角形的边长为，动点从处出发，沿着勒洛三角形按逆时针方向以每秒的速度匀速运动，点在（单位：秒）时距离地面的高度为（单位：，则当秒时，　　；当时，　　（用表示）

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（1）若，求的值；

（2）计算：．

18．（12分）已知函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并证明．

19．（12分）已知函数，，的图象如图所示．

（1）求，，的值；

（2）当，时，求函数的最值以及取得最值时的值．

20．（12分）某农民专业合作社在原有线下门店销售的基础上，不断拓展营销渠道，成立线上营销队伍，大力发展直播电商等网络销售模式通过调查，线下门店每人每月销售额为10千元：线上每月销售额（单位：千元）与销售人数之间满足．已知该农民专业合作社共有销售人员50人，设线上销售人数为，每月线下门店和线上销售总额为（单位：千元），

（1）求关于的函数关系式；

（2）线上销售安排多少人时，该合作社每月销售总额最大，最大是多少千元？

21．（12分）在下列两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并回答问题．

①为自变量，为关于（即的函数，记为；

②为自变量，为关于（即的函数，记为．

问题：对于等式，若视为常数，______，且函数的图象经过．

（1）求的解析式，并写出的单调区间；

（2）解关于的不等式．

22．（12分）已知函数．

（1）若关于的方程在区间上有三个不同解，，，求与的值；

（2）对任意，，都有，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，0，1，，，则　　

A．，，0， B．，0，1， C．， D．，

【解答】解：集合，，0，1，，

，

，．

故选：．

2．（5分）“”是“”的　　

A．充分条件 B．必要条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【解答】解：由可得：，

而由可得或，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

3．（5分）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象．

故选：．

4．（5分）在平面直角坐标系中，，是角终边上一点，与原点之间距离为，比值叫做角的正割，记作；比值叫做角的余割，记作；比值叫做角的余切，记作．四名同学计算同一个角的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．

如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是　　

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【解答】解：当甲：错误时，乙：正确，

此时，，，则，

或，

丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；

甲：，从而，，，，

此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，

丙和丁应该同号，乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，

，，，，

故丙正确，丁错误，

综上错误的同学是丁．

故选：．

5．（5分）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

【解答】解：若命题“，”是真命题，

即有解，

对应的判别式△，即△，

解得，

故选：．

6．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，在，上递增，且（2），则不等式的解集是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【解答】解：函数是定义在上的偶函数，在，上递增，（2），

函数在上为减函数，且（2），

作出函数的草图，如图所示：

则不等式等价为或，

解得或，

即不等式的解集为，，．

故选：．

7．（5分）已知，，，则下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，

．

故选：．

8．（5分）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等，目视星等和观测距离（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为，在地球某地测得天狼星的目视星等为，老人星的目视星等为，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为　　，

A．0.288 B．0.0288 C．34.67 D．3.467

【解答】解：设地球与天狼星的距离为，地球与老人星的距离为，

由题意可得，

，

，

，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列函数中是奇函数的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，其定义域为，，不是奇函数，不符合题意，

对于，设，其定义域为，有，是奇函数，符合题意，

对于，，是奇函数，符合题意，

对于，设，有，解可得，即函数的定义域为，且，函数是奇函数，符合题意，

故选：．

10．（5分）已知，，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，，，

又，，

，故正确；

，故错误；

又，故正确；

，故错误，

故选：．

11．（5分）已知，，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于，，，

，即，故错误，

对于，，，

，

，

，

，故正确，

对于，，，

，故正确，

对于，，，

，即，

，即，故错误．

故选：．

12．（5分）已知函数，的一个对称中心为，，则下列说法正确的是　　

A．越大，的最小正周期越小 

B．当时，是偶函数 

C．当时，， 

D．当时，在区间，上具有单调性

【解答】解：函数，的一个对称中心为，，

，，

即，，又，

越大，的最小正周期越小，故正确；

当时，，取偶数时，不是偶函数，故错误；

当时，由，得，

，，故正确；

由于，，，

不妨令，由，得，

，，，，故在区间，上单调递减；

同理可得，当，由，得，

，，，，故在区间，上单调递减；

即当时，在区间，上单调递减，故正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

13．（5分）若，则　　．

【解答】解：，

，

．

故答案为：．

14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　（答案不唯一）　．

①定义域为；

②；

③（1）．

【解答】解：函数的定义域为，

满足，

且（1）．

故答案为：（答案不唯一）．

15．（5分）若，且，，，则的最小值为 　2　．

【解答】解：由已知且，，，可得：，

所以，当且仅当，即时取等号，

此时的最小值为2，

故答案为：2．

16．（5分）分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，它在机械加工业上具有广泛用途．如图，放置在地面上的勒洛三角形与地面的唯一接触点恰好是弧的中点，已知正三角形的边长为，动点从处出发，沿着勒洛三角形按逆时针方向以每秒的速度匀速运动，点在（单位：秒）时距离地面的高度为（单位：，则当秒时，　　；当时，　　（用表示）

【解答】解：，当时，走过的路程为，由于，

故此时走到了的中点，则，

又，

所以，

当时，在上移动，其路程为，由，可得，

所以到边的距离为，

故．

故答案为：；．

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（1）若，求的值；

（2）计算：．

【解答】解：（1）因为，

所以；

（2）．

18．（12分）已知函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并证明．

【解答】解：（1）函数是上的奇函数，，；

（2）由（1）可得函数，再根据在上是增函数，且在上是增函数，在上是减函数，

可得函数在上是增函数，

证明：，，且，

，

即，

所以在上是增函数．

19．（12分）已知函数，，的图象如图所示．

（1）求，，的值；

（2）当，时，求函数的最值以及取得最值时的值．

【解答】解：（1）根据函数的图象，，故，

故，

所以，

由于，

所以；

故，

由于，故，解得，

所以，，．

（2）由于，

且，，

故，

故，即当时，函数取得最大值为1，当时，函数的最小值为．

20．（12分）某农民专业合作社在原有线下门店销售的基础上，不断拓展营销渠道，成立线上营销队伍，大力发展直播电商等网络销售模式通过调查，线下门店每人每月销售额为10千元：线上每月销售额（单位：千元）与销售人数之间满足．已知该农民专业合作社共有销售人员50人，设线上销售人数为，每月线下门店和线上销售总额为（单位：千元），

（1）求关于的函数关系式；

（2）线上销售安排多少人时，该合作社每月销售总额最大，最大是多少千元？

【解答】解：（1）由题意可知当时，；

当时，，

；

（2）由（1）知当时，单调递增，

当时，取最大值900；

当时，，

当且仅当，即时取等号，

故线上安排40人时，合作社月销售额最大，最大值为1100千元．

21．（12分）在下列两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并回答问题．

①为自变量，为关于（即的函数，记为；

②为自变量，为关于（即的函数，记为．

问题：对于等式，若视为常数，______，且函数的图象经过．

（1）求的解析式，并写出的单调区间；

（2）解关于的不等式．

【解答】解：选①，

则有，

所以，代入得：，

（1），，为上的偶函数，在上单调递增；在，上单调递减；

（2），

令，

则原不等式等价于：，

△，

令，得：（舍，，

所以，

即，

解得，

所以解集为：．

选②

则有，

所以有，代入得，

（1）所以，

所以为偶函数，在上单调递减，在上单调递增；

（2），

当时，，解集为，；

当时，，解集为；

当时，，解集为，．

22．（12分）已知函数．

（1）若关于的方程在区间上有三个不同解，，，求与的值；

（2）对任意，，都有，求的取值范围．

【解答】解：（1），

设，则在区间上，，

则函数等价为，

若方程有三个不同解，，，

则方程有两个不同的根，其中，，

则，得，

由得，

由，知两个解，，关于对称，

即，

则．

（2）当，时，，，

要使恒成立，即得，得，

当时，不等式恒成立，

当时，恒成立，

，当且仅当，即时取等号，此时，

当时，，

当，时，函数为减函数，

则当时，，

此时，

综上实数的取值范围是，．

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