2021-2022学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知且，若集合，2，3，4，，，4，6，，则　　A．， B．， C．，3， D．，3，6，2．（5分）命题“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，3．（5分）已知，若，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．4．（5分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为　　A． B． C． D．5．（5分）要得到函数的图象，只需　　A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变） C．将函数图象上所有点向左平移个单位 D．将函数图象上所有点向左平移个单位6．（5分）已知，，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　A．， B． C．，， D．，，7．（5分）函数的图象如图所示，则　　A．，， B．，， C．，， D．，，8．（5分）设函数，，则不等式（2）的解集是　　A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．（5分）已知，，且，则　　A． B． C． D．10．（5分）已知函数，，对于任意，，，则　　A．的图象经过坐标原点 B． C．单调递增 D．11．（5分）已知函数，则　　A．函数的图象关于点，对称 B．函数的图象关于直线对称 C．若，，则函数的值域为， D．函数的单调递减区间为，12．（5分）已知是定义域为的奇函数，满足，且当，时，，则　　A． B．函数是周期函数 C．不等式的解集是， D．当关于的方程恰有三个不同的解时，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）已知角的终边经过点，，且，则的值为 　　．14．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为 　　．15．（5分）设函数，若，则　　．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是 　　．16．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为 　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合，，，．（1）当时，求；（2）在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的存在，求出的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数，使得“”是“”的___？18．（12分）已知函数．（1）求值；（2）若，求的值．19．（12分）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记梯形的周长为．（1）设，将表示成的函数；（2）求梯形周长的最大值． 20．（12分）已知，且．（1）若，求的值；（2）求的最小值．21．（12分）已知函数，．（1）利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是减函数；（2）若存在实数，，使得函数在区间，上的值域为，，求实数的取值范围．22．（12分）已知函数，．（1）讨论函数的奇偶性；（2）设集合，，，若，求实数的取值范围．
2021-2022学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知且，若集合，2，3，4，，，4，6，，则　　A．， B．， C．，3， D．，3，6，【解答】解：因为且，又集合，2，3，4，，，4，6，，则，3，，故选：．2．（5分）命题“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：因为已知命题为全称命题，所以该命题的否定是“，”，故选：．3．（5分）已知，若，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：在同一直角坐标系中分别画出三个函数的图象，如图： 由图可知：．即，故选：．4．（5分）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为　　A． B． C． D．【解答】解：设半径为，则，，，，即，解得，，即，的长度为．故选：．5．（5分）要得到函数的图象，只需　　A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来倍（纵坐标不变） C．将函数图象上所有点向左平移个单位 D．将函数图象上所有点向左平移个单位【解答】解：将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，故错误；将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数，故错误；将函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数，故错误；将函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数，故正确；故选：．6．（5分）已知，，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　A．， B． C．，， D．，，【解答】解：因为关于的不等式的解集为，所以，即，则 化为，即，解得故选：．7．（5分）函数的图象如图所示，则　　A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：函数的定义域为，由图象可知，，令得，则，，令得，则，，，即，，，故选：．8．（5分）设函数，，则不等式（2）的解集是　　A． B． C． D．【解答】解：函数，，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，当，时，，，，且都为增函数，（或利用导数，所以函数单调递增，则当，时，函数单调递增，所以令，，解得，则当时，（2），不符合题意；当时，令（2），则不等式可化为，可知在上单调递增，且（2）（2），所以，解得，则，即解集为．故选：．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．（5分）已知，，且，则　　A． B． C． D．【解答】解：对于：由于和的范围不确定，故不一定成立，故错误；对于：由于，所以，故正确；对于：由于，所以，故正确；对于，故，故正确．故选：．10．（5分）已知函数，，对于任意，，，则　　A．的图象经过坐标原点 B． C．单调递增 D．【解答】解：因为对于任意，，，令，得，所以，故正确；令，所以，即，所以，即，故正确；令代入得，故正确；任取，，且，由选项可知，函数为奇函数，所以代入得，因为，而的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，故错；故选：．11．（5分）已知函数，则　　A．函数的图象关于点，对称 B．函数的图象关于直线对称 C．若，，则函数的值域为， D．函数的单调递减区间为，【解答】解：已知函数，对于：当时，，故正确；对于：当时，，故错误；对于：由于，故，故．故的值域为，故错误；对于：令，整理得，，函数的单调递减区间为，故正确．故选：．12．（5分）已知是定义域为的奇函数，满足，且当，时，，则　　A． B．函数是周期函数 C．不等式的解集是， D．当关于的方程恰有三个不同的解时，【解答】解：由题意可知，，所以，所以函数是周期为4的周期函数，故正确；对于选项，（1），故错误；对于选项，当，时，，当，时，，因为，，所以，则函数关于对称，所以当，时，，当，时，，则可作出函数在一个周期，上的图象，如图所示， 所以在一个周期，时，，解得，所以在整个定义域上，的解集是，，故正确；对于，根据函数的图象可知，当时，也有三个不同的解，故错误．故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）已知角的终边经过点，，且，则的值为 　　．【解答】解：角的终边经过点，，且，解得（负值舍去）； 则．故答案为：．14．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为 　37.5　．【解答】解：，又当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟，，解得，当过了42分钟，．故答案为：37.5．15．（5分）设函数，若，则　　．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是 　　．【解答】解：，又，，解得，当时，，当时，，函数有最小值，且无最大值，，解得，故实数的取值范围为．故答案为：；．16．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为 　　．【解答】解：因为正实数，满足，即，则，当且仅当且时取等号，此时取得最小值．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合，，，．（1）当时，求；（2）在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的存在，求出的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数，使得“”是“”的___？【解答】解：集合，，（1）当时，，，所以；（2）选①，即“”是“”的充分条件，则，显然此时集合，即，所以，则有，解得；所以的取值范围是，．选②，即“”是“”的必要条件，则，当时，，此时满足条件；当时，，，则有，此时不等式组无解；综上，的取值范围是，．18．（12分）已知函数．（1）求值；（2）若，求的值．【解答】解：（1），所以；（2）由（1）得：，故．19．（12分）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记梯形的周长为．（1）设，将表示成的函数；（2）求梯形周长的最大值． 【解答】解：（1）过点作垂直于于点，如图所示，下底是半圆的直径，，，，又，，，梯形的周长，且，即，．（2），，设，则，，当时，取得最大值5，即当时，取得最大值5．20．（12分）已知，且．（1）若，求的值；（2）求的最小值．【解答】解：（1）若，则，即，所以，解得或，（2）因，则，，，由，当且仅当时取等号，令，则，，，，，即的最小值为．21．（12分）已知函数，．（1）利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是减函数；（2）若存在实数，，使得函数在区间，上的值域为，，求实数的取值范围．【解答】解：（1）证明：根据题意，，设，则，若，则，，，则有，即函数在区间上是减函数；（2）根据题意，由（1）的结论，函数在区间上是减函数，若存在实数，，使得函数在区间，上的值域为，，则有且，变形可得且，则方程存在两个正根，设，又由函数，，则，又由，当且仅当时等号成立，故的最小值为9，没有最大值，若存在两个正根，必有，故的取值范围为．22．（12分）已知函数，．（1）讨论函数的奇偶性；（2）设集合，，，若，求实数的取值范围．【解答】解：（1）当时，，定义域为．且．故为奇函数；当 时，，（1），（1），即（1），且（1），因此既不是奇函数也不是偶函数；综上，当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数．（2）由得，整理得，由题意知，当时，恒成立，当时，，则，即，设，，，①当，即时，，即，又，所以；②当，即时，，即，又，所以；③当，即时，，即，又，所以；综上，．当时，，即，因为，所以恒成立，由此，故的取值范围是，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/1 9:02:45；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367