2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）在等差数列中，已知，，则等于　　

A．18 B．20 C．22 D．24

2．（5分）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

4．（5分）已知数列是等比数列，以下四个命题中正确命题的个数是　　

①是等比数列；

②是等比数列；

③是等比数列；

④是等比数列．

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（5分）若双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　

A．5或 B．5或 C．或 D．或

6．（5分）设，若函数，有大于零的极值点，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知数列满足，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，若直线与曲线交于，两点，且中点坐标为，那么直线的方程为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）已知直线和圆，则　　

A．直线恒过定点 

B．若，则直线被圆截得的弦长为 

C．存在使得直线与直线垂直 

D．直线与圆相交

10．（5分）已知是等差数列，其前项和为，，则下列结论一定正确的有　　

A． B．最小 C． D．

11．（5分）已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是　　

A．的单调减区间是， 

B．的极小值是 

C．过点只能作一条直线与的图象相切 

D．有且只有一个零点

12．（5分）数列的通项公式满足，下列描述中正确的有　　

A．当时，数列一定有最大值 

B．当时，数列为递减数列 

C．当时，数列为递减数列 

D．当，且为整数时，数列必存在两项相等的最大项

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，用割线逼近切线的方法可以求得　　．

14．（5分）已知，为椭圆的焦点，点在椭圆上，，则△的面积为 　　．

15．（5分）已知数列的通项公式为，前项和为，当取得最小值时，的值为 　　．

16．（5分）已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数的取值范围为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在等比数列中，

（1），，求；

（2），，求的值．

18．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在直线上，圆心也在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）过点作圆的切线，求切线的方程．

19．（12分）如图，矩形的两个顶点位于轴上，另两个顶点位于抛物线在轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长．

20．（12分）是公差为1的等差数列，．正项数列的前项和为，且．

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，，在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列．

①记，求的通项公式；

②求的值．

21．（12分）已知中心在坐标原点的椭圆，左、右焦点分别为，，离心率为，，分别为椭圆的上下顶点，且满足．

（1）求椭圆方程；

（2）已知点满足，点在椭圆上异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，若为线段的中点，求直线的方程；

（3）过椭圆内的一点，作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，直线，的斜率分别是，，若对于任意实数，存在实数，使得，求实数的取值范围．

22．（12分）已知函数为非零常数）

（1）若在处的切线经过点，求实数的值；

（2）有两个极值点，．

①求实数的取值范围；

②若，证明：．

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）在等差数列中，已知，，则等于　　

A．18 B．20 C．22 D．24

【解答】解：设等差数列的公差为，，，

，，

解得：．

故选：．

2．（5分）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：令，得到，解得，所以；令，得到，解得，所以．

故选：．

3．（5分）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：如图，点作轴的垂线，垂足为，

由题知，，即，

，，

，

点到准线的距离为．

故选：．

4．（5分）已知数列是等比数列，以下四个命题中正确命题的个数是　　

①是等比数列；

②是等比数列；

③是等比数列；

④是等比数列．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由题意得，，，

①，故是等比数列；

②，故是等比数列；

③，故是等比数列；

④当时，显然不符合等比数列．

故选：．

5．（5分）若双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　

A．5或 B．5或 C．或 D．或

【解答】解：①当双曲线的焦点在轴上时，

由渐近线方程，可令，，

则，；

②当双曲线的焦点在轴上时，

由渐近线方程，可令，，

则，；

故选：．

6．（5分）设，若函数，有大于零的极值点，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，则．

若函数在上有大于零的极值点．

即有正根．

当有成立时，显然有，

此时．

由，得参数的范围为．

故选：．

7．（5分）已知数列满足，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

故选：．

8．（5分）将上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线，若直线与曲线交于，两点，且中点坐标为，那么直线的方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设上点，曲线上点的坐标为，

由题意可知，，即，，

又，，即，

设，，，，

则，得，，

则，两式作差得，

即，

即，

即的斜率，

则的方程为，即，

经检验知满足直线和椭圆相交，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）已知直线和圆，则　　

A．直线恒过定点 

B．若，则直线被圆截得的弦长为 

C．存在使得直线与直线垂直 

D．直线与圆相交

【解答】解：直线，即，则直线恒过定点，故错误；

当时，直线，圆心到直线的距离，

则直线被圆截得的弦长为，故错误；

当时，直线与直线垂直，故正确；

定点在圆内部，直线与圆相交，故正确；

故选：．

10．（5分）已知是等差数列，其前项和为，，则下列结论一定正确的有　　

A． B．最小 C． D．

【解答】解：是等差数列，，

所以，即，

所以，正确；

由于无法判断公差的正负，不能确定是否最小，错误；

，

所以，正确；

无法确定，错误．

故选：．

11．（5分）已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是　　

A．的单调减区间是， 

B．的极小值是 

C．过点只能作一条直线与的图象相切 

D．有且只有一个零点

【解答】解：，

令，解得：或，令，解得：，

则在递增，在，递减，在递增，

故（1），，

故只有1个零点，故错误，正确，

过点只能作1条直线与的图象相切，

设切点为，，，，

故切线方程是，

将代入得：，

令，则，

故在，，递增，在递减，

，，

故方程只有1个解，

即过点只能作一条直线与的图象相切，

故正确，

故选：．

12．（5分）数列的通项公式满足，下列描述中正确的有　　

A．当时，数列一定有最大值 

B．当时，数列为递减数列 

C．当时，数列为递减数列 

D．当，且为整数时，数列必存在两项相等的最大项

【解答】解：根据题意，数列的通项公式满足，则有，

依次分析选项：

对于，当时，，则有，时，有，即，时，有，即，时，，有，

则是数列的最大值，正确；

对于，当时，，则有，时，有，即，数列不是递减数列，错误；

对于，，则，当时，由于，必有，即，数列为递减数列，正确；

对于，当，且为整数时，设，

，当时，，即，数列递增，当时，，即，数列递减，

，，故数列必存在两项相等的最大项正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，用割线逼近切线的方法可以求得　　．

【解答】解：

．

故答案为：．

14．（5分）已知，为椭圆的焦点，点在椭圆上，，则△的面积为 　　．

【解答】解：由椭圆的方程可得，，则，

可得，，

由椭圆的定义可得，，

在△中，由余弦定理可得：

，而，则，

所以可得，

所以，

故答案为：．

15．（5分）已知数列的通项公式为，前项和为，当取得最小值时，的值为 　7　．

【解答】解：，

可得，即时，；时，．

当取得最小值时，．

故答案为：7．

16．（5分）已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数的取值范围为 　　．

【解答】解：定义域为，

，当时，恒成立，在单调递减，不会有两个零点，故舍去；

当时，在，上，单调递增；在上，单调递减，

故，

又因为时，；时，，

故要想在定义域内有两个零点，

则，

令（a），

（a），

（a）单调递增，

又（1），

故当时，．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在等比数列中，

（1），，求；

（2），，求的值．

【解答】解：（1）根据题意，若，，

则；

（2）根据题意，若，，

则，

则．

18．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在直线上，圆心也在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）过点作圆的切线，求切线的方程．

【解答】解：（1）由题设知，点，又也在直线上，

，，

圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）

（2）当直线垂直于轴时，与圆相切，此时直线方程为．．．．．．．．．．．．（6分）

当直线与轴不垂直时，设过点的切线方程为，

即，则，解得，．．．．．．．．．．．．．（10分）

此时切线方程为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分）

综上所述，所求切线为或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）

19．（12分）如图，矩形的两个顶点位于轴上，另两个顶点位于抛物线在轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长．

【解答】解：设点，

那么矩形面积，，．（5分）

，

令，解得（负舍），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）

所以在上单调递增，在，上单调递；．．（9分）

所以当时，有最大值．此时．．．．．．．．．．．．（11分）

答：当矩形面积最大时，矩形边长，长（12分）

20．（12分）是公差为1的等差数列，．正项数列的前项和为，且．

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，，在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列．

①记，求的通项公式；

②求的值．

【解答】解：（1）设数列的公差为，由，可得，

所以的通项公式为，

当，，得，

当时，，，

两式相减得，即，

所以是以为首项，为公比的等比数列，则；

（2）①，，

两式相加，得，

所以；

②，

，

两式相减得：，

所以．

21．（12分）已知中心在坐标原点的椭圆，左、右焦点分别为，，离心率为，，分别为椭圆的上下顶点，且满足．

（1）求椭圆方程；

（2）已知点满足，点在椭圆上异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，若为线段的中点，求直线的方程；

（3）过椭圆内的一点，作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，直线，的斜率分别是，，若对于任意实数，存在实数，使得，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）设，，，，

，①

又，②

，③

由①②③得，，所以椭圆方程为．（2分）

（2）由题，设直线，

联立，得，

，那么，，

中点，（4分）

所以，又，

得，解得或，

所以直线为：或．．（6分）

（3）设直线，联立方程，得，

设，，，，

则，

，（8分）

由对任意成立，得，（10分）

点在椭圆内，所以，，所以，

所以的取值范围为，．（12分）

22．（12分）已知函数为非零常数）

（1）若在处的切线经过点，求实数的值；

（2）有两个极值点，．

①求实数的取值范围；

②若，证明：．

【解答】解：（1）函数，

可得：，

，切线方程为，

将点代入解得：（2分）

（2）①，

当时，即时，，在上单调递增；（3分）

当时，由得，，

故在上单调递增，在，上单调递减，

在，上单调递增；（4分）

当时，由得，，

在，上单调递减，在，上单调递，（5分）

综上，当时，有两个极值点，

即，即的范围是，（6分）

②证明：由（2）可知，，又由，可知，，

可得，（7分）

要证，即证，即证，

即证，

即证，．（9分）

令函数，，

，

故在上单调递增，（10分）

又，所以在上恒成立，即，

所以（12分）

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 9:11:24；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367