2021-2022学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷
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一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将答案填涂到答题卡相应区域.
1.(5分)直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2.(5分)抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
3.(5分)若圆与直线相切,则实数的值为
A. B.或3 C. D.1或
4.(5分)观察:
则第行的值为
A. B. C. D.
5.(5分)圆与圆公切线的条数为
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(5分)等比数列的前项和为,前项积为,,,当最小时,的值为
A.3 B.4 C.5 D.6
7.(5分)如图,已知,分别是椭圆的左、右焦点,点,在椭圆上,四边形是梯形,,且,则△的面积为
A. B. C. D.
8.(5分)已知函数满足对于恒成立,,,,则下列不等关系正确的是
A.(c)(a) B.(b)(c)
C.(1)(c) D.(a)(b)
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(5分)函数的定义域为,,其导函数的图象如图所示,则下列结论正确的有
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在处取得极大值
D.在处取得极小值
10.(5分)下列说法正确的有
A.直线恒过定点
B.直线,,若,则
C.圆与圆的公共弦长为
D.若圆,则过点的最短弦所在直线方程为
11.(5分)已知双曲线,点是上任意一点,则下列结论正确的有
A.双曲线的离心率为
B.焦点到渐近线的距离为4
C.左、右焦点分别为,,若,则
D.若左、右顶点分别为,,当与,不重合时,直线,的斜率之积为
12.(5分)如图,由正方形可以构成一系列的长方形,在正方形内绘出一个圆的,就可以近似地得到等角螺线,第一个和第二个正方形的边长为1,第三个正方形边长为2,,其边长依次记为,,,,得到数列,每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为,得到数列,则下列说法正确的有
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分,请将答案填写在答题卡相应的位置上.
13.(5分)已知,,动点满足,则点的轨迹方程为 .
14.(5分)已知等差数列的前项和为,,,则数列的前2022项的和为 .
15.(5分)曲线在处的切线斜率为 .
16.(5分)已知点为抛物线的焦点,,点为抛物线上一动点,当最小时,点恰好在以,为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知两条直线,.设为实数,分别根据下列条件求的值.
(1);
(2)直线在轴、轴上截距之和等于6.
18.(12分)已知圆.
(1)若直线与圆相交于,两点,弦的中点为,求直线的方程;
(2)若斜率为1的直线被圆截得的弦为,以为直径的圆经过圆的圆心,求直线的方程.
19.(12分)已知数列是首项为1,公差不为0的等差数列,且,,成等比数列.数列的前项的和为,且满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前项和.
20.(12分)已知椭圆,离心率分别为左、右焦点,椭圆上一点满足,且△的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于,两点.过点且平行于的直线交椭圆于点,,证明:为定值.
21.(12分)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围.
22.(12分)已知点为抛物线的焦点,点,在抛物线上,的面积为1.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点是抛物线上异于点的一点,直线与直线交于点,过作轴的垂线交抛物线于点,求证:直线过定点.
2021-2022学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将答案填涂到答题卡相应区域.
1.(5分)直线的倾斜角为
A. B. C. D.
【解答】解:直线 即,故直线的斜率等于,设直线的倾斜角等于,
则,且,故,
故选:.
2.(5分)抛物线的准线方程为
A. B. C. D.
【解答】解:抛物线的标准方程为,
,开口朝上,
准线方程为,
故选:.
3.(5分)若圆与直线相切,则实数的值为
A. B.或3 C. D.1或
【解答】解:圆与直线相切,
圆心到直线的距离,解得或.
故选:.
4.(5分)观察:
则第行的值为
A. B. C. D.
【解答】解:由题意可知:第行为,故选:.
5.(5分)圆与圆公切线的条数为
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:依题意,圆,圆心,半径为,
圆,圆心,半径为,
圆心距为,
故圆,相离,故两圆有4条公切线,
故选:.
6.(5分)等比数列的前项和为,前项积为,,,当最小时,的值为
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:等比数列的前项和为,前项积为,,,
当时,,,
两式相除得,
将代入,
解得,,,
,
,
其中单调递增,
时,取得最小值,
当最小时,的值为4.
故选:.
7.(5分)如图,已知,分别是椭圆的左、右焦点,点,在椭圆上,四边形是梯形,,且,则△的面积为
A. B. C. D.
【解答】解:由椭圆,可得,,
所以,所以,,,,
设,,,,
因为,且,所以,
即,,,
因为,在椭圆上,所以,解得,,
所以,
故选:.
8.(5分)已知函数满足对于恒成立,,,,则下列不等关系正确的是
A.(c)(a) B.(b)(c)
C.(1)(c) D.(a)(b)
【解答】解:令,则,
故函数是上的单调递增函数,
令,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
,
,,即,
从而(1)(b)(a)(c),即,
据此可得:(a)(c),(b)(c),(1)(c),(b)(a).
故选:.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(5分)函数的定义域为,,其导函数的图象如图所示,则下列结论正确的有
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在处取得极大值
D.在处取得极小值
【解答】解:由导函数的图象可知,在上,,单调递减,在上,,单调递增,
所以在处取得极小值,无极大值,
故正确,错误.
故选:.
10.(5分)下列说法正确的有
A.直线恒过定点
B.直线,,若,则
C.圆与圆的公共弦长为
D.若圆,则过点的最短弦所在直线方程为
【解答】解:对于选项,当时,,所以直线过定点,故选项正确;对于选项,若,则,解得:或,故选项错误;
对于选项,由,两式相减并化简得,
又因为圆的圆心到直线的距离,
所以公共弦长为,故正确;
对于选项,圆的圆心设为则,,
所以过点的最短弦所在直线方程为,即,故选项错误.
故选:.
11.(5分)已知双曲线,点是上任意一点,则下列结论正确的有
A.双曲线的离心率为
B.焦点到渐近线的距离为4
C.左、右焦点分别为,,若,则
D.若左、右顶点分别为,,当与,不重合时,直线,的斜率之积为
【解答】解:双曲线,的,,,则,故错误;
焦点,到渐近线的距离为,故正确;
,,又,或(舍去),故正确;
设,可得,又,,
可得,所以不正确;
故选:.
12.(5分)如图,由正方形可以构成一系列的长方形,在正方形内绘出一个圆的,就可以近似地得到等角螺线,第一个和第二个正方形的边长为1,第三个正方形边长为2,,其边长依次记为,,,,得到数列,每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为,得到数列,则下列说法正确的有
A. B.
C. D.
【解答】解:由图中数据可得,,
由题意可得,
对于;故正确;
对于,可得,
,故正确;
对于,,
,故错误;
对于:若,,
,,显然成立,故正确.
故选:.
三、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分,请将答案填写在答题卡相应的位置上.
13.(5分)已知,,动点满足,则点的轨迹方程为 .
【解答】解:设,
由得,
整理得,
点的轨迹方程为.
故答案为:.
14.(5分)已知等差数列的前项和为,,,则数列的前2022项的和为 .
【解答】解:设等差数列的公差为,
因为,,
所以,解得,
因此,
所以,
所以数列的前2022项的和为.
故答案为:.
15.(5分)曲线在处的切线斜率为 .
【解答】解:的导数为,
可得在处的切线斜率为.
故答案为:.
16.(5分)已知点为抛物线的焦点,,点为抛物线上一动点,当最小时,点恰好在以,为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为 .
【解答】解:抛物线的标准方程为,
则抛物线的焦点为,准线方程为,
过点作准线的垂线,垂足为,
则由抛物线的定义可得,
设,
,,
设的倾斜角为,则,
当取得最小值时,最小,此时直线与抛物线相切,
设直线的方程为,代入,
可得,
即,
△,,
,
双曲线的实轴长为,
,
,即,
双曲线的离心率为.
故答案为:.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知两条直线,.设为实数,分别根据下列条件求的值.
(1);
(2)直线在轴、轴上截距之和等于6.
【解答】解:(1),,,
,,,
当时,,,此时,
当时,,,此时,重合,
.
(2),
令,则;令,则,
直线在轴、轴上截距之和等于6,
,解得.
18.(12分)已知圆.
(1)若直线与圆相交于,两点,弦的中点为,求直线的方程;
(2)若斜率为1的直线被圆截得的弦为,以为直径的圆经过圆的圆心,求直线的方程.
【解答】解:(1)圆,得圆心,半径,
直线的斜率:,
直线的斜率为,有,解得.
所求直线的方程为:.
(2)直线被圆截得的弦为直径的圆经过圆心,
为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为.
设直线方程为,则,
解得或,
直线的方程为:或.
19.(12分)已知数列是首项为1,公差不为0的等差数列,且,,成等比数列.数列的前项的和为,且满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【解答】解:(1)设数列公差为,
由,,成等比数列有:,
解得:.
所以.
数列,
当时,即,解得:.
当时,有,所以,
得:,
又.
所以数列为以为首项,公比为的等比数列.
所以数列的通项公式为:.
(2)因为,
即,
,
所以,,
,
化简得:.
20.(12分)已知椭圆,离心率分别为左、右焦点,椭圆上一点满足,且△的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于,两点.过点且平行于的直线交椭圆于点,,证明:为定值.
【解答】(1)解:方法一:由离心率,得:,
所以,
椭圆上一点,满足,
所以点为圆:与椭圆的交点,
联立方程组解得,
所以,
解得:,,所以柯圆的标准方程为:.
方法二:由椭圆定义;,
,
得到:,即,又,得,
所以椭圆的标准方程为:.
(2)证明:设直线的方程为:.
得,
,
设过点且平行于的直线方程:,.
21.(12分)已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围.
【解答】解:(1),定义域:,
,
当时,恒成立,在上单调递增,
当时,在递减,在递增;
(2)当时,恒成立,在上单调递增,
所以至多存一个零点,不符题意,故舍去.
当时,在递减,在递增;
所以有极小值为(a),
构造函数(a),,
,恒成立,
所以(a)在单调递减,
注意到(1),,
①当时,(a),
则函数至多只有一个零点,不符题意,舍去;
②当时,函数图象连续不间断,的极小值为(a),
,
又函数在单调递减,
所以在上存在唯一一个零点;
,
,,令,
构造函数,,恒成立,
在单调递增,
所以(2),即,
所以,
函数在单调递增,
所以在上存在唯一一个零点;
当时,函数怡有两个零点,
即在上各有一个零点.
综上,函数有两个不同的零点,实数的取值范围为.
22.(12分)已知点为抛物线的焦点,点,在抛物线上,的面积为1.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设点是抛物线上异于点的一点,直线与直线交于点,过作轴的垂线交抛物线于点,求证:直线过定点.
【解答】解:(1)因为点在抛物线上,所以,即,,因为,故解得,,
抛物线的标准方程为;
证明:(2)设直线的方程为,,,,,,,
由,得,所以,,
由(1)可知,
著时,,此时直线的方程为,
若时,
因为,,三点共线,所以,
即,
又因为,,,
化简可得,
又,进而可得,,
整理得,,因为,
所以,
此时直线的方程为,
直线恒过定点,
又直线也过点,
综上:直线过定点.
声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/8/4 9:10:31;用户:高中数学6;邮箱:tdjyzx38@xyh.com;学号:42412367
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