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    2021-2022学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷

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    这是一份2021-2022学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷,共20页。试卷主要包含了选择题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将答案填涂到答题卡相应区域.

    15分)直线的倾斜角为  

    A B C D

    25分)抛物线的准线方程为  

    A B C D

    35分)若圆与直线相切,则实数的值为  

    A B3 C D1

    45分)观察:

    则第行的值为  

    A B C D

    55分)与圆公切线的条数为  

    A1 B2 C3 D4

    65分)等比数列的前项和为,前项积为,当最小时,的值为  

    A3 B4 C5 D6

    75分)如图,已知分别是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,四边形是梯形,,且,则△的面积为  

    A B C D

    85分)已知函数满足对于恒成立,,则下列不等关系正确的是  

    Aca Bbc 

    C1c Dab

    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

    95分)函数的定义域为,其导函数的图象如图所示,则下列结论正确的有  

    A在区间上单调递减 

    B在区间上单调递增 

    C处取得极大值 

    D处取得极小值

    105分)下列说法正确的有  

    A.直线恒过定点 

    B.直线,若,则 

    C.圆与圆的公共弦长为 

    D.若圆,则过点的最短弦所在直线方程为

    115分)已知双曲线,点上任意一点,则下列结论正确的有  

    A.双曲线的离心率为 

    B.焦点到渐近线的距离为4 

    C.左、右焦点分别为,若,则 

    D.若左、右顶点分别为,当不重合时,直线的斜率之积为

    125分)如图,由正方形可以构成一系列的长方形,在正方形内绘出一个圆的,就可以近似地得到等角螺线,第一个和第二个正方形的边长为1,第三个正方形边长为2,其边长依次记为,得到数列,每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为,得到数列,则下列说法正确的有  

    A B 

    C D

    三、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分,请将答案填写在答题卡相应的位置上.

    135分)已知,动点满足,则点的轨迹方程为   

    145分)已知等差数列的前项和为,则数列的前2022项的和为   

    155分)曲线处的切线斜率为   

    165分)已知点为抛物线的焦点,,点为抛物线上一动点,当最小时,点恰好在以为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为   

    四、解答题:本题共6小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    1710分)已知两条直线.设为实数,分别根据下列条件求的值.

    1

    2)直线轴、轴上截距之和等于6

    1812分)已知圆

    1)若直线与圆相交于两点,弦的中点为,求直线的方程;

    2)若斜率为1的直线被圆截得的弦为,以为直径的圆经过圆的圆心,求直线的方程.

    1912分)已知数列是首项为1,公差不为0的等差数列,且成等比数列.数列的前项的和为,且满足

    1)求数列的通项公式;

    2)求数列的前项和

    2012分)已知椭圆,离心率分别为左、右焦点,椭圆上一点满足,且△的面积为1

    1)求椭圆的标准方程;

    2)过点作斜率为的直线交椭圆两点.过点且平行于的直线交椭圆于点,证明:为定值.

    2112分)已知函数

    1)讨论函数的单调性;

    2)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围.

    2212分)已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,的面积为1

    1)求抛物线的标准方程;

    2)设点是抛物线上异于点的一点,直线与直线交于点,过轴的垂线交抛物线于点,求证:直线过定点.


    2021-2022学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷

    参考答案与试题解析

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将答案填涂到答题卡相应区域.

    15分)直线的倾斜角为  

    A B C D

    【解答】解:直线 ,故直线的斜率等于,设直线的倾斜角等于

    ,且,故

    故选:

    25分)抛物线的准线方程为  

    A B C D

    【解答】解:抛物线的标准方程为

    ,开口朝上,

    准线方程为

    故选:

    35分)若圆与直线相切,则实数的值为  

    A B3 C D1

    【解答】解:与直线相切,

    圆心到直线的距离,解得

    故选:

    45分)观察:

    则第行的值为  

    A B C D

    【解答】解:由题意可知:第行为,故选:

    55分)与圆公切线的条数为  

    A1 B2 C3 D4

    【解答】解:依题意,圆,圆心,半径为

    ,圆心,半径为

    圆心距为

    故圆相离,故两圆有4条公切线,

    故选:

    65分)等比数列的前项和为,前项积为,当最小时,的值为  

    A3 B4 C5 D6

    【解答】解:等比数列的前项和为,前项积为

    时,

    两式相除得

    代入

    解得

    其中单调递增,

    时,取得最小值,

    最小时,的值为4

    故选:

    75分)如图,已知分别是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,四边形是梯形,,且,则△的面积为  

    A B C D

    【解答】解:由椭圆,可得

    所以,所以

    因为,且,所以

    因为在椭圆上,所以,解得

    所以

    故选:

    85分)已知函数满足对于恒成立,,则下列不等关系正确的是  

    Aca Bbc 

    C1c Dab

    【解答】解:令,则

    故函数上的单调递增函数,

    时,单调递增,

    时,单调递减,

    ,即

    从而1bac),即

    据此可得:ac),bc),1c),ba).

    故选:

    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

    95分)函数的定义域为,其导函数的图象如图所示,则下列结论正确的有  

    A在区间上单调递减 

    B在区间上单调递增 

    C处取得极大值 

    D处取得极小值

    【解答】解:由导函数的图象可知,在上,单调递减,在上,单调递增,

    所以处取得极小值,无极大值,

    正确,错误.

    故选:

    105分)下列说法正确的有  

    A.直线恒过定点 

    B.直线,若,则 

    C.圆与圆的公共弦长为 

    D.若圆,则过点的最短弦所在直线方程为

    【解答】解:对于选项,当时,,所以直线过定点,故选项正确;对于选项,若,则,解得:,故选项错误;

    对于选项,由,两式相减并化简得

    又因为圆的圆心到直线的距离

    所以公共弦长为,故正确;

    对于选项,圆的圆心设为则,

    所以过点的最短弦所在直线方程为,即,故选项错误.

    故选:

    115分)已知双曲线,点上任意一点,则下列结论正确的有  

    A.双曲线的离心率为 

    B.焦点到渐近线的距离为4 

    C.左、右焦点分别为,若,则 

    D.若左、右顶点分别为,当不重合时,直线的斜率之积为

    【解答】解:双曲线,的,则,故错误;

    焦点到渐近线的距离为,故正确;

    ,又(舍去),故正确;

    ,可得,又

    可得,所以不正确;

    故选:

    125分)如图,由正方形可以构成一系列的长方形,在正方形内绘出一个圆的,就可以近似地得到等角螺线,第一个和第二个正方形的边长为1,第三个正方形边长为2,其边长依次记为,得到数列,每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为,得到数列,则下列说法正确的有  

    A B 

    C D

    【解答】解:由图中数据可得

    由题意可得

    对于;故正确;

    对于,可得

    ,故正确;

    对于

    ,故错误;

    对于:若

    ,显然成立,故正确.

    故选:

    三、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分,请将答案填写在答题卡相应的位置上.

    135分)已知,动点满足,则点的轨迹方程为   

    【解答】解:设

    整理得

    的轨迹方程为

    故答案为:

    145分)已知等差数列的前项和为,则数列的前2022项的和为   

    【解答】解:设等差数列的公差为

    因为

    所以,解得

    因此

    所以

    所以数列的前2022项的和为

    故答案为:

    155分)曲线处的切线斜率为   

    【解答】解:的导数为

    可得处的切线斜率为

    故答案为:

    165分)已知点为抛物线的焦点,,点为抛物线上一动点,当最小时,点恰好在以为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为   

    【解答】解:抛物线的标准方程为

    则抛物线的焦点为,准线方程为

    过点作准线的垂线,垂足为

    则由抛物线的定义可得

    的倾斜角为,则

    取得最小值时,最小,此时直线与抛物线相切,

    设直线的方程为,代入

    可得

    双曲线的实轴长为

    ,即

    双曲线的离心率为

    故答案为:

    四、解答题:本题共6小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    1710分)已知两条直线.设为实数,分别根据下列条件求的值.

    1

    2)直线轴、轴上截距之和等于6

    【解答】解:(1

    时,,此时

    时,,此时重合,

    2

    ,则;令,则

    直线轴、轴上截距之和等于6

    ,解得

    1812分)已知圆

    1)若直线与圆相交于两点,弦的中点为,求直线的方程;

    2)若斜率为1的直线被圆截得的弦为,以为直径的圆经过圆的圆心,求直线的方程.

    【解答】解:(1)圆,得圆心,半径

    直线的斜率:

    直线的斜率为,有,解得

    所求直线的方程为:

    2直线被圆截得的弦为直径的圆经过圆心

    为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为

    设直线方程为,则

    解得

    直线的方程为:

    1912分)已知数列是首项为1,公差不为0的等差数列,且成等比数列.数列的前项的和为,且满足

    1)求数列的通项公式;

    2)求数列的前项和

    【解答】解:(1)设数列公差为

    成等比数列有:

    解得:

    所以

    数列

    时,即,解得:

    时,有,所以

    得:

    所以数列为以为首项,公比为的等比数列.

    所以数列的通项公式为:

    2)因为

    所以,

    化简得:

    2012分)已知椭圆,离心率分别为左、右焦点,椭圆上一点满足,且△的面积为1

    1)求椭圆的标准方程;

    2)过点作斜率为的直线交椭圆两点.过点且平行于的直线交椭圆于点,证明:为定值.

    【解答】1)解:方法一:由离心率,得:

    所以

    椭圆上一点,满足

    所以点为圆:与椭圆的交点,

    联立方程组解得

    所以

    解得:,所以柯圆的标准方程为:

    方法二:由椭圆定义;

    得到:,即,又,得

    所以椭圆的标准方程为:

    2)证明:设直线的方程为:

    设过点且平行于的直线方程:

    2112分)已知函数

    1)讨论函数的单调性;

    2)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围.

    【解答】解:(1,定义域:

    时,恒成立,上单调递增,

    时,递减,在递增;

    2)当时,恒成立,上单调递增,

    所以至多存一个零点,不符题意,故舍去.

    时,递减,在递增;

    所以有极小值为a

    构造函数a

    ,恒成立,

    所以a单调递减,

    注意到1

    时,a

    则函数至多只有一个零点,不符题意,舍去;

    时,函数图象连续不间断,的极小值为a

    又函数单调递减,

    所以上存在唯一一个零点;

    ,令

    构造函数恒成立,

    单调递增,

    所以2,即

    所以

    函数单调递增,

    所以上存在唯一一个零点;

    时,函数怡有两个零点,

    即在上各有一个零点.

    综上,函数有两个不同的零点,实数的取值范围为

    2212分)已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,的面积为1

    1)求抛物线的标准方程;

    2)设点是抛物线上异于点的一点,直线与直线交于点,过轴的垂线交抛物线于点,求证:直线过定点.

    【解答】解:(1)因为点在抛物线上,所以,即,因为,故解得

    抛物线的标准方程为

    证明:(2)设直线的方程为

    由,得,所以

    由(1)可知

    时,,此时直线的方程为

    时,

    因为三点共线,所以

    又因为

    化简可得

    ,进而可得

    整理得,因为

    所以

    此时直线的方程为

    直线恒过定点

    又直线也过点

    综上:直线过定点

    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/8/4 9:10:31;用户:高中数学6;邮箱:tdjyzx38@xyh.com;学号:42412367

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