2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，0，1，，，则　　

A．，0， B．， C．，1， D．，

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（5分）已知，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

5．（5分）若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是　　

A． B． C．10 D．20

6．（5分）设，则“”是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）已知函数满足，且（7）（3），则（5）　　

A．16 B．8 C．6 D．2

8．（5分）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　

（注为自然对数的底数，

A．60 B．62 C．66 D．69

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．（5分）下列四个函数中为减函数的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）已知，，，，则下列命题正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

11．（5分）已知，，且，则　　

A． B． C． D．

12．（5分）取整函数：不超过的最大整数，如，，．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有　　

A．， B．，，，则 

C．，， D．，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（第15题第一空2分，第二空3分）。

13．（5分）函数的定义域是　　．

14．（5分）海伦公式亦叫海伦秦九韶公式，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，，分别是三角形的三边长，．已知一根长为10的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为　　．

15．（5分）函数的部分对应值如表所示，对于任意，点，都在函数的图象上．已知，则的值是　　，的值是　　．

16．（5分）已知，若，则　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）求下列各式的值

（1）；

（2）．

18．（12分）设不等式的解集为，关于的不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）条件，条件，是的充分条件，求实数的取值范围．

19．（12分）已知集合，，函数．

（1）若（1），且对于任意实数，均有（1）成立，求，的值；

（2），若，求，的值．

20．（12分）我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．

（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？

（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．

21．（12分）已知函数．

（1）证明函数在上是增函数；

（2）一般地，设函数的定义域为，如果对于任意的，都有，并且，那么称函数是奇函数．证明函数是奇函数；

（3）解不等式．

（参考公式：

22．（12分）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为”局部反比例对称函数”．

（1）已知一次函数，试判断是否为“局部反比例对称函数”？并说明理由；

（2）若是定义在区间，上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，0，1，，，则　　

A．，0， B．， C．，1， D．，

【分析】根据交集的定义写出即可．

【解答】解：集合，0，1，，，则，，

故选：．

【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，．

故选：．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．

3．（5分）已知，，则　　

A． B． C． D．

【分析】由已知结合对数的运算性质求解．

【解答】解：，，

．

故选：．

【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．

4．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．

【解答】解：函数的定义域为实数集，关于原点对称，

函数，则，则函数为奇函数，故排除，，

当时，，故排除，

故选：．

【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．

5．（5分）若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是　　

A． B． C．10 D．20

【分析】由已知结合三角形的面积公式及基本不等式即可直接求解．

【解答】解：设直角三角形的直角边分别为，，则，，

故，

当且仅当时取等号．

故选：．

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．

6．（5分）设，则“”是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】求出不等式的解集，结合集合的包含关系判断即可．

【解答】解：由，解得：，

故是是的必要不充分条件，

故选：．

【点评】本题考查了充分必要条件的定义，考查集合的包含关系，是一道基础题．

7．（5分）已知函数满足，且（7）（3），则（5）　　

A．16 B．8 C．6 D．2

【分析】根据题意，分析可得（7）（5），（5）（3），代入（7）（3）中可得（5）（5），解可得（5）的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，函数满足，则（7）（5），（5）（3），

又由（7）（3），即（5）（5），解可得（5），

故选：．

【点评】本题考查抽象函数的求值，关键是得到关于（5）的方程，属于基础题．

8．（5分）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　

（注为自然对数的底数，

A．60 B．62 C．66 D．69

【分析】将代入方程，解对数方程即可解出的值．

【解答】解：由题意可知，，

即，，

两边取对数，，

即，，

故选：．

【点评】本题考查了对数的运算，方程的解法，属于基础题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．（5分）下列四个函数中为减函数的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】由函数的单调性逐一判断即可．

【解答】解：对于，为上的减函数，故符合题意；

对于，在，为减函数，不符合题意；

对于，为上的增函数，不符合题意；

对于，函数在定义域上为减函数，符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查函数单调性的判断，属于基础题．

10．（5分）已知，，，，则下列命题正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，则 D．若，则

【分析】根据选项的条件，取特殊值即可判断；利用不等式的基本性质即可判断．

【解答】解：．当，，取，，则不成立，故错误；

．当，时，，则，故正确；

．当时，由不等式的基本性质知，故正确；

．当时，取，，则不成立，故错误．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

11．（5分）已知，，且，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据基本不等式的性质分别判断即可．

【解答】解：对于，当且仅当时“”成立，故正确；

对于，故正确；

对于，当且仅当时“”成立，故正确；

对于，当且仅当时“”成立，故错误；

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是一道基础题．

12．（5分）取整函数：不超过的最大整数，如，，．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有　　

A．， B．，，，则 

C．，， D．，

【分析】举例说明正确；设，则，，，，可得，说明正确；设，，，，利用对与的关系的影响判断错误；设，研究对与的关系，通过计算证明正确．

【解答】解：对于，当时，，则，，则，故正确；

对于，设，则，，，，则，故正确；

对于，设，，，，

则，

当，时，，则；

当，时，，则，

故错误；

对于，设，，

当，时，，，则，，

，，，，得，

当，时，，，则，，

，，，，得．

故正确．

故选：．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查数的取整问题，赋值法的应用，主要考查运算能力、转换能力及思维能力，是中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（第15题第一空2分，第二空3分）。

13．（5分）函数的定义域是　，　．

【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．

【解答】解：由，得，

解得：．

函数的定义域是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

14．（5分）海伦公式亦叫海伦秦九韶公式，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，，分别是三角形的三边长，．已知一根长为10的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为　　．

【分析】根据条件不妨设，则可得的值，然后根据海伦公式求出三角形面积，再利用基本不等式求出的最大值．

【解答】解：由海伦公式可知，

不妨设，则，

则，

当且仅当，即时，等号成立．

所以三角形面积的最大值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了利用基本不等式求最值和海伦公式的应用，考查了转化思想，属基础题．

15．（5分）函数的部分对应值如表所示，对于任意，点，都在函数的图象上．已知，则的值是　3　，的值是　　．

【分析】，．可得：．即可得出．

【解答】解：，．

（1），

（3），

（2），，

．

．

故答案为：3；．

【点评】本题考查了数列的递推关系、周期性，数列与函数相结合，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．（5分）已知，若，则　9　．

【分析】根据条件知，然后由可得出，再根据得出，进一步得到的值．

【解答】解：，，

解，得，

，即，且，

，

，且，

，，

．

故答案为：9．

【点评】本题考查了对数的换底公式，对数的定义，指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）求下列各式的值

（1）；

（2）．

【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；

（2）进行对数的运算即可．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

【点评】本题考查了分数指数幂和对数的运算，对数的定义，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．

18．（12分）设不等式的解集为，关于的不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）条件，条件，是的充分条件，求实数的取值范围．

【分析】解不等式，求出集合即可；

（2）求出集合，根据集合的包含关系得到关于的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）即，故，；

（2），

，解得：，

故，，

条件，条件，是的充分条件，

，故，解得：，

故实数的取值范围是，．

【点评】本题考查了解不等式问题，考查充分必要条件以及集合的包含关系，是一道基础题．

19．（12分）已知集合，，函数．

（1）若（1），且对于任意实数，均有（1）成立，求，的值；

（2），若，求，的值．

【分析】（1）根据（1）以及△，求出，的值即可；

（2）求出或，，通过讨论方程根的个数，得到关于，的方程组，解出即可．

【解答】解：（1）由（1），得：，

对于任意实数，均有（1）成立，

，即恒成立，

故△，即，

故，；

（2）若，

则或，，

①当时，即（1），

由（1）知，，，

②当，时，即，是方程的两个根，

故（1），（2），

解得：，，

综上：，或，．

【点评】本题考查了二次函数的性质，考查集合的包含关系以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

20．（12分）我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．

（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？

（2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．

【分析】（1）设提价元，则每瓶利润为元，由此算出月销量，进而可以求出总利润的关系式，再求出原来的总利润，令提价的利润大于等于原来的利润，即可解出的范围，进而可以求解；（2）由题意可得每瓶利润为元，进而求出月销量，则可得月总利润，再利用函数的性质即可求解．

【解答】解：（1）设提价元，由题意，每瓶饮料利润为元，月销量为万瓶，所以提价后月总销售利润为万元，

因为原来月销售总利润为万元，月利润不低于原来月利润，所以，

，

即，，

所以，所以售价最多为，

故该饮料每瓶售价最多为50元；

（2）由题意，每瓶利润为元，月销售量万瓶，

设下月总利润为，，

整理得，，

因为，所以，，当且仅当时取到等号，

故当售价为19元时，下月的利润最大为45.45万元．

【点评】本题考查了函数模型，利用不等式的知识解决实际问题，属于基础题．

21．（12分）已知函数．

（1）证明函数在上是增函数；

（2）一般地，设函数的定义域为，如果对于任意的，都有，并且，那么称函数是奇函数．证明函数是奇函数；

（3）解不等式．

（参考公式：

【分析】（1）利用定义证明即可；

（2）利用定义域证明是奇函数即可；

（3）根据（1）和（2）结论可得，可得答案．

【解答】证明（1）：设任意，

那么，

，

，

而，

则那么，即，

故得函数在上是增函数；

证明（2）：由，则，

，

是奇函数．

解（3）：不等式．

即，

由（1）和（2）的结论可得：，

解得，

故得原不等式的解集为，．

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查定义法的运用，属于基础题．

22．（12分）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为”局部反比例对称函数”．

（1）已知一次函数，试判断是否为“局部反比例对称函数”？并说明理由；

（2）若是定义在区间，上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围．

【分析】（1）假设是“局部反比例对称函数”，根据“局部反比例对称函数”的定义可得，而方程无解，得出不是“局部反比例对称函数”．

（2）根据“局部反比例对称函数”的定义可得，存在，，，令，

分析在，上单调性，进而可得最值，推出，，设，分两种情况①若，②若，分析的取值范围．

【解答】解：（1）假设是“局部反比例对称函数”，

则存在，，即，

整理得，因为，

即无解，

所以不是“局部反比例对称函数”．

（2）因为是“局部反比例对称函数”，

则存在，，，即，

化简得，

变形为，

令，

设，由，

因为，所以，，所以，

所以，所以在，上单调递增，

所以（1），且时，，

所以，，

设，

所以当，时，有解，

①若，（2），

即，所以，

所以．

②若，△，

即，所以，

所以，

综上，实数的取值范围为，．

【点评】本题考查“局部反比例对称函数”的新定义，解题中注意转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/2/23 14:17:39；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394