2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学高二（下）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题（共8题，每题5分）
1．（5分）已知复数，复数的虚部是　　
A．1 B． C． D．
2．（5分）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为　　
A． B．7 C． D．28
3．（5分）2020年4月30日，我国的信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线．为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则不同的安排方法共有　　
A．12种 B．18种 C．24种 D．6种
4．（5分）已知随机变量的分布列是：

0
1
2
3





当变化时，下列说法正确的是　　
A．，均随着的增大而增大
B．，均随着的增大而减小
C．随着的增大而增大，随着的增大而减小
D．随着的增大而减小，随着的增大而增大
5．（5分）函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是　　

A． B．
C． D．
6．（5分）某种芯片的良品率服从正态分布，，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励200元．则每张芯片获得奖励的数学期望为　　元．
附：随机变量服从正态分布，，，．
A．52.28 B．65.87 C．50.13 D．131.74
7．（5分）如图，在正方体中，，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为　　

A． B． C． D．
8．（5分）已知，若（a）（b）（c）且，则的取值范围是　　
A． B．，
C． D．
二、多项选择题（共4题，每题5分，少选得2分，多选或错选得0分）
9．（5分）已知复数满足，，则实数的值可能是　　
A．1 B． C．0 D．5
10．（5分）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是　　
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
11．（5分）已知正方体，下列命题正确的是　　
A．正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有24对
B．从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点，可得到64个不同的四面体
C．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有36对
D．若给正方体每个面着一种颜色且相邻两个面不同色，有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有96种
12．（5分）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．其定理陈述如下：如果函数在闭区间，上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（b）（a），称为函数在闭区间，上的中值点，若关于函数在区间，上的“中值点”的个数为，函数在区间，上的“中值点”的个数为，则有　　（参考数据：，，，．
A． B． C． D．
三、填空题（共4题，每题5分）
13．（5分）已知为虚数单位，，复数满足，则的最小值为　　．
14．（5分）辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有　　种．
15．（5分）设三棱锥的所有棱长均为1，点，，满足，，，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为　　．
16．（5分）对于函数，若存在，使，则点，与点，均称为函数的“积分点”．已知函数，若点，（2）为函数一个“积分点”则　　；若函数存在5个“积分点”，则实数的取值范围为　　．
四、解答题（共6题）
17．（10分）（1）计算：；
（2）若复数满足方程：为虚数单位），求复数．
18．（12分）为了解学生是否会参加定向越野活动进行调查．随机抽取了200位中小学生进行调查、得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有80人，不准备参加定向越野的小学生有40人，准备参加定向越野的中学生有40人．
（1）完成下列列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关．

准备参加定向越野
不准备参加定向越野
合计
小学生



中学生



合计



（2）现将小学生分组进行比赛两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图（跑一张地图视为一次），达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于3次称为“优秀小组”．小超与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为，，且，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到16次？并求此时，的值．
附：，．

0.50
0.25
0.05
0.025
0.010

0.455
1.323
3.840
5.024
6.635
19．（12分）如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．
（1）求证：平面；
（2）当的长为何值时，二面角的大小为．

20．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望．
21．（12分）设，且，记集合，2，3，，的所有3个元素的子集为，，，，为中的最大元素，，2，，．
（1）当时，求的值；
（2）求的值．
22．（12分）已知函数且函数图象上点，（1）处的切线斜率为0．
（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点，，，如果在函数图象上存在点，，，使得点处的切线，则称存在“跟随切线”．特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”．试问：函数上是否存在两点，使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出，的坐标，若不存在，说明理由．

2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共8题，每题5分）
1．（5分）已知复数，复数的虚部是　　
A．1 B． C． D．
【分析】先对复数进行化简，然后结合虚部的概念即可求解．
【解答】解：因为，
所以，虚部为．
故选：．
【点评】本题主要考查了复数的运算及基本概念，属于基础题．
2．（5分）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为　　
A． B．7 C． D．28
【分析】利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出；利用二项展开式的通项公式求出通项，令的指数为0求出常数项．
【解答】解：依题意，，
．
二项式为，其展开式的通项
令解得
故常数项为．
故选：．
【点评】本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
3．（5分）2020年4月30日，我国的信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线．为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则不同的安排方法共有　　
A．12种 B．18种 C．24种 D．6种
【分析】根据题意，依次分析三个路段的安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，
若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则标记为Ⅰ的崎岖路段有3种安排方法，
对于标记为Ⅱ的崎岖路段，可以从剩下3人中任选1人，有3种安排方法，
对于标记为Ⅲ的崎岖路段，可以从剩下2人中任选1人，有2种安排方法，
则有种安排方法，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4．（5分）已知随机变量的分布列是：

0
1
2
3





当变化时，下列说法正确的是　　
A．，均随着的增大而增大
B．，均随着的增大而减小
C．随着的增大而增大，随着的增大而减小
D．随着的增大而减小，随着的增大而增大
【分析】利用期望公式，方差公式分别表示出期望与方差，即可解决问题．
【解答】解：；
；
又因为，即，
所以随着的增加而增加，随着的增加而增大．
故选：．
【点评】本题考查了统计与概率的基本概念知识，属于基础题．
5．（5分）函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是　　

A． B．
C． D．
【分析】通过图象，可知函数有3个零点，排除选项，再根据零点的位置可得选项．
【解答】解：由图象，可知函数有3个零点，
没有零点，而和均有两个零点，排除选项；
对于选项：，当时，，即两个零点关于轴对称，根据图象，选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的判断，零点的应用，属于基础题．
6．（5分）某种芯片的良品率服从正态分布，，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励200元．则每张芯片获得奖励的数学期望为　　元．
附：随机变量服从正态分布，，，．
A．52.28 B．65.87 C．50.13 D．131.74
【分析】根据，得出，，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望．
【解答】解：因为，，所以，，
所以，
；
；
所以每张芯片获得奖励的数学期望为
（元．
故选：．
【点评】本题考查了正态分布列的定义与应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．
7．（5分）如图，在正方体中，，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为　　

A． B． C． D．
【分析】如图所示，连接，与交于，取的中点，连接，证明平面，再进行求解即可．
【解答】解：如图所示，连接，与交于，取的中点，连接，
则，易知平面，平面，平面．
面，△为平面截该正方体所得截面，在△中，，，，
平面截该正方体所得截面的面积为：．
故选：．

【点评】本题考查面面垂直的判定，考查三角形面积的计算，正确判定面面垂直是关键．属于中档题．
8．（5分）已知，若（a）（b）（c）且，则的取值范围是　　
A． B．，
C． D．
【分析】依题意，作出的图象，则，构造函数（b），利用导数分析其单调性，可求得其值域，从而可得答案．
【解答】解：，（a）（b）（c）且，作图如下：

，其中．
，且，
，．
则，
令（b），
则（b），
当时，（b），时，（b），
（b）（2）．
又（1），，
（b），
则的取值范围是，
故选：．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查分段函数的应用及对数的运算性质，体现了数形结合的解题思想，是难题．
二、多项选择题（共4题，每题5分，少选得2分，多选或错选得0分）
9．（5分）已知复数满足，，则实数的值可能是　　
A．1 B． C．0 D．5
【分析】先设，结合已知及复数的四则运算进行化简后转化为二次方程解的存在，进而可求的范围，结合选项可求．
【解答】解：设，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得，
结合选项可知，符合．
故选：．
【点评】本题主要考查了复数的运算及复数基本概念，二次方程解的存在性，体现了转化思想的应用．
10．（5分）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是　　
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
【分析】由题意得，，再由组合数的性质，求出，再令结合展开式的各项系数之和为1024求出，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项．
【解答】解：因为的展开式中第5项与第七项的二项式系数相等，
，
展开式的各项系数之和为1024，
，
，
，
原二项式为：；其展开式的通项公式为：，
展开式中奇数项的二项式系数和为：；故错，
因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，对，
令，即展开式中存在常数项，对，
令，，对．
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题目也是易错题目．
11．（5分）已知正方体，下列命题正确的是　　
A．正方体的12条棱所在的直线中，相互异面的有24对
B．从正方体的8个顶点中选4个作为四面体的顶点，可得到64个不同的四面体
C．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有36对
D．若给正方体每个面着一种颜色且相邻两个面不同色，有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有96种
【分析】找1条棱的一面直线对数，再计算总全体异面直线对数，可判断；
算出从8个顶点取4个顶点的组合数再减去四点共面的个数可判断；
找一个面的对角线与其它面对角线成角的对数，再计算所有对数可判断；
根据涂颜色3种或4种进行计算可判断．
【解答】解：先找出与棱所在直线异面其它棱所在直线：，，，共4条，相互异面的共（对，故对；
从8个顶点取4个顶点的组合数为：，由正方体的6个面和6个对角面可知四点共面的情况有12种组合，
可得到（个不同的四面体，故错；
与面对角线成的面对角线有：，，，，，，，共8条，所有面对角线构成共对，故错；
当用3种颜色时，所有相对面颜色相同，有（种方法．当用4种颜色时，有2组对面颜色相同，有．共（种
涂色方法，故对．
答案故选：．
【点评】本题考查排列组合应用、空间直线位置关系及空间角、分类讨论思想，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．
12．（5分）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．其定理陈述如下：如果函数在闭区间，上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（b）（a），称为函数在闭区间，上的中值点，若关于函数在区间，上的“中值点”的个数为，函数在区间，上的“中值点”的个数为，则有　　（参考数据：，，，．
A． B． C． D．
【分析】设函数在区间，上的“中值点”为，则由拉格朗日中值定理可得：，所以，，由函数图像可知函数和的图像在，上有两个交点，所以函数在区间，上有2个“中值点”，从而求出的值，由拉格朗日中值定理可得，由数形结合法可知函数与的图像在区间，上有1个交点，所以函数在区间，上有1个“中值点”，从而求出的值．
【解答】解：设函数在区间，上的“中值点”为，
由，
则由拉格朗日中值定理可得：，
又，
即，
所以，，
作出函数和的图像，如图1，
由图可知，函数和的图像在，上有两个交点，
所以方程在，上有两个解，即函数在区间，上有2个“中值点”，
所以，
又，函数在区间，上的“中值点”为，
则由拉格朗日中值定理可得：（1），
即，
作出函数与的图像，如图2，
，且当，时，，
由图可知，函数与的图像在区间，上有1个交点，
即方程在区间，上有1个解，
所以函数在区间，上有1个“中值点”，即，
故选：．


【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合法的应用，考查了拉格朗日中值定理的应用，是中档题．
三、填空题（共4题，每题5分）
13．（5分）已知为虚数单位，，复数满足，则的最小值为　　．
【分析】结合复数的四则运算及复数的模长公式及二次函数的性质即可直接求解．
【解答】解：因为，
则，
结合二次函数的性质，当时，取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式，还考查了二次函数的性质，属于基础题．
14．（5分）辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有　38　种．
【分析】从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则发言情况有3类，一类：“人民英雄”“时代楷模”，二类：“全国道德模范”“人民英雄”，三类：“时代楷模”“全国道德模范”，分别求解发言情况，即可得到结果．
【解答】解：从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则发言情况有3类，一类：
“人民英雄”“时代楷模”，二类：“全国道德模范”“人民英雄”，
三类：“时代楷模”“全国道德模范”，
所以一类：“人民英雄”“时代楷模”，发言方案：，
二类：“全国道德模范”“人民英雄”， ，
三类：“时代楷模”“全国道德模范”， ，
共有38种发言方案．
故答案为：38．
【点评】本题考查排列组合简单计数原理的应用，是基础题．
15．（5分）设三棱锥的所有棱长均为1，点，，满足，，，则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为　　．
【分析】利用正弦定理求出底面正三角形外接圆的半径，求出棱锥的高，以及外接球的半径，利用比例关系求解点到平面的距离，进而求出截面圆的半径，由圆的面积公式求解即可．
【解答】解：三棱锥的所有棱长均为1，
故是棱长为1的正四面体，
由正弦定理可得，正三角形的外接圆的半径为，
即，
在中，，
设外接球的球心为，半径为，
则有，解得，
所以，
因为，即，
故点为上靠近点的四等分点，
同理可得，，分别为，的四等分点，
则点到平面的距离为高的，
故点到平面的距离，
所以截面圆的半径，
则三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为．
故答案为：．

【点评】本题考查了空间几何体的外接球问题，正四面体的几何性质的应用，正三角形外接圆半径的求解，考查了空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
16．（5分）对于函数，若存在，使，则点，与点，均称为函数的“积分点”．已知函数，若点，（2）为函数一个“积分点”则　6　；若函数存在5个“积分点”，则实数的取值范围为　　．
【分析】直接根据定义求出，根据题中的条件，判断出“积分点”的特征，之后根据存在5个“积分点”，等价于函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，构造函数利用导数求得结果．
【解答】解：点，（2）为函数一个“积分点”，
（2），
由题意，存在5个“积分点”，原点是一个，其余还有两对，
即函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，
而函数关于原点对称的函数为，
即有两个正根，
，令，
则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，
且当和时，，
所以实数的取值范围为，
故答案为：6，．
【点评】本题考查分段函数的应用，利用对称性求解函数的解析式，考查分析问题解决问题的能力，题目比较新颖，属于中档题．
四、解答题（共6题）
17．（10分）（1）计算：；
（2）若复数满足方程：为虚数单位），求复数．
【分析】（1）结合复数的四则运算即可直接求解；
（2）先设，然后结合复数的四则运算及复数的模长公式可求．
【解答】解：（1）；
（2）设，
因为，
所以，
所以，
解得或，
则．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式的求解，考查了运算的核心素养，属于基础题．
18．（12分）为了解学生是否会参加定向越野活动进行调查．随机抽取了200位中小学生进行调查、得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有80人，不准备参加定向越野的小学生有40人，准备参加定向越野的中学生有40人．
（1）完成下列列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关．

准备参加定向越野
不准备参加定向越野
合计
小学生



中学生



合计



（2）现将小学生分组进行比赛两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图（跑一张地图视为一次），达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于3次称为“优秀小组”．小超与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为，，且，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到16次？并求此时，的值．
附：，．

0.50
0.25
0.05
0.025
0.010

0.455
1.323
3.840
5.024
6.635
【分析】（1）利用题中的数据完成列联表，计算的值，对照临界值表即可得到答案；
（2）先求出他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率，利用，结合二次函数的性质即可得到的最大值和最小值，再利用换元法求出的最大值，从而得到的最小值以及此时，的值．
【解答】解：（1）由题意可得，列联表如下：

准备参加定向越野
不准备参加定向越野
合计
小学生
80
40
120
中学生
40
40
80
合计
120
80
200
由表中的数据可得，，
所以有的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关；
（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为，
则，
因为，所以，
因为，，
所以，
又，所以，
所以是关于的二次函数，
则当时，有最大值，
当或时，有最小值，
所以，
令，则，
所以，当时，的最大值为，
他们小组在轮游戏中获“优秀小组”次数满足，
因为，故，
所以理论上至少要进行27轮游戏，此时，，故．
【点评】本题主要考查了独立性检验的实际应用问题，考查了利用二次函数求解最值问题以及二项分布的期望，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
19．（12分）如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．
（1）求证：平面；
（2）当的长为何值时，二面角的大小为．

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）建立坐标系取出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【解答】解：（1）证明：，，
矩形和梯形所在平面互相垂直，
，再由矩形梯形，得平面，
平面，，
，平面，平面，
平面．
（2）解：，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
过点作于点，在中，，，则，
，，，
设，则，0，，，0，，，2，，，3，，
，2，，，1，，，2，，
设平面的法向量为，，，
则，得，令，则，，，
平面，，0，，
若二面角的大小为．
则，
解得，
所以当，二面角的大小为．

【点评】本题主要考查空间线面位置关系的判断以及空间角的计算，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键，是中档题．
20．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）按照性别比例分层抽样，先求出男生应该抽取3人，女生应该抽取4人，由此能求出按照性别比例分层抽样，可以得到不同的样本的个数．
（Ⅱ）由已知得这7名同学中，数学和物理成绩均为优秀的有3人，的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）按照性别比例分层抽样，
男生应该抽取：人，女生应该抽取：人，
按照性别比例分层抽样，可以得到不同的样本的个数为：个．
（Ⅱ）由已知得这7名同学中，数学和物理成绩均为优秀的有3人，的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
．
的分布列为：

0
1
2
3





．
【点评】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
21．（12分）设，且，记集合，2，3，，的所有3个元素的子集为，，，，为中的最大元素，，2，，．
（1）当时，求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）罗列，2，3，的子集可解决此问题；
（2）最大元素为的个数为个可解决此问题．
【解答】解：（1）当时，，2，，，2，，，3，，，3，，．
故的值为15；
（2）当时，集合，2，3，，，所有3个元素的子集为：，2，，，2，，，3，，，3，，，，2，3，，，
当最大元素为3时，共有个集合；
当最大元素为4时，共有个集合；
当最大元素为5时，共有个集合；

当最大元素为时，共有个集合．
．
又，，3，，，
．
故的值为：．
【点评】本题考查集合、组合数应用、转化思想，考查数学运算能力，属于难题．
22．（12分）已知函数且函数图象上点，（1）处的切线斜率为0．
（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点，，，如果在函数图象上存在点，，，使得点处的切线，则称存在“跟随切线”．特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”．试问：函数上是否存在两点，使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出，的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据的解析式求出的导函数，利用（1），代入导函数化简即可得到与的关系式，用表示出；然后分别令导函数大于0和小于0得到关；
（2）假设函数的图象上存在两点，，，，使得存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线的斜率，利用导数的几何意义求出直线的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．于的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的的范围即分别为函数的递增和递减区间．
【解答】解：函数的定义域为，且，又（1），整理得．
（1）．
当时，易知，，时，
故在上单调递增，在上单调递减；
当地，令，解得或，则
①当，即时，在上恒成立，则在上递增．
②当，即时，当时，；当时，，
在及上单调递增；在上递减．
③当，即时，当时，；当时，．
在和上单调递增，在上递减．
（2）假设函数的图象上存在两点，，，，使得存在“中值跟随切线”，
则，
，
又得，
，，则，，此式表示有大于1的实数根，
令，则
是上的增函数，
（1），与，有大于1的实数根相矛盾，
函数的图象上不存在两点，，，，使得存在“中值跟随切线”．
【点评】此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题，属难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/1 16:05:04；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394