2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）
1．（5分）命题：“，”的否定为　　
A．， B．， C．， D．，
2．（5分）已知双曲线的离心率是，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比为　　
A． B．2 C． D．3
4．（5分）已知双曲线右支上一点到右焦点的距离为4，则该点到左准线的距离为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（5分）若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为　　
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（5分）为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为　　
A．34000米 B．36000米 C．38000米 D．40000米
7．（5分）数列是等比数列，公比为，且．则“”是“，”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．（5分）已知椭圆的右焦点为．点，为椭圆上不同的两点，且满足．过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为．则的最小值为　　
A． B． C． D．1
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9．（5分）已知数列0，2，0，2，0，2，，则前六项适合的通项公式为　　
A．
B．
C．
D．
10．（5分）已知命题：不存在过点的直线与椭圆相切．则命题是真命题的一个充分不必要条件是　　
A． B． C． D．
11．（5分）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是　　
A． B．是偶数
C． D．
12．（5分）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点．点，是抛物线上不同的两点．下面说法中正确的是　　
A．若直线过焦点，则以线段为直径的圆与准线相切
B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多两条
C．对于抛物线内的一点，则
D．若直线垂直于轴，则直线与直线的交点在抛物线上
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）
13．（5分）已知递增等差数列满足：，，则　　．
14．（5分）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则实数的值为　　．
15．（5分）设椭圆的右焦点为，为坐标原点．过点的直线与椭圆的交点为（点在轴上方），且，则椭圆的离心率为　　．
16．（5分）数列满足：，其中为数列的前项和，则　　，若不等式对恒成立，则实数的最小值为　　．
四、解答题（本题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题，恒成立；命题．
（1）若命题与命题互为充要条件，求实数的值；
（2）若命题是命题的必要不充分条件，求正数的取值范围．
18．（12分）已知双曲线的标准方程为，，分别为双曲线的左、右焦点．
（1）若点在双曲线的右支上，且△的面积为3，求点的坐标；
（2）若斜率为1且经过右焦点的直线与双曲线交于，两点，求线段的长度．
19．（12分）在①，，成等差数列；②；③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答．
已知是数列的前项和．若，，且满足____．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的通项公式．
20．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，．过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于0的直线经过点，且交椭圆于不同的两点，在点，之间）．记与的面积之比为，求实数的取值范围．

21．（12分）已知数列中，，，为数列的前项和．数列满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的方程及其相应准线方程；
（2）过点作斜率为，的两条直线分别交抛物线于，和，四点，其中．设线段和的中点分别为，，过点作，垂足为．证明：存在定点，使得线段长度为定值．


2020-2021学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的选项中，只有1项符合题意）
1．（5分）命题：“，”的否定为　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题：“，”为特称命题，
则命题：“，”的否定为：，，
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（5分）已知双曲线的离心率是，则　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用双曲线的离心率，列出方程，求解即可．
【解答】解：双曲线的离心率是，
可得，解得．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
3．（5分）在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比为　　
A． B．2 C． D．3
【分析】运用等比数列的通项公式，计算可得所求公比．
【解答】解：在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，
则，解得，
故选：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4．（5分）已知双曲线右支上一点到右焦点的距离为4，则该点到左准线的距离为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先根据双曲线方程可知，，进而求得，则双曲线离心率可得，进而根据双曲线的第一定义求得到左焦点的距离，再根据双曲线的第二定义利用点到左焦点的距离和离心率求得点到左准线的距离．
【解答】解：双曲线方程中，，，，
到左焦点的距离为，
点到左准线的距离为．
故选：．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用了双曲线的第一和第二定义．
5．（5分）若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为　　
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】先设出，的坐标，根据抛物线的定义求得，进而根据中点到轴的距离求得．
【解答】解：设，，，，根据抛物线定义，，
，可知，
，
线段的中点到轴的距离为：6．
故选：．
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是利用了抛物线的定义．
6．（5分）为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为　　
A．34000米 B．36000米 C．38000米 D．40000米
【分析】设小李第天跑米，则数列是首项为，公差为的等差数列，推导出，由此能求出这15天小李同学总共跑的路程．
【解答】解：设小李第天跑米，则数列是首项为，公差为的等差数列，
小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，
，
，
这15天小李同学总共跑的路程为：
（米．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的前15项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）数列是等比数列，公比为，且．则“”是“，”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】根据充分必要条件导数定义以及等比数列的性质判断即可．
【解答】解：若数列是等比数列，公比为，且，
则，，，
故


，
若，则即”是充分条件，
反之若，即，解得：或，不是必要条件，
故”是“，”的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查等比数列的性质以及转化思想，是一道基础题．
8．（5分）已知椭圆的右焦点为．点，为椭圆上不同的两点，且满足．过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为．则的最小值为　　
A． B． C． D．1
【分析】先画出图象，利用数形结合分别过，两点作右准线的垂线，再设垂线段分别为，，则可得的长度，再利用椭圆的第二定义以及勾股定理可求出的长度，最后利用基本不等式的关系即可求解．
【解答】解：如图所示：
分别过点，作右准线的垂线，垂足为，，
设，，则，
则由椭圆的第二定义可得：，，
因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
又，所以的最小值为，
故选：．
【点评】本题考查了椭圆的第二定义以及离心率问题，涉及到基本不等式求最值问题，属于中档题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9．（5分）已知数列0，2，0，2，0，2，，则前六项适合的通项公式为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】对四个选项中的通项公式的分别取前六项，看其是否是数列0，2，0，2，0，2，从而得到结论．
【解答】解：对于选项，取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件；
对于选项，取前六项得0，，0，2，0，，不满足条件；
对于选项，取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件；
对于选项，取前六项得0，2，2，8，12，22，不满足条件；
故选：．
【点评】本题主要考查了数列的概念及其简单表示，同时考查了列举法进行验证，属于基础题．
10．（5分）已知命题：不存在过点的直线与椭圆相切．则命题是真命题的一个充分不必要条件是　　
A． B． C． D．
【分析】根命题为真命题，求出的范围，以及充分必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：命题：不存在过点的直线与椭圆相切，
若为真命题，则，
解得或，
即对应集合或
故使得为真命题的一个充分不必要条件是集合的真子集，
满足条件的有答案，；
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用命题真假之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．
11．（5分）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是　　
A． B．是偶数
C． D．
【分析】根据题中给出的斐波那契数列的定义，对选项中的等式逐一分析判断，即可得到答案．
【解答】解：由题设知：数列的前10项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
，故选项正确，
由该数列的性质可得，只有3的倍数项是偶数，故选项错误；
，故选项正确；
，
，
，

，
，
以上各式相加可得，
，
所以，
故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了数列的新定义问题，试题以数列的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解数列知识的基础上，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质．
12．（5分）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点．点，是抛物线上不同的两点．下面说法中正确的是　　
A．若直线过焦点，则以线段为直径的圆与准线相切
B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多两条
C．对于抛物线内的一点，则
D．若直线垂直于轴，则直线与直线的交点在抛物线上
【分析】可设直线的方程设为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，直线和圆相切的条件可判断；考虑过与抛物线相切的直线和对称轴，可判断；运用抛物线的定义和三点共线的性质可判断；求得两直线，的方程，求得交点，代入抛物线的方程可判断．
【解答】解：由题意可得，准线，，
对于，直线的方程设为，联立抛物线，可得，
设，的纵坐标分别为，，可得，，
的中点为，，到准线的距离为，
而，即为的中点到准线的距离，
所以以线段为直径的圆与准线相切，故正确；
对于，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条，分别为轴和过与抛物线相切的两条直线，故错误；
对于，如右图，设在准线上的射影为，连接，，可得，，当且仅当，，三点共线时，取得最小值，故正确；
对于，可设的方程为，，，，的方程为，的方程为，
联立两直线方程可得交点的坐标为，，有，故交点在抛物线上，故正确．
故选：．

【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和数形结合思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分.只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）
13．（5分）已知递增等差数列满足：，，则　8　．
【分析】设等差数列的公差为，，运用等差数列的性质和通项公式，可得首项和公差，进而得到所求值．
【解答】解：设等差数列的公差为，，
由，即，
又，可得，，
则，
所以．
故答案为：8．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
14．（5分）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则实数的值为　　．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为：，抛物线的焦点坐标为：，
抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，
可得：，解得，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
15．（5分）设椭圆的右焦点为，为坐标原点．过点的直线与椭圆的交点为（点在轴上方），且，则椭圆的离心率为　　．
【分析】先画出图象，利用数形结合和已知可得三角形为直角三角形，再由直线过焦点可得的坐标和左焦点的坐标，设出的坐标．利用向量垂直的数量积为0求出的坐标，再代入椭圆方程以及椭圆的恒等式，
联立即可求解．
【解答】解：由题意画出图象如图所示：
设椭圆的左焦点为，
由已知，可得三角形为直角三角形，且，
因为直线过焦点，令，解得，所以，，
设，所以①
则由可得：②，
①②联立方程解得：或（舍去），
所以，，代入椭圆方程可得：，又，
解得或（舍去），
所以，
所以离心率为，
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的离心率以及直角三角形的性质，涉及到向量垂直的数量积为0以及解方程问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
16．（5分）数列满足：，其中为数列的前项和，则　　，若不等式对恒成立，则实数的最小值为　　．
【分析】首先利用关系式的变换求出数列是以为首项，为公差的等差数列，进一步利用函数的恒成立问题的应用和数列的单调性的应用求出参数的最小值．
【解答】解：数列满足：①，
当时，②，
①②得：，
整理得（常数），
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，
解得．
（2）不等式对恒成立，
所以，
由于，
所以，
即，
设，
则，
当，，即数列单调递增，
当时，，
当时，，即数列单调递减．
所以当时，取得最大值为．
即，
所以，
故的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，恒成立问题的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题，恒成立；命题．
（1）若命题与命题互为充要条件，求实数的值；
（2）若命题是命题的必要不充分条件，求正数的取值范围．
【分析】（1）分别求出关于，为真时的的范围，根据充要条件得到关于的方程，解出即可；
（2）根据集合的包含关系，得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】解：若方程表示焦点在轴上的椭圆；
则，解得：，
故为真命题时：；
若，恒成立，
则△，解得：，
故为真命题时：；
（1）若命题与命题互为充要条件，
则，，，解得：；
（2）若命题是命题的必要不充分条件，
则，，
则，解得：，
故的范围是，．
【点评】本题考查了椭圆，二次函数问题，考查集合的包含关系以及充分必要条件，考查转化思想，是一道基础题．
18．（12分）已知双曲线的标准方程为，，分别为双曲线的左、右焦点．
（1）若点在双曲线的右支上，且△的面积为3，求点的坐标；
（2）若斜率为1且经过右焦点的直线与双曲线交于，两点，求线段的长度．
【分析】（1）求得双曲线的，，，设出的坐标，运用三角形的面积公式，解方程可得所求点的坐标；
（2）求得直线的方程，联立直线方程和双曲线的方程，解方程可得，的横坐标，再由弦长公式计算可得所求值．
【解答】解：（1）双曲线的标准方程为，可得，，，
设，，由题意可得△的面积为，
即，可得，，
即有，或，；
（2）斜率为1且经过右焦点的直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
设，的横坐标分别为，，
解得，，
则．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19．（12分）在①，，成等差数列；②；③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答．
已知是数列的前项和．若，，且满足____．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的通项公式．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列是以为首项，2为公比的等比数列，进一步求出数列的通项公式；
（2）利用叠加法的应用求出数列的通项公式．
【解答】解：当选①时：
（1）由于，，成等差数列；
所以，
由于，①，
当时，②，
①②得：，整理得，即（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以，解得．
所以，
（2），，
所以，，，
所以，
故．
选②时：
（1）由于，①，
当时，②，
①②得：，整理得，即（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
且；
整理得，解得，
所以，
（2），，
所以，，，
所以，
故．
选③时：
（1）由于，①，
当时，②，
①②得：，整理得，即（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
且，整理得，解得，故．
所以，
（2），，
所以，，，
所以，
故．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，数列的求和，叠加法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
20．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，．过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于0的直线经过点，且交椭圆于不同的两点，在点，之间）．记与的面积之比为，求实数的取值范围．

【分析】（1）由题意可得，令，求得，可得，的方程，解得，从而得到椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，解不等式可得的范围．
【解答】解：（1）由题意可得，即，
令，可得，
则，解得，
则椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，
与椭圆方程联立，可得，
由△，可得，
设，的纵坐标分别为，，且，且，，
，，
，
由，可得，
由与的面积之比为，可得，
即为，由解得，
又，即，可得，
由，解得或，
则实数的取值范围为，．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21．（12分）已知数列中，，，为数列的前项和．数列满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由，然后利用叠加法求得，
再检验时是否适合，从而求得，最后利用等差数列的定义证明结论即可．
（2）先由（1）求得，进而利用裂项相消法求得其前项和，再假设存在正整数，，使得，，成等差数列，根据假设得到与的关系式，解出满足题意的与即可．
【解答】解：（1）证明：由可得：，
，
，
，
，
，
将以上式子相加可得：，
，，
又也适合上式，
，
，
数列是首项、公差均为1的等差数列，；
（2）解：由（1）可得，
，
假设存在正整数，，使得，，成等差数列，
则，即，
又，可解得：或，
故存在或，使得，，成等差数列．
【点评】本题主要考查叠加法在求数列通项公式中的应用、等差数列的定义及前项和公式、裂项相消法在数列求和中的应用及解方程的能力，属于中档题．
22．（12分）已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的方程及其相应准线方程；
（2）过点作斜率为，的两条直线分别交抛物线于，和，四点，其中．设线段和的中点分别为，，过点作，垂足为．证明：存在定点，使得线段长度为定值．

【分析】（1）代入点，解方程可得，可得抛物线的方程和准线方程；
（2）设，，，联立抛物线的方程，运用韦达定理、中点坐标公式，以及两直线垂直的条件，可得的坐标，求得的轨迹，进而得到定点．
【解答】解：（1）抛物线经过点，
可得，即，
抛物线的方程为，准线方程为；
（2）证明：设，，，
由可得，
可得，，
即，，同理可得，，
，
则直线的方程为，
可得的方程为，
由可得，即，，
所以，，
即，
化为，的轨迹是为圆心，1为半径的圆，
存在定点，使得线段长度为定值1．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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日期：2021/2/24 20:14:19；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394