2021-2022学年江苏省南通市海安市曲塘中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南通市海安市曲塘中学高一（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南通市海安市曲塘中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集，2，3，，集合，，，则　　A． B． C．， D．，3，2．（5分）已知是虚数单位，复数满足，则　　A． B． C． D．3．（5分）已知向量，，．若，则　　A． B．0 C．1 D．24．（5分）小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段，和优弧围成，其中连线竖直，，与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则　　A． B． C． D．5．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．6．（5分）若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到函数的图象，则函数　　A．图象关于点对称 B．图象关于对称 C．在上单调递减 D．最小正周期是7．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为　　A． B． C． D．88．（5分）课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以由分配律，得，即也即．请用上述向量方法探究，如图2直线与的边，分别相交于点，．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为　　A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．（5分）下列命题中正确的有　　A．空间中平行于同一直线的两直线平行 B．空间中垂直于同一直线的两直线平行 C．空间中，两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形10．（5分）对于，有如下判断，其中正确的判断是　　A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，一定有 C．若，则 D．若，则11．（5分）若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是　　A．函数图象关于点对称 B．函数的周期为1 C． D．12．（5分）在等腰中，，，的平分线交于．则　　A． B． C． D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数为虚数单位），则　　．14．（5分）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若，，，，则．试用上述成果解决问题：已知，，，则　　．15．（5分）如图，在等腰直角三角形中，，，将边三等分，则　　．16．（5分）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆的半径为1，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则线段最大值　　，此时　　．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量，，．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．18．（12分）（1）若，，且，求的值；（2）已知，，求的值．19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值．20．（12分）在平面四边形中，，，，，．（1）求证：；（2）求的长．21．（12分）如图，等腰三角形中，，，，是上两点，且．（1）若，求的长；（2）设，求出三角形面积的表达式，并求的最小值．可能用到的公式：，，，．22．（12分）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点．（1）求；（2）求的余弦值．
2021-2022学年江苏省南通市海安市曲塘中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集，2，3，，集合，，，则　　A． B． C．， D．，3，【解答】解：全集，2，3，，集合，，，，故选：．2．（5分）已知是虚数单位，复数满足，则　　A． B． C． D．【解答】解：设，由，得，得，．．故选：．3．（5分）已知向量，，．若，则　　A． B．0 C．1 D．2【解答】解：根据题意，向量，，则，若，则有，解可得，故选：．4．（5分）小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段，和优弧围成，其中连线竖直，，与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则　　A． B． C． D．【解答】解：设优弧的圆心为，半径为，连接，，，如图所示：易知“水滴”的水平宽度为，竖直高度为，则由题意知，解得，与圆弧相切于点，则，所以在中，，由对称性可知，，则，所以．故选：．5．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解答】解：由题意，可知：，．，最大，、都小于1．，．而，．，．故选：．6．（5分）若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到函数的图象，则函数　　A．图象关于点对称 B．图象关于对称 C．在上单调递减 D．最小正周期是【解答】解：若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，再向下平移一个单位得到函数的图象，即，当时，，此时函数关于对称，故错误，当时，，此时函数关于，对称，故错误，当时，，，此时单调递减，故正确，函数的最小正周期，故错误，故选：．7．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为　　A． B． C． D．8【解答】解：根据题意，把直观图还原出原平面图形，如图所示；其中：，，，则，故原平面图形的周长为，故选：．8．（5分）课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以由分配律，得，即也即．请用上述向量方法探究，如图2直线与的边，分别相交于点，．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为　　A． B． C． D．【解答】解：设，则，因为，所以，即，即，所以，即，故选：．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．（5分）下列命题中正确的有　　A．空间中平行于同一直线的两直线平行 B．空间中垂直于同一直线的两直线平行 C．空间中，两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形【解答】解：由基本事实4可得空间中平行于同一直线的两直线平行，正确，如下图，，而，相交，故错误，空间四边形中，，故错误，若四边形的对边，则四边形为平面四边形，又故四边形为平行四边形，正确，故选：．10．（5分）对于，有如下判断，其中正确的判断是　　A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，一定有 C．若，则 D．若，则【解答】解：对于：若，故或，则为等腰三角形或直角三角形；故错误．对于：在锐角三角形中，由于，所以，故，故正确；对于：由于，所以，故，整理得，故，整理得，故，故正确；对于：若，当，时，，故错误．故选：．11．（5分）若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是　　A．函数图象关于点对称 B．函数的周期为1 C． D．【解答】解：因为是奇函数，所以，即，所以，是偶函数，因为是奇函数，所以函数图像关于点对称，所以函数图像关于点对称，因此选项正确，，所以，是周期函数，最小正周期为4，故选项错误因此（1），故选项正确，（2）不一定为0，故选项错误，故选：．12．（5分）在等腰中，，，的平分线交于．则　　A． B． C． D．【解答】解：设，，由，，则，，由，则，即，令，则，则，则，又，则，即，对于选项、，由上可知显然正确；对于选项，由内角平分线定理可得：，即选项错误；对于选项，由可得：，即选项正确，故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数为虚数单位），则　1　．【解答】解：，．故答案为：1．14．（5分）小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若，，，，则．试用上述成果解决问题：已知，，，则　1　．【解答】解：因为，，，所以，又当时，，所以，故答案为：1．15．（5分）如图，在等腰直角三角形中，，，将边三等分，则　　．【解答】解：由题意，不妨设，．易得，．故答案为：．16．（5分）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆的半径为1，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则线段最大值　3　，此时　　．【解答】解：由题意，可得，又，，，即，即，当且仅当对角互补时取等号，所以线段最大值为3．，，，四点共圆，又与所对弧相等，则．故答案为：3；．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知向量，，．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．【解答】解：（1）由题意，向量，，因为，故，因此，故；（2）设与的夹角为，所以．即与的夹角的余弦值为．18．（12分）（1）若，，且，求的值；（2）已知，，求的值．【解答】解：（1）因为，且，所以，所以．（2）将两边平方，得①，设，将其两边平方，得②，①②，得，所以，即，解得，所以．19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接，，由已知四边形是矩形，与到相平分，为的中点，又为的中点，，平面，平面，平面；（2）由（1）知，是异面直线与的夹角（或其补角），三棱柱为直三棱柱，，，又，，，，在中，，，，，由余弦定理得，直线与所成角的余弦值为．20．（12分）在平面四边形中，，，，，．（1）求证：；（2）求的长．【解答】证明：（1）由题意可知，因为，，所以，由四边形的内角和定理，得，所以，所以，，；（2）在中，由正弦定理，得，即，在中，由正弦定理，得，即，由①②得，，即，由（1）知，，即，解得，又，所以，在中，．21．（12分）如图，等腰三角形中，，，，是上两点，且．（1）若，求的长；（2）设，求出三角形面积的表达式，并求的最小值．可能用到的公式：，，，．【解答】解：（1）因为，，所以，，在中，由余弦定理知，，所以，所以，所以，故，所以，即为等边三角形，所以．（2）在中，由正弦定理，，所以，同理可得，所以，所以，因为，所以，所以的最大值为1，故的最小值为．22．（12分）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点．（1）求；（2）求的余弦值．【解答】解：（1）为的中点，，，，，，，．（2）为的中点，，，，，，与的夹角相等，则的余弦值为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:08:22；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367