2023年北京市东城区中考二模数学试题

东城区2022-2023学年度第二学期初三年级统一测试（二）

数学试卷

2023.5

学校_________ 班级_________ 姓名_________ 教育ID号_________

考生须知

1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．据报道：中国铁路营业里程从2012年的9.8万公里增长到2022年的15.5万公里，其中高铁从0.9万公里增长到4.2万公里，稳居世界第一．将数字155000用科学记数法表示应为（    ）

A． B． C． D．

2．如图是某几何体的展开图，该几何体是

A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥

3．在平面直角坐标系中，已知点，将线段平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

4．下列正多边形中，一个内角为的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，于点，于点和交于点，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．下列运算结果正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为（    ）

A．8.3分 B．8.4分 C．8.5分 D．8.6分

8．两个变量满足的函数关系如图所示．

①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米；

②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升；

③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米．

在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．若二次根式有意义，则实数的取值范围是_________．

10．分解因式：_________．

11．写出一个大小在和之间的整数是_________．

12．如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则_________．

13．如图，已知和，点在同一直线上，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_________（写出一个即可）．

14．质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：

在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约为_________（结果保留一位小数）．

15．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长2米，它的影长是4米，同一时刻测得是268米，则金字塔的高度是_________米．

16．将15个编号为1~15的小球全部放人甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3．

（1）写出一种甲盘中小球的编号是_________；

（2）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为8，13，则乙盘中小球的个数可以是_________．

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：．

18．解方程组：

19．已知：如图，点和．

求作：直线，使得与相切于点．

作法：（1）连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点；

（2）作直线，交于点；

（3）以点为圆心，以长为半径作，与相交，其中一个交点为点；

（4）作直线．

直线即为所求作．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：由作法可知，点为线段的中点．连接．

∵为的直径，

∴_________（_________）（填推理的依据）．

∴．

∵点在上，

∵是的切线（_________）（填推理的依据）．

20．先化简，再求值：，其中．

21．如图，在中，，点为中点，过点分别作的平行线，相交于点．

（1）求证：四边形为矩形；

（2）连接，若，求的长．

22．如图，函数的图象与直线交于点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点．

（1）求的值；

（2）点是图象上一点，过点作于点，若，求点的坐标．

23．如图，的直径与弦相交于点，且，点在的延长线上，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求半径的长．

24．2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部分数据（单位：）如下表．

注：表示10000平方米，即1公顷．

（1）请补全条形统计图：

（2）8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定；

（3）已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大，

a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；

b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较；

c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并比较．

25．某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下．

请你补全探究过程．

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标；

（2）画出函数图象

函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线；

（3）平移直线，观察函数图象

当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为_________；

（4）得出结论

若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米．

26．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．

（1）求出该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；

（2）当时，对于任意的正数，若点在该抛物线上，则_________（填“>”“<”或“=”）；

（3）已知点．若该抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围．

27．如图，在菱形ABCD中，，E是AB边上一点（不与A，B重合），点F与点A关于直线DE对称，连接DF．作射线CF，交直线DE于点P，设．

（1）用含的代数式表示；

（2）连接AP，AF．求证：是等边三角形；

（3）过点B作于点G，过点G作的平行线，交于点H．

补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明．

28．已知线段是的弦，点在直线上．对于弦和点，给出如下定义：若将弦绕点逆时针旋转得到线段，恰好也是的弦，则称弦关于点中心映射，点叫做映射中心，叫做映射角度．

（1）如图1，点是等边的中心，作交于点．在三点中，弦关于点_________中心胦射；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，的角平分线交轴于点．若与线段相交所得的弦关于点中心映射，直接写出的半径的取值范围；

（3）在平面直角坐标系中，的半径为2，线段是的弦．对于每一条弦，都有相应的点，使得弦关于点中心映射，且映射角度为．设点到点的距离为，直接写出的取值范围．