北京市首师大附中2020-2021学年高一上学期开学分班考试数学试题 Word版含解析

首师大附中2020-2021学年度第一学期入学分班考试试题

高一数学

一､选择题

1. 已知全集则 (     )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求M的补集，再与N求交集．

【详解】∵全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，

∴∁UM＝{3，4}．

∵N＝{2，3}，

∴（∁UM）∩N＝{3}．

故选B．

【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．

2. 已知，集合，，若有三个元素，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由有三个元素可判断，结合集合的互异性排除不合理数值，再求即可

【详解】因为集合，，若有三个元素，则且，解得.此时，故选C.

【点睛】本题考查根据集合的并集求解参数，进而求解两集合交集问题，解题易错点为忽略集合的互异性

3. 命题“对任意，”的否定是（  ）

A. 不存在， B. 存在，

C. 存在， D. 对任意的，

【答案】B

【解析】

命题“ ”是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即命题“ ”的否定是“存在”，故选B.

4. 若集合，，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

先求解出，然后根据集合与的关系判断出对应的是何种条件.

【详解】因为或，所以，

所以，所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，其中涉及到根据集合间的关系判断充分、必要条件，难度较易.若有集合，当时，则“”是“”的充分不必要条件；当时，则“”是“”的必要不充分条件.

5. 已知集合，，则满足的集合的个数为（    ）

A. 4 B. 8 C. 7 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】

先分别用列举法表示出，然后根据确定出中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的的个数.

【详解】因为的解为或，所以；

又因为，且，所以中一定含有元素，可能含有元素，

所以的个数即为集合的子集个数：，

故选：B.

【点睛】本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合中一定包含的元素和可能包含的元素，难度一般.

6. 不等式x2≥2x的解集是(　　)

A. {x|x≥2} B. {x|x≤2}

C. {x|0≤x≤2} D. {x|x≤0或x≥2}

【答案】D

【解析】

由x2≥2x解得：x(x－2)≥0，所以x≤0或x≥2.选D.

7. 设，，则与的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用作差法求解出的结果，将所求结果与作比较，然后可得的大小关系.

【详解】因为，

所以，

故选：A.

【点睛】本题考查利用作差法比较大小，难度较易.常见的比较大小的方法还有作商法，使用作商法时注意分析好式子的正负.

8. 已知实数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

采用“分段法”，结合不等式的性质确定正确选项.

【详解】，，，，

由于，在不等式上同时乘以得，

即，

因此，.

故选：C

【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.

9. “”是“一元二次不等式恒成立”的(   )

A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意求得一元二次不等式恒成立的充要条件，可得a＞0且△＜0，即可得答案．

【详解】由一元二次不等式恒成立，则且，

反之，时，如：不恒成立，

故选B.

【点睛】本题考查了一元二次不等式与二次项系数及△的关系，考查充分条件、必要条件的含义，属于基础题．

10. 已知,,且,则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

因为,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案.

【详解】

当且仅当,取等号,即,结合,

可得时,取得最小值．

故选:A.

【点睛】本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

11. 下列各组函数中表示同一函数的是（    ）

A. 和 B. 和

C. 和 D. 和

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的定义域和解析式是否相同判断.

【详解】A. 定义域为R，的定义域为，故错误；

B. 和定义域为，y=1定义域为R,故错误；

C. 和解析式不同，故错误；

D.，定义域为，，定义域为，故正确；

故选：D

【点睛】本题主要考查相等函数的判断，属于基础题.

12. 函数定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的函数解析式，结合偶次根式和分式的要求列出不等式组求得结果.

【详解】由题意得，即，

解得且，

所以函数的定义域为，

故选：B.

【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有求函数的定义域，在求解的过程中，关键在于列全限制条件，并准确求解不等式（组），属于简单题目.

13. 已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是　　

A. 有最大值，无最小值 B. 有最大值，最小值

C. 有最大值，无最小值 D. 有最大值2，最小值

【答案】A

【解析】

【分析】

将化为，判断在，的单调性，即可得到最值．

【详解】解：函数

即有在，递减，

则处取得最大值，且为，

由取不到，即最小值取不到．

故选：．

【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题．

14. 已知为一次函数，且则的值为（）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

设，代入得到或，计算得到答案.

【详解】设

则

或

综上：

故答案选B

【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用.

15. 定义在R上的偶函数，对任意的，都有，，则不等式的解集是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.

【详解】由于对任意的，都有，所以函数在上为减函数，由于函数是上的偶函数，故函数在上递增，且，由此画出函数大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集是.

故选D.

【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

16. 电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（    ）

A. 5A B. 2.5A C. 2A D. －5A

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知直接把代入，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出.

【详解】解：当时，.

故选：.

【点睛】本题考查三角函数的简单应用，属于基础题.

17. 函数的周期，振幅，初相分别是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数解析式求解出函数的周期和初相，振幅可以直接由解析式得到.

【详解】因为，所以，

当，初相为；由解析式可知振幅为，

故选：C.

【点睛】本题考查对函数中各个量的理解，难度容易.注意周期的计算公式：.

18. 已知为第二象限角，，则的值等于

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

∵α为第二象限角，sin α＝，所以cos α＝－，则sin＝×－×＝，故选A.

19. 要得到函数的图象,需要把函数的图象

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

【答案】C

【解析】

要得到函数的图象,需要把函数的图象向左平移个单位.

故选C

20. 函数其中，的图象的一部分如图所示，则（  ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用图象中的2和6，求得函数的周期，求得ω，最后根据x＝2时取最大值，求得，即可得解．

【详解】如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4＝16，

又∵ω＞0，

∴ω，

当x＝2时取最大值，即2sin（2）＝2，可得：2＝2kπ，k∈Z，

∴＝2kπ，k∈Z，

∵0＜＜π，

∴，

故选B．

【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．

二､解答题

21. （1）计算：；

（2）已知角的终边经过点，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据指数幂运算和对数运算公式，即可求出结果；

（2）根据角的终边经过点， ，即可求出，然后再根据诱导公式即可求出结果.

【详解】（1）原式．

（2）∵角的终边经过点，

∴，

∴

．

【点睛】本题主要考出了指数幂运算和对数运算公式，三角函数的诱导公式和终边上一点的三角函数值的运算，熟练掌握公式是解决本题的关键.

22. 已知函数．

求函数的单调减区间；

将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由可得结合正弦函数的单调性，求得的值域．

【详解】函数，

当时,解得：，

因此，函数单调减区间为．

将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，

再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，

，，

的值域为．

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间.

23. 已知定义在上的函数 .

(1) 当时,试判断在区间上的单调性,并给予证明.

(2) 当时,试求的最小值.

【答案】(1) 在区间上单调递增，证明见解析； (2)4.

【解析】

【分析】

（1）用定义法严格证明即可

（2）用换元法设，，由（1）可得，再根据对勾函数增减性求出的最小值即可

【详解】(1) 用定义法证明如下:

   设 , 

则 

，

,，

, ，

, 即，

在区间上单调递增；

(2)设,则，

由(1)知, 当时在区间上单调递增

  ，

在区间上单调递减,在区间上单调递增 ，

当, 即,解得时,.

【点睛】本题考查函数增减性的证明，复合函数值域的求法，换元法的应用，换元法的核心在于新元的取值范围必须明确，复合函数的增减性遵循同增异减