2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年北京市朝阳区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合的交运算即可求解.

【详解】由，，

则.

故选：B

2．命题“”的否定是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，的否定是，即可得到答案.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，的否定是，

所以命题“”的否定是

故选：D

【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.

3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.

【详解】对A，根据正弦函数的性质可得是奇函数，在单调递增，故A正确；

对B，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误；

对C，在单调递递减，故C错误；

对D，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误.

故选：A.

4．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断函数在上的范围，排除A；再判断在区间上的单调性，根据函数零点存在性定理，即可判定出结果.

【详解】因为是定义在上的连续函数，

当时，，所以，即零点不可能在内；

任取，则

，

因为，所以，，即，即，

所以在上单调递增；

又，，，，

根据零点存在性定理，可得在内有零点，

故选：C.

5．已知函数.若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断函数为偶函数，根据题意可得与是一对互为相反数，由奇偶性定义即可求解.

【详解】由，则，

所以函数为偶函数，又，则，

所以

.

故选：D

6．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性进行判断即可.

【详解】，

由是单调递减函数，

，所以

是单调递减函数，

，

所以

故选：A

7．已知函数可表示为（    ）

则下列结论正确的是（    ）

A． B．的值域是

C．的值域是 D．在区间上单调递增

【答案】B

【分析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.

【详解】A. ，所以该选项错误；

B. 由表得的值域是，所以该选项正确；

C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误；

D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.

故选：B

【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.

8．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级（单位：dB）与声强度（单位：）之间的关系为，其中基准值.若声强级为60dB时的声强度为，声强级为90dB时的声强度为，则的值为（    ）

A．10 B．30 C．100 D．1000

【答案】D

【分析】根据题意，把转化为对数运算即可计算．

【详解】由题意可得：

故选：D

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：

(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；

(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.

9．已知，均为第一象限角，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用充分性和必要性分别讨论即可.

【详解】由均为第一象限的角，

满足，但，

因此不充分；

由，

得均为第一象限的角，

得到，

因此不必要；

故选：D.

10．设函数，若存在实数，满足当时，，则正整数的最小值为（    ）

A．505 B．506 C．507 D．508

【答案】C

【分析】根据正弦函数的性质，确定的最值，根据题中条件，得到尽可能多的取得最大值，即可求解.

【详解】因为，即，，所以，当与一个等于，另一个为时，取得最大值；

为使满足的正整数最小，只需尽可能多的取得最大值，

而，

所以至少需个，才能使，

此时，即.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定的最大值，得到中有项取得最大值时，即可求解.

二、填空题

11．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解.

【详解】由，

则，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

12．已知，，且，则的最大值为______.

【答案】

【分析】利用基本不等式直接求解即可.

【详解】解：因为，

所以，即，当且仅当取等号，

所以的最大值为，

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

13．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则______.

【答案】

【分析】根据正切函数的定义即可求出.

【详解】终边经过点，

.
故答案为：.

14．若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______.

【答案】（答案不唯一，满足即可）

【分析】令，将代入可求出.

【详解】令，，解得，

关于对称，

是的对称轴，

，解得，

令得.

故答案为：（答案不唯一，满足即可）.

15．设，给出下列四个结论：

①；

②；

③；

④.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①③④

【分析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可.

【详解】由知，，，故，得，故①正确；

取，满足，但，不满足，故②错误；

由指数函数单调递增可知，，则，故③正确；

由知，，，根据不等式性质可知，，故，故④正确.

故答案为：①③④.

三、双空题

16．已知函数.

①当时，的值域为______；

②若对于任意，，，的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数的取值范围是______.

【答案】；    .   

【分析】①当时，先利用分离常数法整理函数， 再利用逐步计算，即得值域；

②先分析知+恒成立，再利用定义法讨论函数单调性，并结合单调性求得值域，根据恒成立关系列关于参数的不等关系，解得参数范围即可.

【详解】①当时，函数，定义域为R，

由知，，则，即，故，

的值域为；

②依题意，作为某一个三角形的三边长，+恒成立，

函数，定义域为R，

任取，则，

由可知，即，故，

当，即时，，即，在R上单调递减，又，则，，即的值域为，

故，则，又，要使+恒成立，则需，故的取值范围是；

当，即时，，+，，显然+恒成立，故符合题意；

当，即时，，即，在R上单调递增，又，则，，即的值域为，故，，

要使+恒成立，则，即，故的取值范围是；

综上所述：的取值范围是.

故答案为：； .

【点睛】关键点点睛：

本题解题关键在于讨论函数的单调性来确定值域，才能将+恒成立的问题转化到取值范围上，以突破难点.

四、解答题

17．已知全集，集合，.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设非空集合，若，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果；

（Ⅱ）由（Ⅰ），根据集合非空，且，列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】（Ⅰ）因为，，

所以或，则；

（Ⅱ）因为非空集合，且，

所以或，

解得或，

即实数的取值范围是.

18．已知函数只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为；③；④.

（Ⅰ）请指出同时满足的三个条件，并说明理由；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）求的单调递增区间.

【答案】（Ⅰ）①②④，见解析；（Ⅱ）；

（Ⅲ）

【分析】（Ⅰ）代入③计算，可判断不成立，故满足的三个条件为①②④；（Ⅱ）由①②④，分别计算的值，可得函数解析式；（Ⅲ）利用整体法列不等式计算单调递增区间.

【详解】（Ⅰ）因为，，，所以，故③不成立；所以满足的三个条件为：①②④；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，最小正周期为，最大值为，可得，，所以，又因为，，则，即，得，所以.

（Ⅲ）由，得，

所以的单调递增区间为.

【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

19．已知函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；

（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为，最大值为1；（Ⅲ）

【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得，代入可求；

（Ⅱ）由可得，在利用正弦函数的性质即可求解；

（Ⅲ）求出平移后的解析式，可得，即可解出，得出最小值.

【详解】（Ⅰ）

，

；

（Ⅱ）当时，，

则当，取得最小值为，

当，取得最大值为1；

（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，可得，

则和的图象重合，

，解得，

，则当时，取得最小值为.

【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得.

20．设函数，且.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；

（Ⅲ）若关于的方程恰有三个实数解，写出实数的取值范围（不必证明）.

【答案】（1）；（2）在区间上为增函数，证明见详解；（2）

【分析】（1）将直接代入即可求解.

（2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明.

（3）根据的单调性，即可得出结果.

【详解】（1）由，，

即，解得.

（2）在区间上为增函数，

由（1）可知，

任取，且，

则

，

由，，，

所以，即，

所以函数为增函数.

（3）由，可知.

21．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设函数.

（i）证明函数的图象关于点对称；

（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）4（Ⅱ）（i）证明见详解；（ii）

【分析】（Ⅰ）计算，令，即求.

（Ⅱ）（i）计算，由新定义即可证明；

（ii）求出的值域，设在上的值域为，存在与恒成立思想可得是的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出，结合集合的包含关系即可求出范围.

【详解】（Ⅰ）由题意，若函数的图象关于点对称，

则，

令，可得.

（Ⅱ）（i）由，

，

所以函数的图象关于点对称.

（ii），函数在上单调递增，

所以，

不妨设在上的值域为，

对任意，总存在，使得成立，

则，

当时，，且，

当时，即，函数在上单调递增，

由对称性可知，在上单调递增，

在上单调递增，由，，

所以，

，

由，可得，解得，

当时，即，

函数在上单调递减，在上单调递增，

由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

结合对称性可得或，

，，

又，，

，

又，，

当，成立；

当，即时，在上单调递减，

所以在上单调递减，

由，，所以，

，

由，可得，解得，

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，考查了二次函数的最值以及函数对称性，解题的关键是将问题转化为两函数值域的包含关系，考查了任意性、存在性问题，同时考查了分类讨论的思想以及转化与化归的思想.