北京市昌平区新学道临川学校2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

北京临川育人学校2020~2021学年度上学期第一次月考

高一数学试卷

第I卷 选择题

一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的）

1. 已知集合，那么下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

求解A中的方程，得到集合A={0,1}，进而作出判定.

【详解】，，故选A．
 

【点睛】本题考查元素与集合的关系，是容易题.

2. 设集合U={1,2,3,4,5}，A={2,4}，B={1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A. {4} B. {2,4} C. {4,5} D. {1,3,4}

【答案】A

【解析】

【分析】

由图可知阴影部分所表示的集合为，计算出结果即可.

【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，

，

故答案为：A.

【点睛】本题考查根据Venn图得出集合关系，考查集合的运算，属于基础题.

3. 下列函数中，与函数y=x相同的是（    ）

A. y = B. y=（） C. y= D. y=

【答案】B

【解析】

【分析】

考虑各选项中函数的定义域和对应法则后可得正确的选项.

【详解】对于A，函数的定义域为，故与不是同一函数；

对于D，函数的定义域为，故与不是同一函数；

对于C，函数可化为，与对应法则不一致，故不是同一函数；

对于B，函数可化为即为题设中的函数，

故选：B.

【点睛】本题考查函数相等的判断，一般根据定义域、对应法则来判断，本题属于容易题.

4. 函数的图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

去掉绝对值符号得出分段函数，即可得出函数图象.

【详解】，C选项图象满足.

故选：C.

【点睛】本题考查函数图象的识别，属于基础题.

5. 设，则函数值域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数解析式可直接得出值域.

【详解】，

的值域为.

故选：A.

【点睛】本题考查函数值域的求解，属于基础题.

6. 设集合，，则=（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出集合，再求出交集即可.

【详解】，

.

故选：C.

【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.

7. 下列函数中，在区间上是增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

选项的函数是减函数，选项的函数是增函数.

【详解】对于选项，函数在上是减函数；

对于选项，函数在上是增函数；

对于选项，函数在上是减函数；

对于选项，函数在上是减函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8. 下列图形是函数图象的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的定义以及函数与图象之间的关系进行判断即可．

【详解】A当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数

B．满足函数的定义，则图象是函数图象

C．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数

D．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数

故满足条件的图象是B，

故选B．

【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键．比较基础．

9. 已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为（    ）

A. [-1,9] B. [-3,7] C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据的定义域求出的定义域，再求出的定义域即可.

【详解】函数的定义域为[-2，3]，

在中，，则，

的定义域为，

则在中，，解得，

故的定义域为.

故选：D.

【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.

10. 若函数f(x)＝，那么f (－3)的值为（    ）

A. －2 B. 2 C. 0 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式直接求解即可.

【详解】.

故选：B.

【点睛】本题考查求分段函数的函数值，属于基础题.

11. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝（    ）

A. －3 B. －1 C. 1 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】

因为f(x)是定义在R上的奇函数，则由即可求出.

【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数值，属于基础题.

12. 若函数，在R上为增函数，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据在R上为增函数可得在单调递增，在单调递增，且在处的函数值小于等于在处的函数值，解出不等式即可.

【详解】在R上为增函数，

在单调递增，在单调递增，且在处的函数值小于等于在处的函数值，

即，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查已知分段函数的单调性求参数范围，属于中档题.

第II卷 非选择题

二、填空题（每题5分，共4小题，共20分, 将答案填在题后的横线上）

13. 已知集合则=________

【答案】

【解析】

【分析】

先求出集合A，B，再求出B的补集，即可求出交集.

【详解】，

，

，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查集合的交集补集混合运算，属于基础题.

14. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

则f[g(1)]的值为___________；     当g[f(x)]＝2时，x＝____________.

【答案】    (1). 1    (2). 1

【解析】

【分析】

根据表格的自变量和函数值找到对应的值即可.

【详解】（1），；

（2），，.

故答案为：1；1.

【点睛】本题考查函数的表示法，考查函数的对应关系，属于基础题.

15. 若函数的定义域为，则实数取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

恒成立，由即可得的范围．

【详解】由题意时，恒成立，∴，．

故答案为：．

【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题．

16. 设函数，给出下列命题：

①当时，有成立；

②当时，方程只有一个实根；

③的图像关于点对称；

④方程至多有两个实数根.

其中正确的所有命题序号是______.

【答案】①②③

【解析】

【分析】

①利用函数奇偶性的定义可判断；②当时，得在上为单调增函数，方程只有一个实根；③利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数图象关于点对称；④通过举例可判断出正误

【详解】①当时，函数，

函数

，函数是奇函数，①正确；

②时，，

可得函数在上是增函数，且值域为，方程只有一个实根，②正确；

③由①知函数为奇函数，图象关于原点对称，

的图象是由它的图象向上或向下平移个单位而得，

所以函数的图象关于对称，③正确；

④当时，方程有0，1，三个根，所以④不正确.

故答案为：①②③

【点睛】本题主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质以及函数与方程的关系，考查了函数与方程，转化与化归的思想，考查学生的逻辑推理和运算求解能力.

三、解答题（本大题共6题，共70分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 设A={x|}, ．

（1）求a的值，并写出集合A的所有子集；

（2）已知B={2,-5},设全集AB，求．

【答案】（1） ，{2}，{}，{2,}；（2）{-5}

【解析】

【分析】

（1）由2∈A，得2是方程2x2+ax+2＝0的根，求出a的值，进而求出集合A，从而知A的子集；

（2）根据并集和补集的定义得出结果即可．

【详解】（1）∵2∈A∴2是方程2x2+ax+2＝0的根，即8+2a+2＝0∴a＝﹣5，

∴2x2﹣5x+2＝0，解得，A＝{2，}，

A的子集为 ，{2}，{}，{2，}

（2）因为U＝A∪B＝{2，，﹣5}，所以（∁UA）U（∁UB）＝{，﹣5}

【点睛】本题考查了集合之间的交、并、补集的运算，也考查了子集的求法，属于基础题．

18. 设全集为R，，.

（1）求和；

（2）若集合，且，求实数取值范围.

【答案】（1），；（2）或

【解析】

【分析】

（1）根据全集，补集，交集，并集的定义，进行集合的运算即可；

（2）先求出，再根据子集的概念，分，两种情况，列出不等式组求解的取值范围即可.

【详解】（1）由题知，，，

，；

（2），

若，则，解得：，符合，

若，又，则有，解得：，

综上：实数的取值范围为或.

【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，利用子集的概念求参数的取值范围，考查了借助数轴求解集合运算的方法，考查了数形结合的思想.

19. 已知函数f（x）=，

（Ⅰ）画出f（x）的图象；

（Ⅱ）写出f（x）的值域及单调递增区间．

【答案】（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）值域为，单调递增区间为，.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据分段函数的函数解析式画出即可；

（Ⅱ）观察图象即可求出值域和单调递增区间.

【详解】（Ⅰ）函数f（x）的图象如下，

（Ⅱ）根据函数f（x）的图象可知，

f（x）的值域为，单调递增区间为，.

【点睛】本题考查分段函数图象的画法，考查根据图象求函数值域和单调区间，属于基础题.

20. 已知函数．

（Ⅰ）讨论的奇偶性；

（Ⅱ）判断在上的单调性并用定义证明．

【答案】（Ⅰ）当时,为奇函数;当时,不具备奇偶性；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)先求出函数定义域关于原点对称,若,则,无解,故不是偶函数;若,则,显然时,为奇函数,由此得出结论.
(Ⅱ)判断函数在上单调递增,设,证明,从而得出结论.

【详解】(Ⅰ)由题意可得,解得,故函数的定义域为关于原点对称.
由,可得,
若,则,无解,故不是偶函数.
若,则,显然时,为奇函数.
综上,当时,为奇函数;当时,不具备奇偶性；
(Ⅱ)函数在上单调递增;
证明:设,

则,
由,可得,,
从而,故,
在上单调递增.

【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断、证明,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

21. 已知二次函数满足条件和，

（1）求；       

（2）求在区间（）上的最小值

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)由二次函数可设,再利用进行化简分析即可.

(2)由(1)可知,对称轴为，通过讨论的范围，根据函数的单调性，求出函数的最小值.

【详解】(1)由二次函数可设，

因为,故，

即,即，

故,即，

故；

（2）函数对称轴为，

则当，即时，在单调递减，；

当，即时，；

当时，在单调递增，，

.

【点睛】本题主要考查二次函数的解析式求解以及二次函数最值的问题等,属于中等题型.

22. 已知函数f( x)=ax2+bx+1,(a,b为实数)， ，

（1）若f(-1)=0， 且函数f(x)的最小值为0，求的表达式；

（2）在（1）的条件下, 当时, 是单调函数，求实数k的取值范围；

（3）设，且f(x)为偶函数，判断＋能否大于零？

【答案】（1）；（2）或；（3）＋能大于零.

【解析】

【分析】

（1）由代入可得，再由的最小值为0得，由此可解得；

（2）由，由于在上单调，只需要对称轴在区间外即可．

（3）因为是偶函数，所以  则＋ ，代入表达式可解．

【详解】（1） ∵,∴ ① ，

又函数的最小值为0, 所以，

且由知即② ，

由①②得，

∴.

；

（2） 由（1）有,

当或时,

即或时,  是具有单调性.

（3） ∵是偶函数，

∴  ∴,                

∵由于和的对称性，不妨设则.又

∴                                         

∴＋ ,

∴＋能大于零.

【点睛】本题考查二次函数的值域问题，单调性问题及一些延展问题，需要对二次函数的性质及图像非常了解．