专题05 空间几何体的表面积和体积- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版）

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《专题5 空间几何体的表面积和体积- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）》1．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由公式，可知：该圆台的体积为．故选：C2．（2022·山东临沂·一模）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，底面周长，所以，所以圆锥的体积为.故选：B3．（2021·山东泰安·一模）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三棱柱所有棱的长，可知底面为正三角形，底面三角形的外接圆直径，所以，设外接球的半径为，则有，所以该球的表面积，故选：D.4．（2022·山东潍坊·模拟预测）2020年1月11日，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的射电望远镜(简称FAST)．FAST的反射面的形状为球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高．某科技馆制作了一个FAST模型，其口径为5米，反射面总面积为平方米，若模型的厚度忽略不计，则该球冠模型的高为（       ）(注：球冠表面积，其中R是球的半径，是球冠的高)A．米 B．米C． D．【答案】B【解析】如图所示为球的轴截面图像，ACD部分为该球冠的轴截面，是弦，是球的半径，点为的中点，则于点，由题意可得，，，，所以，，在中，由勾股定理可得①，又由球冠的表面积可得，②，由①②可得，，所以该球冠模型的高为米．故选：B．5．（2022·山东·沂水县第一中学模拟预测）阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的表面积为，球的表面积为．所以，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为．故选：C．6．（2022山东泰安·模拟预测）如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具．它是随着粮食生产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来．若将某个米斗近似看作一个四棱台，上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该米斗的容积约为（       ）附：A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，设上、下底面的中心分别为，，过作，垂足为，由题意易知，，故，故，故该四棱台的体积．故选：C．7．（2022·山东日照·模拟预测）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球体积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设的中点为，因为是等边三角形，所以，而平面平面，平面平面，所以平面，四棱锥的体积是，，所以边长，，设，，，，，.故选：A.8．（2022·山东·昌乐二中模拟预测）在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，取的中点为，连接，则.设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，则在上，在上，且,且平面，平面.平面平面，平面平面，平面平面，，同理四边形为平行四边形平面，平面，即四边形为矩形. 外接球半径 外接球的表面积为 故选：A.9．（2022·山东·模拟预测）如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，其所有顶点都在球的球面上，若十四面体的棱长为1，则球的表面积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据图形可知，该十四面体是由一个正方体切去八个角得到的，如图所示，十四面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，建立空间直角坐标系，∵该十四面体的棱长为1，故正方体的棱长为，∴该正方体的外接球球心的坐标为，设十四面体上一点为，则，所以十四面体的外接球半径，故外接球的表面积为.故选：B.10．（2022·山东烟台·模拟预测）《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接球的体积,故选:B11．（2022·山东·烟台二中三模）陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一．传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中，就发掘了石制的陀螺．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知该陀螺由密度为的木质材料做成，其总质量为，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可得该陀螺的总体积为，设底面半径为，则可得，解得.故选：A.12．（2022·山东日照·二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱，底面边长，底面内切圆半径，,则是等边三角形，，侧面中，，，即.故选：A13．（多选）（2022·山东济南·二模）已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，，为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是A．圆锥的高为1 B．三角形为等边三角形C．三角形面积的最大值为 D．直线与圆锥底面所成角的大小为【答案】AD【解析】由题意圆锥的高为，A正确；中是母线长，是底面圆的一条弦，与不一定相等，B错；当是轴截面时，，，则，当在底面圆上运动时，，当且仅当时取等号．即面积最大值为2．C错；设底面圆圆心为，则为与底面所成的角，易知，D正确．故选：AD．14．（多选）（2022·山东青岛·一模）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（       ）A．圆台母线与底面所成角为60° B．圆台的侧面积为C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5【答案】ACD【解析】对于A：过A作交底面于F，则底面，所以即为母线与底面所成角.在等腰梯形ABCD中，,所以.因为为锐角，所以.故A正确；对于B：由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，其面积为.故B错误；对于C：设圆台外接球的球心为O，半径R.由题意可得：.设，则，由，即，解得：a=0.即OO1重合，所以.故C正确；对于D：如图示，在在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE.由题意可得：.由为中点，所以，所以.故D正确.故选：ACD15．（2022·山东青岛·一模）在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（       ）A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米【答案】ACD【解析】对A选项，设顶角为，则，得，所以顶角为，A正确；对B选项，因为顶角为，则截面三角形的最大面积为平方厘米，B错误；对C选项，因为顶角为，则，所以外接球半径等于圆锥母线长，即则该球的表面积为平方厘米，C正确；对D选项，设球的最大半径为，因为顶角为，则，所以，D正确．故选：ACD16．（2022·山东·模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（       ）A．该截角四面体的表面积为B．该截角四面体的体积为C．该截角四面体的外接球表面积为D．该截角四面体中，二面角的余弦值为【答案】ABC【解析】如图所示：由正四面体中，题中截角四面体由4个边长为的正三角形，4个边长为的正六边形构成，故，A正确；∵棱长为的正四面体的高，∴，B正确；设外接球的球心为O，的中心为，的中心为，∵截角四面体上下底面距离为，∴，∴，∴，∴，∴，∴，C正确；易知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为负值，D错误，故选：ABC.17．（2022·山东·模拟预测）若一个圆柱的轴截面是面积为的正方形，则它的表面积是_________．【答案】【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱的母线长为，由题意可得，解得，因此，该圆柱的表面积为.故答案为：.18．（2021·山东潍坊·二模）如图，在棱长为的正方体中，点､､分别是棱､､的中点，则由点､､确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于___________.【答案】【解析】分别取中点，中点，中点，可得出过，，三点的平面截正方体所得截而为正六边形，则正六边形的边长，故截面多边形的面积等于.故答案为：.19．（2022·山东济宁·一模）在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【解析】当三棱锥的体积最大时平面平面，如图，取的中点为，连接，则，设分别为外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，则在上，在上，且，且，平面，平面，因为平面平面，平面平面，平面，故平面，故，同理，，故四边形为平行四边形，因为平面，平面，故，故四边形矩形，故，而，故外接球半径，故外接球的表面积为，故答案为：.20．（2020·山东·模拟预测）足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有______.个正六边形的面，若正六边形的边长为，则足球的直径为______.cm(结果保留整数)(参考数据 【答案】     20     22【解析】因为足球是由正五边形与正六边形构成，所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.设正五边形为块，正六边形为块，有题知：，解得.所以足球有个正六边形的面.每个正六边形的面积为.每个正五边形的面积为.球的表面积.所以，.所以足球的直径为.故答案为：，.