专题04 数列求和及综合应用 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版）

这是一份专题04 数列求和及综合应用 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版），共14页。试卷主要包含了【分组求和】已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
《专题4 数列求和及综合应用 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）》1．【分组求和】（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)对任意的，令，求数列的前n项和．【解析】 (1)当时，得，解得；当时，可得，由，得，，当时，也符合，所以数列的通项公式为．(2)由（1）知.当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上所述，．2．【分组求和】（2022·山东烟台·一模）己知等差数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．【解析】 (1)设的公差为d，由已知，．解得，d＝2．所以；(2)因为与之间插入个1，所以在中对应的项数为，当k＝6时，，当k＝7时，，所以，，且．因此.3．【裂项求和】（2022·山东·临沂第十九中学模拟预测）已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设 ，求数列的前项和．【解析】 (1)公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，所以，即，解得，则；(2)由（1）可知，，可得数列的前项和.4．【裂项求和】（2022·山东·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列满足，．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【解析】 (1)各项均为正数的等差数列满足，，整理得，由于，所以，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．所以．(2)由（1）可得，所以．5．【裂项求和】（2022·山东济南·一模）已知是数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】 (1)当时，由，得，则.当时，有，符合上式.综上，.(2)由（1）得，，则.6．【错位相减求和】（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在数列中，已知，，数列的前n项和为，且．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和．【解析】 (1)∵①，∴当时，，得．当时，②，①－②得，，∴，∵时也满足，∴，∴，当n=1时也成立∵③，当时，，即；当时，④，③－④得，，则，∴是首项为2，公比为2的等比数列，故；(2)∵，∴⑤，⑥，⑤－⑥得，，∴．7．【错位相减求和】（2022·山东·济南一中模拟预测）已知数列的前n项和为，，且(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【解析】 (1)由得：，作差得即，即，又，由，得，所以所以数列为以为公比和首项的等比数列，所以， 所以故数列的通项公式为．(2)由（1）知，所以．，作差得．所以．8．【错位相减求和】（2022·山东潍坊·一模）已知等比数列的前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【解析】 (1)设数列的公比为q，由，，得，解得，所以；(2)由（1）可得，所以，，，所以，所以.9．【数列结构不良问题】（2022·山东淄博·二模）在①，②、、成等比数列，③.这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题.问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足___________.(1)求；(2)若，且，求数列的前项和.【解析】 (1)①：因为、、成等比数列，则，即，因为，可得.②：，可得.③：，可得，可得.若选①②，则有，可得，则；若选①③，则，则；若选②③，则，可得，所以，.(2)解：，且，则，所以，当时，则有，也满足，故对任意的，，则，所以，.10．【数列结构不良问题】（2022·山东·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.若______，求的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）因为，所以当时，，解得；当时，，又，所以两式相减得，可得，因为，所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以；（2）若选条件①：则；若选条件②：，则，上式两边同时乘3可得 两式相减得，可得；若选条件③：由可得，所以，故.11．【数列结构不良问题】（2022·山东泰安·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答问题：设数列的前项和为，且___________，，的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】①，，两式相减得，当时，，所以，，所以数列是一个等差数列，所以，所以，所以.②,所以，因为，所以，所以，所以.③，设所以，所以，，所以，又满足上式，所以，所以，所以.12．【数列结构不良问题】（2022·山东济南·模拟预测）已知数列{an}的首项a1＝4，{an+1﹣2an}是以4为首项，以2为公比的等比数列，（1）证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式；（2）在①bn＝an+1﹣an；②bn＝log2；③bn＝这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答．已知数列{bn}满足_____，求{bn}的前n项和Tn．【解析】证明：（1）因为{an+1﹣2an}是以4为首项，以2为公比的等比数列，所以，故，所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．（2）若选条件①bn＝an+1﹣an时，则，所以，2，上下两式相减得：，所以，所以.若选条件②时，，所以，，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.若选条件③时，，故．13．【数列结构不良问题】（2022·山东·模拟预测）已知首项为，公比为的等比数列前项和为，若           ，是否存在互不相等的正整数，使得，，，成等差数列？若存在，求；若不存在，请说明理由.从（1）（2）这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】若选择（1）：由，得，所以，解得.假设存在正整数，且，使得，，成等差数列，则，即，整理得，所以（*），因为是正整数，且，所以，为偶数，而为奇数，所以（*）式不可能成立，故不存在正整数，使得，，成等差数列.若选择（2）：由可知，所以，解得因为，所以假设存在正整数，且，使得，，成等差数列，则，即，整理得，易知任意个不同的正奇数或任意个不同的正偶数都满足，例如或，所以存在正整数使得，，成等差数列，当为正奇数时；当为正偶数时，.14．【数列遇与不等式问题】（2022·山东潍坊·三模）已知正项等比数列，其中，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令． 第一列第二列第三列第一行第二行第三行（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．【解析】（1）由题意得：，，，等比数列的公比，．又，.（2）由（1）知：，，，，，.15．【数列遇与不等式问题】（2022·湖北·二模）已知正项等差数列满足：，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．【解析】 (1)设等差数列的公差为，由得，则，所以．因为、、成等比数列，所以，即，所以，解得或，因为为正项数列，所以，所以，所以．(2)由（1）可得，所以，因为对任意均有，所以，所以实数的最小值为16．【数列遇与不等式问题】（2022·湖北·黄冈中学二模）已知数列中，.（1）求证：数列是常数数列；（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.【解析】（1）由得：，即，即有数列是常数数列；（2）由（1）知：即，当为偶数时，，显然无解；当为奇数时，，令，解得：，结合为奇数得：的最小值为所以的最小值为