专题12 圆锥曲线中的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版）

这是一份专题12 圆锥曲线中的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版），共16页。试卷主要包含了【定点问题】已知椭圆等内容，欢迎下载使用。
《专题12 圆锥曲线中的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）》1．【椭圆与圆】（2022·四川攀枝花·三模）已知椭圆的长轴长等于4，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过P作直线，与圆相切且分别交椭圆C于M、N两点．当直线MN过圆E的圆心时，求此时的直线MN的斜率及圆E的半径．【解析】 (1)依题意，解得，所以椭圆方程为；(2)设直线方程为：，代入椭圆方程得，设，，则，，由题知两直线，的斜率存在，设为，，则，即，又、，所以，整理得，即，解得，此时直线的斜率为，由于直线，与圆相切，则有，直线的方程为，联立方程组消去，得，所以，同理可得 ，所以，即，又则，所以，解得或（舍去），所以直线的方程为，即，则圆的半径2．【形状判定】（2022·甘肃兰州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M、N两点，．(1)求抛物线E的方程；(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．【解析】(1)设过点F且倾斜角为的直线方程为，代入得，若，则所以，则即抛物线E的方程为(2)设，则在A作抛物线E的切线为，即代入，整理得因为此直线与抛物线相切，所以，即所以过的切线为令得，即，所以又，所以四边形有一组对边平行且相等，且邻边也相等所以四边形为菱形.3．【求直线方程】（2022·四川泸州·三模）已知椭圆的离心率为，过C的右焦点且垂直于x轴的直线被C截得的线段长为3．(1)求C的方程；(2)过点的直线l交C于A，B两点，点B关于y轴的对称点为D，直线AD交y轴于点E，若△的面积为3，求l的方程．【解析】 (1)设椭圆的右焦点为，对，令，解得，由题可知：，即；由离心率为可得：，结合，解得；故C的方程为：.(2)由题可知，直线的斜率存在，又其过点，设其方程为：，联立方程：可得：，设坐标为，则，，又直线方程为：，令，故可得，则，又；故，整理得：，即，解得，即，故的方程为：，即或.4．【椭圆与圆】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）已知椭圆的左顶点为，圆与椭圆交于两点、，点为圆与轴的一个交点，且点在椭圆内，如图所示. (1)若直线与的斜率之积，求椭圆的离心率；(2)若，直线与直线交于点，求椭圆和圆的方程.【解析】 (1)设点，则，因为点、在椭圆上，所以，所以，，由，又，得，所以，，则，所以椭圆的离心率.(2)解：因为，由（1）知，设直线，则直线，因为直线与直线的交点为点，则，，因为点为圆与轴的一个交点，则，，所以，可得，①联立可得，因为直线与椭圆相交于和，所以，即，所以，所以.因为在圆上，所以，由①式知，所以②，将①式代入②式得：，，所求椭圆方程为，圆的方程为.5．【最值问题】（2022·广东广州·二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4；(1)求C的方程；(2)过点作两条相互垂直的直线上和，直线与C相交于两个不同点A，B，在线段上取点Q，满足，直线交y轴于点R，求面积的最小值．【解析】 (1)由题可得，∴，∴椭圆C的方程为；(2)由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，由，可得，由，可得，或，∴，由及四点共线，知，∴，则，∵和相互垂直，则的方程为，令，得，∴，，∴面积为，当且仅当，即等号成立，所以面积的最小值为1.6．【最值问题】（2022·江西宜春·模拟预测）已知点T是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交线段于点S，记点S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过作曲线C的两条弦，，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值.【解析】 (1)圆的圆心，半径，依题意，，，即点S的轨迹是以B，A为左右焦点，长轴长为的椭圆，短半轴长，所以曲线C的方程为.(2)由知，，直线不垂直坐标轴，否则点P，Q之一与点B重合，不能构成三角形，即直线DE的斜率存在且不为0，设直线DE方程为：，由消去y并整理得：，设，DE中点，则有，，，因此，，直线MN的斜率为，同理可得，面积，令，当且仅当时取“=”，则，函数在上单调递增，即当时，，所以当，即时，，所以面积的最大值是.7．【范围问题】（2022·安徽宣城·二模）已知椭圆的左顶点是A，右焦点是，过点F且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，B为线段AP的中点，O为坐标原点，直线AP与BO的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l为圆的切线，且l与C相交于S，T两点，求的取值范围.【解析】 (1)设椭圆C的右顶点是A'，连接PA'，因为B，O分别是PA，AA'的中点，所以，因为直线AP与BO的斜率之积为，所以.设，则，因为，，所以，所以，解得，所以椭圆C的方程为.(2)设，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立整理得，则，则，，则.又直线l为圆的切线，则，即，则，又因为于是；当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为，则，，综上，8．【范围问题】（2022·全国·江西师大附中模拟预测）已知抛物线C：（p＞0），抛物线C的焦点为F，点P在抛物线上，且的最小值为1．(1)求p；(2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为，，且满足，求｜AB｜的取值范围．【解析】 (1)因为，则，所以；(2)由（1）得，设，则则，由得，所以，设直线方程为联立方程组得，所以则故过焦点所以．9．【定点问题】（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知椭圆的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N.证明：直线MN经过定点.【解析】 (1)由题意知，，设椭圆的焦距为，则，解得，所以，，所以，椭圆C的标准方程(2)设直线的方程为：.由，得，设，则，.所以，，，因为直线的方程为：，令，得，所以，，同理可得，以为直径的圆的方程为：，即，因为圆过点，所以，，得，代入得，化简得，，解得或(舍去)所以直线经过定点10．【定点问题】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））已知椭圆：的左焦点为，且离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点，直线（不经过点）与椭圆相交于，两点，与交于点，设直线，，的斜率分别为，，，且．证明：直线过定点，并求出该点的坐标．【解析】 (1)由题设，，又，，可得，，则椭圆的方程为.(2)由题意，设直线为，，，则，所以，，．联立直线与椭圆有，整理得，由得：，，．而，又，则，整理得，当时，，过定点，此时才满足题设，不符合；当时，，过定点，符合．故直线过定点．11．【定值问题】（2022·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，记动点P到直线l：的距离为d，且，设点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)直线m交曲线E于A，B两点，曲线E在点A及点B处的切线相交于点C．设点C到直线l的距离为h，若△ABC的面积为4，求证：存在定点T，使得恒为定值．【解析】 (1)由题意可知到定点的距离与到直线的距离相等的轨迹是抛物线且，曲线的方程为(2)设直线的方程为，切线的方程为①方程为②联立①②得，即设的中点为轴，存在定点使得12．【定值问题】（2022·新疆·三模）已知椭圆的离心率为，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．(1)求椭圆C的方程；(2)设不过点的直线l与C相交于A，B两点，直线TA，TB分别与x轴交于M，N两点，且．求证直线l的斜率是定值，并求出该定值．【解析】 (1)解：由且，得，又因为，所以，解得，，故椭圆C的方程为；(2)解：当直线l的斜率不存在时，设直线，设l与C相交于，两点，直线，直线分别与x轴相交于两点，，因为，所以，即，与已知矛盾，故直线l斜率存在，设直线，代入整理得：，设，，则，且，，因为，所以，即，所以，即．所以，整理得：，所以或，当时，直线过点，不合题意，故舍去．所以，即，即直线l的斜率是定值．13．【证明问题】（2022·吉林长春·三模）已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为，．(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于、(不与A、B重合)两点，直线与直线交于点，求证：、、三点共线．【解析】 (1)由长轴的两个端点分别为，，可得，由离心率为，可得，∴，又，解得，∴椭圆的标准方程为；(2)由题可知若l斜率存在，且斜率不为零，故设的方程为，设，，，，由得，，则，，所以∴，直线的方程为，∴，∴，，∴，即，∴、、三点共线．14．【证明问题】（2022·安徽滁州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，M为E上一点，与x轴垂直，且．(1)求抛物线E的标准方程；(2)过F点的直线交抛物线E于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别是，求证：．【解析】 (1)由题意，，由：，解得，，所以，抛物线的标准方程：(2)设，设直线的方程为：， 联立：，整理得：，满足：，得： ， 得：，于是：，综上，.15．【探索问题】（2022·广东梅州·二模）已知动点到点和直线：的距离相等.(1)求动点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，点在直线上，过的两条直线，与曲线相切，切点分别为A，，以为直径作圆，判断直线和圆的位置关系，并证明你的结论.【解析】 (1)由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程为；(2)依题可设，，，由，即：，求导得：，所以切线，的斜率分别是，，所以的方程是，点的坐标代入，得：，即，同理可得，于是是方程的两根，所以，，由，得，即：，由，，所以，即：点在圆上，所以直线和圆相切.16．【探索问题】（2022·安徽宣城·二模）已知椭圆方程为，若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由椭圆，知．又抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．所以，则．所以抛物线的方程为．(2)由抛物线方程知，焦点．易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．由消去y并整理，得．．设，，则，．对求导，得，∴直线AP的斜率，则直线AP的方程为，即．同理得直线BP的方程为．设点，联立直线AP与BP的方程，即．，点P到直线AB的距离，所以的面积，当且仅当时等号成立．所以面积的最小值为64，此时直线l的方程为．