云南省曲靖天人高级中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

曲靖天人中学2022-2023学年春季学期期中考试

高一数学

命题人：陈琪燕

考试时间：2023年4月25日9：00-11：00

满分：150分

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A.的虚部为    B.的共轨复数为

C.    D.在复平面内对应的点在第二象限

2.已知不同直线与不同平面，且，则下列说法中正确的是（    ）

A.若，则    B.若，则

C.若，则    D.若，则

3.已知向量，若，则（    ）

A.5    B.    C.6    D.

4.在某拍卖会上成交的唐代著名风鸟花弃纹浮雕银杯如图①，银杯由杯托和盛酒容器两部分组成，盛酒容器可近似地看成由圆柱和一个半球组成，盛酒容器的主视图如图②.若，则该容器的容积（不考虑材料的厚度）为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.在中，是角分别所对的边，若，则此三角形外接圆的面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.如图，已知四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（    ）

A.平面平面    B.平面平面

C.平面平面    D.平面平面

7.如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（    ）

A.米    B.米    C.米    D.米

8.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（    ）

A.    B.1    C.    D.

二、多选题：本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分有选错的得0分.

9.设向量，则（    ）

A.    B.

C.    D.与的夹角为

10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ）

A.圆柱的侧面积为

B.圆锥的侧面积为

C.圆柱的侧面积与球面面积相等

D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小

11.如图，在正方体､中，分别是的中点，则下列命题正确的是（    ）

A.    B.与是异面直线

C.平面平面    D.平面

12.在中，，则的面积可以是（    ）

A.    B.1    C.    D.

三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量，则在方向上的投影向量的模为__________.

14.若复数是纯虚数，其中是实数，则__________.

15.已知，向量与垂直，则实数__________.

16.如图1，在一个正方形内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使重合于点，且折叠后的四㥄锥的外接球的表面积是（如图2），则四棱锥的体积是__________.

四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知平面向量.

（1）若，求；

（2）若，求与所成夹角的余弦值.

18.（本小题12.0分）

（1）球的半径长为，求球的表面积；

（2）已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，求这个正四棱锥的体积；

（3）已知长方体的长､宽､高的比是，若表面积为，求长方体的体积.

19.（本小题12.0分）

已知内角的对边分别是，若.

（1）求；

（2）求的面积.

20.（本小题12.0分）

在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

21.（本小题12.0分）

在中，角所对的边分别为，且.

（1）若，求的值；

（2）若的面积是，求的周长.

22.（本小题12.0分）

如图，在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱中，分别是的中点.求证：

（1）平面平面；

（2）平面平面.

曲靖天人中学2022-2023学年春季学期期中考试

高一数学 答案

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的四则运算，复数的概念，共轭复数，复数的模，复数的代数表示及其几何意义属于基础题.

根据题意由复数的四则运算可得，逐项分析求解即可.

【解答】

解：，

的虚部为4，故错误；

B.的共轭复数为，故正确；

，故错误；

在复平面内对应的点为，在第一象限，故错误；

故选.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了空间中的线线､线面､面面的平行与垂直关系，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题.

根据题意，利用相关的定理及性质等，逐项判断即可.

【解答】

解：对于，当，且时，与无公共点，与可能平行，也可能异面，错误；

对于，当时，与可能平行，可能异面，也可能相交，错误；

对于，当，且时，与可能平行､相交或错误.

对于D，若，且，根据面面垂直的判定定理，得正确；

故选D.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，考查向量的模，考查平面向量的坐标运算，属于基础题.

由已知求得，即可得到，即可求得.

【解答】

解：由已知向量，

又，

，

即，

，

，

故选.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查以传统文化为背景的三视图还原几何体及圆柱和球的体积计算，属于基础题.

由图可知：几何体是由一个圆柱和一个半球组成的，然后分别利用柱体和球体体积公式求解.

【解答】

解：由题知：半球的半径，圆柱的底面半径为，高，

则容器的容积

.

故选.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了正弦､余弦定理及面积公式，属于基础题.

由及的值，利用余弦定理求出的值，由的值，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，即可求出此三角形外接圆的面积.

【解答】

解：，

由余弦定理得：，

，

设三角形外接圆半径为，

由正弦定理得：，即，

解得：，

则此三角形外接圆面积为.

故选.

6.【答案】C

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查了面面垂直的判定；一般地，要证面面垂直，只要证线面垂直，进一步只要证线线垂直，体现了转化的思想.

利用面面垂直的判定定理，对四个选项分别分析选择.

【解答】

解：对于，因为已知底面，且底面为矩形，

所以，又，

所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；

对于，已知底面，且底面为矩形，

所以，又，

所以平面平面，所以平面平面，故正确；

对于，已知底面，且底面为矩形，

所以，又，又，

所以平面，又平面，

所以平面平面，故正确；

故选.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查解三角形的应用，属于中档题.

转化为数学问题利用正余弦定理求出即可.

【解答】

解：连接，在中，由条件可得，则，

，

在中，由正弦定理得，

在中，由条件得，

且，

在中，由余弦定理得

，

，

故选：B.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的加法，减法及几何意义，考查学生推理能力，属于基础题.

利用向量的加法，减法运算得，利用平面向量基本定理得.

【解答】

解：因为是的中点，所以.

所以

，

因为，所以.

故选.

二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9.【答案】CD

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量坐标运算､向量的夹角､向量的模等知识，考查了分析和运算能力，属于基础题.

分别求出即可判断；求出，即可判断；根据即可判断；运用向量夹角公式即可判断.

【解答】

解：由题意，，

则，故错误；

易知，由，

所以与不平行，故错误；

又，即，故正确；

因为，

又，所以与的夹角为.

故选.

10.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查圆柱､圆锥的侧面积和表面积，球的表面积的计算公式，属于基础题.

根据球､圆锥､圆柱的表面积公式一一计算可得.

【解答】

解：依题意球的表面积为，

圆柱的侧面积为，所以选项正确.

圆锥的侧面积为，所以选项正确.

圆锥的表面积为，

圆柱的表面积为，所以选项不正确.

故选：

11.【答案】ABC

【解析】解：连接，

对于分别为中点，，

又正确；

对于平面平面平面，

直线与为异面直线，正确；

对于，由知：，

又平面平面，

平面，同理可证：平面，

平面，

平面平面正确；

对于，且平面，

与相交，又平面与平面相交，错误.

故选：.

由中位线性质可证得，知正确；由异面直线的定义可知正确；利用线面平行判定定理可证得平面平面，由面面平行的判定知正确；根据空间中直线与平面位置关系的判断可知错误.

本题主要考查了空间中的平行关系，属于中档题.

12.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理和三角形的面积公式.

根据正弦定理先求角与，然后根据三角形的面积公式求解即可.

【解答】

解：因为在中，，

由正弦定理得：，

，

又，

或，

当时，，此时；

当时，，此时；

故选.

三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的投影，向量的数量积以及模的运算，属于基础题.

在方向上的投影向量的模为，即可求解.

【解答】

解：由题意可知：在方向上的投影向量的模为

，

故答案为.

14.【答案】

【解析】

【分析】

由复数是纯虚数，列出方程组，求解可得的值，然后代入求出，进而求得答案.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

【解答】

解：因为复数是纯虚数，其中是实数，

所以：且；

故，故，所以：；

故答案为：.

15.

【解析】

【分析】

本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则､向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

先求出，再由向量与垂直，能求出实数.

【解答】

解：，

，

向量与垂直，

，

解得实数.故答案为：.

16.

【解析】

【分析】

本题考查了棱锥的体积和球的表面积，设正四棱锥的棱长为，则外接球的半径是，由球的表面积得出，再由棱锥的体积公式计算即可.

【解答】

解：在图4中，连接交于点，

则是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为，

则外接球的半径是，所以，得，

因此，

故四棱锥的体积是.

故答案为.

四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.【答案】

解：（1），

；

（2）依题意.

，

即，解得，

.

设向量与的夹角为，

.

即与所成夹角的余弦值为.

【解析】本题考查了向量平行和垂直的充要条件，考查了向量夹角的求解以及向量的坐标的运算，属于基础题.

（1）利用平行的充要条件得，解出即可；

（2）首先求出，再利用垂直充要条件求出，进而得到，利用向量夹角公式求出结果.

18.【答案】

解：（1）；

（2）顶点在底面的射影是正方形的中心，如图所示；

正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为，

正四棱锥的侧棱长为：2，底面边长为2，

该正四棱锥的高长度为：

所以棱锥的体积为：.

这个正四棱锥的体积：.

（3）解：由题意，设长､宽､高分别为，

则，解得，

所以长､宽､高分别为，

体积.

【解析】本题主要考查了球的表面积公式和正四棱锥的结构特征与应用问题以及长方体表面积和体积的计算公式.

（1）直接运用球的表面积公式即可求出；

（2）根据题意知顶点在底面的射影是正方形的中心，求出斜高，再计算正四棱锥的高，然后求解体积.

（3）由表面积计算出棱长，再由体积公式计算即可.

19.【答案】

解：（1）在中，，

由正弦定理得：，

由余弦定理得：，

解得或（不合题意，舍去）.

（2）由（1）知，所以，

故的面积为.

【解析】本题主要考查了解三角形的运用，涉及正余弦定理，三角形面积公式的运用，属于基础题.

（1）根据在中，，结合正余弦定理即可求出值；

（2）由（1）知，得到，再根据以及三角形面积公式即可求解.

20.【答案】

证明：（1）连接，因为底面是正方形，为的中点，

则，且为的中点.

在中，为的中点，

.

又平面平面，

平面.

解：（2）解法一：取中点，连接，

.

又侧面底面，且侧面底面，

平面.

，

.

三棱锥的体积.

解法二：侧面底面，

且侧面底面，

平面.

又平面，

.

又，且平面，

平面，故平面，

三棱锥的体积：

【解析】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力､运算求解能力､空间想象能力，考查数形结合思想､转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题.

（1）连接，则，由此能证明平面.

（2）法一：取中点，连接，推导出平面，三棱锥的体积.法二：三棱锥的体积，由此能求出结果.

21.【答案】

解：（1），

又，

.

由正弦定理得，，即，

解得；

（2），

，

，

由余弦定理得，，

，

，

，

则的周长为.

【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理､面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题.

（1）先求出角的正弦值，然后利用正弦定理求解；

（2）由面积求出，再利用余弦定理即可.

22.【答案】

证明：（1）在底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱中，

分别是的中点，

平面平面平面

同理平面

又平面平面，

平面平面；

（2）平面平面，

；

平面平面，

平面，

又平面，

平面平面.

【解析】本题证明了空间中的平面与平面平行与垂直关系的判定与性质的应用问题，是基础题.

（1）由题意得出，从而证明平面平面；

（2）由题意知平面，得出；再由，

得出平面，从而证明平面平面.