云南省曲靖天人高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

曲靖天人中学2022-2023学年春季学期期中考试

高二数学

命题人：潘彦兵

考试时间：120分钟 满分：150分

一､单选题（共8小题，每小题5分，共40.0分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知为虚数单位，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知，若，则（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

4.若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ）

A.24种    B.23种    C.12种    D.11种

5.在的展开式中，的系数为（    ）

A.-5    B.5    C.-10    D.10

6.函数的定义域是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.2023年云南省实行“3+1+2”新高考模式，学生选科时语数英三科必选，物理､历史两科中选择1科，政治､地理､化学､生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（    ）

A.6种    B.12种    C.18种    D.24种

8.如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的容积为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）

9.下列各式求导正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知函数，则（    ）

A.的最大值是2

B.的最小正周期为

C.在上是增函数

D.的图象关于点对称

11.给定组数，则这组数据的（    ）

A.中位数为3    B.方差为

C.众数为3    D.分位数为4.5

12.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，募碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为若，则（    ）

A.的展开式中的常数项是56

B.的展开式中的各项系数之和为0

C.的展开式中的二项式系数最大值是70

D.，其中为虚数单位

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20.0分）

13.在点处的切线方程为__________.

14.若在等差数列中，，则通项公式__________.

15.在中，角所对的边分别是，并且，则的值为__________.

16.已知函数的定义域为为的导函数，且满足，则不等式的解集是__________.

四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（10.0分）

已知数列的前项和，且；

（1）求它的通项

（2）若，求数的前项和.

18.（12.0分）

已知中，角的对边分别为，若.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值.

19.（12.0分）

如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且是的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面的夹角的正弦值.

20.（12.0分）

某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计.请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：

（1）抽查的50人中，每天平均学习时间为小时的人数有多少？

（2）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中.现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；

（3）在（2）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率.

21.（12.0分）

已知椭圆过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点，则是否存在实数，使以线段为直径的圆过定点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

22.（12.0分）

设函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围；

曲靖天人中学2022-2023学年春季学期期中考试

高二数学参考答案

一､单选题

1.C    2.B    3.B    4.B    5.C    6.A    7.B    8.C

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查四棱台的体积计算.属于基础题.

根据题意，结合棱台的体积计算公式，代入计算，即可得到结果.

【解答】

解：画出满足题意的正四棱台，如图所示，

则.

过点作于点，

则，

所以该正四棱台的体积为.

故选.

二､多选题

9.CD    10.AC    11.AB    12.BC

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查圆柱，球的体积公式和表面积公式，二项展开式的特定项与特定项的系数，属于中档题.根据圆柱，球的体积公式和表面积公式得出的值，再根据二项式定理分析选项，由复数的运算分析选项.

【解答】

解：设球的半径为，则圆柱的底的半径为，高为，

则，

故，

可知展开式的通项公式为，

令，即，可得的展开式中的常数项是，故错误；

令，可得的展开式中的各项系数之和为，故正确；

可知的展开式中的二项式系数最大值是，故C正确；

，故错误；

故选：.

三､填空题

13.y=x-2或    14.    15.或2（对其中一个3分，两个全对5分）

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查利用函数单调性对不等式求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于中档题.

根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可.

【解答】

解：设，则，

，

，

即在上为减函数，

则不等式等价于，

即，

即，

在上为减函数，

，解得，

故不等式的解集为.

故答案为.

17.【答案】解

（1）

当时，

当时，

经验证，满足

（2）

数列是以首项为1，2为公比的等比数列

18.【答案】解：（1）因为，

所以由正弦定理可得，

因为，

所以，

所以，

因为，

所以.

（2）因为，

所以由余弦定理可得

，

可得..

【解析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

（1）由正弦定理化简已知等式，结合，根据同角三角函数基本关系式可求的值，结合范围，可得的值.

（2）由已知利用余弦定理即可求解的值.

19.【答案】（1）证明：

平面平面，

，又，

平面，

平面.

（2）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，

设，则，

，故，

，设平面的一个法向量为，

由得，取，

设直线与平面所成角为，

因为，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，较为基础.

（1）证明，结合，即可证明平面.

（2）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出相关向量，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，利用向量的数量积求解即可.

20.【答案】解：（1）由直方图知，学习时间为小时的频率为

学习时间为小时的人数为（人）；

（2）由直方图可得，学习时间不少于6小时的学生有人.

从中抽取6名学生的抽取比例为，高中三个年级的人数分别为，

从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；.

（3）设高一的2名学生为高二的1名学生为，高三的3名学生为.则从6名学生中选取2人所有可能的情形有，），共15种可能.

其中2名学生来自不同年级的有

，共11种情形，

故所求概率为.

【解析】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，是概率统计的典型题，根据频率分布直方图中频率小矩形的高组距来获得数据，是解答此类问题的基本方法.

（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求得学习时间为小时的频率，再根据频数频率样本容量求解；

（2）求得分层抽样的抽取比例，再根据高中三个年级的人数分别乘以抽取比例可得三个年级的抽取人数；

（3）利用列举法写出从6名学生中选取2人所有可能的情形，从中找出2名学生来自不同年级的情形，利用个数比求概率.

21.【答案】（1）由题意得，解得，

所以椭圆的方程为

（2）假设存在实数，使以线段为直径的圆过定点，

设，

联立得整理得，

所以，

，

若以为直径的圆过定点，则，

所

所以，

解得，满足，故存在实数，使以线段为直径的圆过定点，此时.

【解析】略

22.【答案】解：（1）当时，则；

令，得；

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

即时，的单调减区间为，单调增区间为；.

（2）；

恒成立，等价于恒成立；

设；

当时，；

在上单调递减；

时，；

的取值范围为；

【解析】本题考查基本初等函数导数的计算公式，商的导数的计算公式，函数单调性和函数导数符号的关系，以及函数单调性定义的运用，指数函数的单调性，指数式和对数式的意义，指数式的运算.

（1），进而得到，这样便可判断导数符号，根据符号即可得出的单调区间；

（2）可以由恒成立得到恒成立，这样设，求导，根据导数符号便可判断在上单调递减，这便可得到，从而便可得出的取值范围；