2022-2023学年云南省曲靖市民族中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年云南省曲靖市民族中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.

【详解】由得：，，.

故选：A.

2． 等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦两角和公式求解即可.

【详解】.

故选：D

3．在中，角，，所对应的边分别为，，．若，，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理解三角形求解即可.

【详解】在中，，，，

由正弦定理得：，

所以.

故选：B

4．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案.

【详解】由题可得，，

所以，且，，.

故选：B.

5．已知角的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据角的终边，可求出，再利用诱导公式化简求解出结果.

【详解】由角的终边经过点，利用三角函数的定义求出

，

所以，

故选：A

6．已知向量，且，则实数=

A． B．0 C．3 D．

【答案】C

【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C.

【解析】向量的坐标运算.

7．定义在上的偶函数满足，且在区间上递增，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由条件求出函数的周期，再根据函数的单调性结合条件即得.

【详解】∵定义在R上的偶函数，所以，

又满足，

所以，

所以是周期为4的函数，又函数在区间上递增，

所以在区间上递减，

所以，，

因为，，所以，

所以，即.

故选：B．

8．正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】以，为坐标轴建立平面直角坐标系，由转化为坐标的运算可得答案.

【详解】以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：

设正方形边长为1，则，，．

因为，所以

解得，所以．

故选：B．

9．如图，在中，向量是（    ）

A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等向量

【答案】C

【分析】向量是既有大小又有方向的量，通过大小和方向两个方面逐一判断即可.

【详解】解：起点并不全相同，故A错误；

的方向均不相同，也不相反，故BD 错误；

圆的半径，故C正确，

故选C．

【点睛】本题考查向量的概念，是基础题.

二、多选题

10．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断；

对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围，由此判断即可；

对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，据此解答即可.

【详解】对于A，因为，

所以，

所以，故A正确；

对于B，由选项A知，

因为，所以，故，

所以，即，故B正确；

对于C，由选项B可知，，，所以，

因为，

所以，故C错误；

对于D，因为，，

所以，故，故D正确.

故选：ABD.

11．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】由正弦定理可得，根据的范围得出或.分类讨论，根据三角形的内角和定理得出，即可得出答案.

【详解】由正弦定理可得，.

因为，，所以或.

当时，，

此时有，所以；

当时，，所以.

综上所述，或.

故选：AB.

12．已知函数.则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数的图象关于点对称

C．函数在定义域上单调递减

D．若实数a，b满足，则

【答案】ABD

【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.

【详解】对于A选项，对任意的，，

所以函数的定义域为，

又因为

，所以，故A正确；

对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确；

对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，

，

即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；

对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．在中，若，则__________．

【答案】/

【分析】根据正弦定理边化角，整理化简即可得出，即可得出答案.

【详解】由已知结合正弦定理边化角可得，，

即，所以有，

所以.

故答案为：.

14．已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________．

【答案】1

【分析】根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，，解得.

故答案为：1.

15．已知，，，与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由已知可得，且不共线.根据向量的坐标运算，列出不等式求解，即可得出答案.

【详解】因为为钝角，所以且.

所以有，，且不共线.

由，可得，所以.

由不共线可得，，所以.

所以，的取值范围是且.

故答案为：.

16．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为______.

【答案】/

【分析】设的三个内角，，的对边分别为，，，连接，则，由等边三角形的性质可求出，从而可求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式可得，从而可求出的面积最大值

【详解】设的三个内角，，的对边分别为，，.

连接，则由题设得，，

因为以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，

所以，，

所以

在中，由余弦定理可得

即

又，∴

即（等号当时成立），

由题意可得为等边三角形，

故

故答案为：

四、解答题

17．设是实数，复数，（是虚数单位）．

(1)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据复数的几何意义，列出不等式组，求解即可得出答案；

（2）由已知可得，根据复数的模的公式化简，结合二次函数的性质，即可得出答案.

【详解】（1）由已知可得，.

因为在复平面内对应的点在第二象限，所以有，

解得.

（2）由已知可得，，

所以，

所以，，

所以，当时，有最小值为.

18．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

(1)求角；

(2)若，的面积为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；

（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.

【详解】（1）因为，

所以，

因为，则，

所以，即，

因为，所以.

（2）因为的面积为，，

所以，即，

因为，所以，

所以，解得.

所以.

19．已知向量，，若，，与的夹角为．

(1)求；

(2)当为何值时，向量与向量互相垂直？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知可求得，，，然后根据数量积的运算律即可求出的值，开方即可得出答案；

（2）由已知可得，展开代入已知，即可得出答案.

【详解】（1）由已知可得，，，，

所以，，

所以，.

（2）由已知可得，

即，

所以有，解得.

20．已知函数是指数函数.

(1)求实数的值；

(2)已知，，求的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；

（2）令，，求出函数在上的最大值和最小值，即可得出函数的值域.

【详解】（1）解：由题意可得，解得.

（2）解：由（1）可得，因为，令，，

令，则，，

因此，函数的值域为.

21．已知函数的最小正周期为，其中．

(1)求的值；

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)求函数在区间上的值域．

【答案】(1)

(2)函数的单调减区间为，单调增区间为

(3)

【分析】（1）利用求得.

（2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间.

（3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.

【详解】（1）由函数的最小正周期为，，所以，可得，

（2）由（1）可知，

当，有，，

当，可得，

故当时，函数的单调减区间为，单调增区间为．

（3）当，有，，

可得，

有，

故函数在区间上的值域为．

22．在中，设角，，所对的边分别为，，，已知，且三角形的外接圆半径为．

(1)求的大小；

(2)若的面积为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合已知式子，利用余弦定理和三角恒等变换即可求出，从而求出C；

（2）利用余弦二倍角公式将中cos2A化为，再利用正弦定理将和化为、，利用三角形面积公式可求，利用余弦定理可求，代入化简的式子即可计算；

【详解】（1）在中，，

即，

由余弦定理得，

即，

即，

即，

在中，，则，

又∵，∴；

（2）因为，即，所以，

由正弦定理得，∴，

则

，

由余弦定理得，

∴；