2022-2023学年云南省曲靖市富源县第八中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年云南省曲靖市富源县第八中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合间的包含关系，结合数轴法即可得解.

【详解】因为，，

所以由数轴法可知.

故选：C．

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数除法法则得到，从而确定所在象限.

【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.

故选：A

3．展开式中项的系数为（    ）

A．48 B．672 C．673 D．1387

【答案】B

【分析】按照二项展开式求解即可.

【详解】由，得项的系数为672.

故选：B.

4．设向量的模长为1，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的模长公式，结合余弦的二倍角公式，可得答案.

【详解】由题意可知，则，

.

故选：B.

5．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义结合平行线斜率关系即可求解参数．

【详解】由，得，

则曲线在点处切线的斜率，

因为曲线在点处的切线与直线平行，

所以，所以．

故选：D．

6．若直线与圆相切，则b的值是（    ）

A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12

【答案】D

【分析】首先根据题意得到圆心和半径，再根据圆心到直线的距离等于半径即可得到b的值.

【详解】由得圆的圆心坐标为半径为1，

因为直线与圆相切，所以或.

故选：D.

7．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为

A．432 B．288 C．216 D．108

【答案】C

【详解】首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排．则共有，故选C．

8．已知定义在R上的函数满足，，且，则（    ）

A．2023 B．－2023 C．4046 D．－4046

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性和周期性即可求解.

【详解】因为，所以为奇函数，即，

又因为，所以，即，所以，所以函数的周期为，

因为，则，

故选：B.

二、多选题

9．关于双曲线与双曲线下列说法正确的是（    ）

A．它们的实轴长相等 B．它们的渐近线相同

C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等

【答案】BD

【解析】根据两个双曲线分别求解四个选项中的性质，再比较，判断选项.

【详解】双曲线，，，实轴长，渐近线方程，离心率，焦距；

双曲线

，，，实轴长，渐近线方程，离心率，焦距；

综上比较，可知两个双曲线的渐近线，焦距相等.

故选：BD

10．将函数图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值可能为(    )

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据图象平移求出平移后函数解析式，根据正弦型函数的对称性即可求出的值．

【详解】平移后得到函数解析式为，

∵g(x)图象关于原点对称，即g(x)是奇函数，

∴，

∴，∴．

当k＝0时，φ＝；当k＝1，φ＝．

故选：BD．

11．设等差数列的前n项和为，公差为d，已知，，，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C．d可以取负整数 D．对任意，有

【答案】BD

【解析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．

【详解】因为，

所以，

即

所以，

由得，

联立可解得 ，

故等差数列是单调递减的，且，

所以对任意，有

综上可知BD正确，

故选：BD

【点睛】关键点点睛：由，解得，是求解本题的关键所在，由此结合条件求出的范围，判断数列的单调性，求出，属于中档题.

12．下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】构造函数，利用导数分析其单调性，然后由、、、得出每个选项的正误.

【详解】令，则，令得

易得在上单调递增，在上单调递减

所以①，即，即，故A正确

②，即，所以可得，故B错误

③，即，即

所以，所以，故C正确

④，即，即，即

所以，故D错误

故选：AC

【点睛】本题考查的是构造函数，利用函数的单调性比较大小，解题的关键是函数的构造和自变量的选择，属于较难题.

三、填空题

13．五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有      种．

【答案】

【分析】由分步乘法计数原理直接运算即可.

【详解】每名高中生均有种报名方法，不同的报名方法有种.

故答案为：.

14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为               ．

【答案】

【分析】先由集合与充分必要的关系得到是的真子集，从而利用数轴法得到，由此得解.

【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，

所以是的真子集，

因为等价于，

所以是的真子集，

所以，

所以实数a能取的最大整数为.

故答案为：.

15．过抛物线M：焦点的直线交抛物线M于A，B两点，若线段AB的中点P到M的准线的距离等于9，则          ．

【答案】

【分析】利用中点坐标公式与点线距离公式求得，再利用抛物线的焦半径公式求解即可．

【详解】因为抛物线M：，所以记抛物线M的焦点为F，抛物线准线方程为，

设，，，则，

所以点P到M的准线的距离为，

所以，

由抛物线定义知：，，

则

故答案为：．

16．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则               ．

【答案】

【分析】根据正三棱柱得性质，确定外接球的球心，利用球的表面积公式以及勾股定理，可得答案.

【详解】由该三棱柱的外接球O的表面积为12π，设外接球得半径为，则，解得，

由题意，取上下底面三角形得中心，分别为，得中点即为外接圆圆心，作图如下：

则，平面，，

平面，，

在等边中，，

在中，，

.

故答案为：.

四、解答题

17．在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．

(1)求；

(2)若，且的面积为4，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理及题中条件，可得，从而化简整理，结合三角函数的基本关系式即可得解．

（2）由的面积为4，结合（1）中结论，可得，结合余弦定理，可得，从而可求的周长．

【详解】（1）由及正弦定理得，

，

又，则，∴，

∴，∴.

（2）∵的面积为，∴.

由余弦定理得，∴.

故的周长为.

18．已知正项等比数列满足，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，依次求得.

（2）利用裂项求和法求得.

【详解】（1）依题意，是正项等比数列，

，设正项等比数列的公比为，

则，解得，所以，

所以，.

（2）所以，

所以.

19．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；

(3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．

【答案】(1)

(2)76.4

(3)

【分析】(1)根据频率分布直方图的各个小矩形的面积之和为1求出a；

(2)根据频率分布直方图估计中位数；

(3)根据频率分布直方图求出从评分在和的人中抽取的人数，再根据古典概型计算概率.

【详解】（1）由频率分布直方图得：

，解得．

（2）评分在的概率为，评分在的概率为，该企业的职工对该部门评分的50%分位数位于，所以50%分位数为；

（3）受访职工中评分在的有：人，记为，，，

受访职工中评分在的有：人，记为，，

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

此2人评分都在包含的基本事件有，，，，，，共3个，

从评分在的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率．

20．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD．

(1)证明：平面PBD⊥平面PBC；

(2)若二面角P－BC－D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案；

（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案.

【详解】（1）在平行四边形中，，，，

平面，平面，，

，平面，平面，

平面，平面平面.

（2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：

设，则，在中，，

平面，平面，，

，平面，平面，

在二面角的平面角，即，

在中，，

在平行四边形中，，

则，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则，即，化简可得，

令，，解得平面的一个法向量，

设与平面的夹角为，

.

21．设椭圆：的离心率为，且短轴长为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若在y轴上的截距为2的直线与椭圆C分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于12，求直线AB的方程

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由离心率的值可得，，可求出的值，由此得解；

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，从而得到直线的方程.

【详解】（1）由题可得，由有，，

解得，.

故所求椭圆方程为：.

（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，

联立，

或，

∴，，

∴，

，故直线AB的方程为.

22．已知函数 .

（1）证明：；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）令，求导得到函数的增区间为，减区间为，故，得到证明.

（2），讨论和两种情况，计算函数的单调区间得到，解得答案.

【详解】（1）令， 有，令可得，

故函数的增区间为，减区间为 ，， 故有.

（2）由

①当时，，此时函数的减区间为，没有增区间；

② 当时，令可得，

此时函数的增区间为，减区间为.

若函数有两个零点，必须且，可得，

此时，

又由，

当时，由(1)有， 取时，

显然有，当时，

故函数有两个零点时，实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，根据零点求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.