2023年广东省深圳市宝安区重点中学中考数学三模试卷

2023年广东省深圳市宝安区重点中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国古代数学家利用“牟合方盖”如图甲找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是

 

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  如图，点、、是上的三个点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  把二次函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，新二次函数表达式变为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是(    )

A.  B.  C.  D. 平分

8.  如图，扇形中，半径，，是的中点，连接、，则图中阴影部分面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知的图象如图，则和的图象为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知中，，，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则(    )
 

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  抛物线的顶点坐标是______．

12.  在中，，平分，，，______．

13.  图是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图是它的侧面示意图，和相交于点，点、之间的距离为米，，根据图中的数据可得、之间的距离为        米

14.  如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点当的面积为时，的值为______ ．

15.  如图，在矩形中，点为上一点，，，连接，将沿所在的直线翻折，得到，交于点，将沿所在的直线翻折，得到，交于点，的值为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，在，，，四个数中选一个合适的代入求值．

18.  本小题分
月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
三本以上的值为______ ，参加调查的总人数为______ ，补全统计图；
三本以上的圆心角为______ ．
全市有万学生，三本以上约有______ 人．

 

19.  本小题分
抖音直播购物逐渐走进了人们的生活为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售已知苹果的成本价为元千克，如果按元千克销售，每天可卖出千克通过调查发现，每千克苹果售价增加元，日销售量减少千克．
为保证每天利润为元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？

20.  本小题分
如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交延长线于点，为上一点，且．
求证：为的切线；
若，，求的长．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于轴斜对称其中一点叫做另一点关于轴的斜对称点如：点，关于轴斜对称在平面直角坐标系中，点的坐标为．
下列各点中，与点关于轴斜对称的是        只填序号；
，，，．
若点关于轴的斜对称点恰好落在直线上，的面积为，求的值；

抛物线上恰有两个点、与点关于轴斜对称，抛物线的顶点为，且为等腰直角三角形，则的值为        ．

22.  本小题分
如图，抛物线经过点，，交轴于点；
求抛物线的解析式用一般式表示；
点为轴右侧抛物线上一点，是否存在点使？若存在请直接给出点坐标；若不存在请说明理由；
将直线绕点顺时针旋转，与抛物线交于另一点，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值解题即可．
本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为个正方形组合体，进而得出答案即可．
【解答】
解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，
得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：、，正确，故本选项不符合题意；
B、，正确，故本选项不符合题意；
C、，错误，故本选项符合题意；
D、，正确，故本选项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题利用了用大量试验得到的频率可以用来估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程，求解得到黄球的个数，进而得到白球的个数．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从此处入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】
解：设袋中有黄球个，由题意得
，
解得：，
则白球可能有：个．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
直接根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新的二次函数，即．
故选：．
先把抛物线化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求出平移后的函数表达式．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

7.【答案】 

【解析】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
有一个内角是直角，对角线相等，
即或，
故选：．
根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题考查正方形的判定，掌握正方形的性质和判定是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了扇形的面积，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积，题目比较好，难度适中．连接，分别求出、、扇形，扇形的面积，即可求出答案．
【解答】
解：连接，过作于，

，为弧中点，
，
，
、是等边三角形，
，，
的边上的高是，
边上的高为，
阴影部分的面积是，
故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查一次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系，
根据二次函数的图象可以得到，，，由此可以判定经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．
【解答】
解：根据二次函数的图象，
可得，，，
过一、二、四象限，
双曲线在二、四象限，
是正确的．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出的长是解题关键．
直接利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出线段是的中位线，再利用勾股定理得出，再利用线段垂直平分线的性质得出的长．
【解答】
解：，，，
，
是直角三角形，
是的垂直平分线，
，，且线段是的中位线，
，
．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
过点作于点，利用勾股定理求出，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据的面积列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，过点作于点，

，，，
，
平分，
，
，
即，
解得．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
∽，
，
米，
，
解得：米，
故答案为：．
根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．
 

14.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
的面积的面积，
点，为函数图象上的两点，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
则，
．
故答案为：．
根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解法一：由折叠的性质可知，，，，，，
四边形为矩形，
，，
，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，
，，
，
过点作于点，如图，

则，
，，
，
设，，
在中，，
，
在中，，
即
，
，
，
解得：，
，，
，
．
故答案为：．
解法二：过点作，交的延长线于点，如图，

由折叠的性质可知，，，，，
四边形为矩形，
，，
，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，
，，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故答案为：．
解法一：由折叠的性质可知，，，，，，由矩形的性质得，，进而推出，设，则，根据勾股定理列出方程求得，，则，过点作于点，则，根据平行线的性质得，，因此，设，，由得出，由列出方程，求得，再算出和即可求解．
解法二：由折叠的性质可知，，，，，由矩形的性质得，，进而推出，设，则，根据勾股定理列出方程求得，，再根据证明≌，则，，最后根据平行线分线段成比例即可求解．
本题主要考查折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数的应用、平行线的性质等，正确作出辅助线，构造直角三角形解决问题是解题关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】解：原式

，
要使原分式有意义，则，，，
且且，
当时，原式． 

【解析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代值求解即可注意代的值要使原分式有意义．
 

18.【答案】解：；；

；
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了条形图与扇形图的综合应用，解决此类问题注意图形有机结合，综合分析获取正确信息．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
根据看本书的人数为人，所占的百分比为，即可求出总人数，用即可得的值，用总人数乘以的值，即可得到本以上的人数，即可补全统计图；
用的值乘以，即可得到圆心角；
用万乘以三本以上的百分比，即可解答．
【解答】
解：人，
，人，
故答案为：，；
，
故答案为：；
人，
故答案为：．  

19.【答案】解：设每千克售价元时，所得日均总利润为元，
由题意可得：，
解得，，
当时，，
当时，，
为了尽快减少库存，
售价为元；
解：设利润为元，
由题意可得：，
，
当时，利润取得最大值，此时，
答：售价为元时，每天的销售利润最大，最大是元． 

【解析】设每千克售价为元，则每千克的销售利润为元，日销售量为千克，利用总利润每件的销售利润日销售量，列出一元二次方程，解方程即可；
设利润为元，利用总利润每件的销售利润日销售量列出二次函数，然后根据二次函数的性质求出的最大值即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数的解析式，利用二次函数的性质求最值．
 

20.【答案】证明：，
，
，
．
，
，
，
．
，
是的半径，
为的切线；
解：设与交与点，连接，，如图，

为的直径，
，
，
四边形为矩形．
．
在中，
，，
．
设，则．
，
，
解得：，
，．
．
，，
∽．
，
，
．
． 

【解析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；
设与交与点，连接，，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得，设，则，利用勾股定理列出方程求得值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

21.【答案】   

【解析】解：根据题意得：与点关于轴纵对称的点的纵坐标为，横坐标为不等于，
不是点关于轴纵对称的点，是点关于轴纵对称的点，
故答案为：；

由题意可得点的纵坐标为，设点的坐标为，
当时，如图，分别过点、点作轴于，作轴于，

，
，
点的坐标为，
点恰好落在直线上，
，解得，
的值为；
当时，如图，分别过点、点作轴，作轴于，、交于点，

，
，
点的坐标为，
点恰好落在直线上，
，解得，
的值为．
综上，的值为或；

令，则，
，，
不妨假设，，
抛物线的顶点，
是等腰直角三角形，
，
解得或不符合题意舍去，
．
根据关于轴纵对称的点的定义即可求解；
由题意可得点的纵坐标为，设点的坐标为，分两种情况：当时，当时，根据的面积为，利用面积的和差求出，代入即可得的值；
令，可得，可得或，可得，的坐标，再根据等腰直角三角形的性质构建方程求解．
此题是二次函数综合问题，主要考查三角形的面积，根与系数的关系，新概念的理解与应用等知识，正确理解题中关于轴纵对称的点的定义以及分类思想的应用是解本题的关键．
 

22.【答案】解：抛物线经过点，，
，解得，
抛物线解析式为；
由题意可知，，，
，，
，
，
，
设，
，解得，
当时，由，解得或，此时点坐标为或；
当时，由，解得舍去或，此时点坐标为；
综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或或；
，，，，
，，
，
为直角三角形，即，
如图，设直线与直线交于点，过作轴于点，

由题意可知，
，
，
，即，解得，，即，解得，
，且，
设直线解析式为，则可得，解得，
直线解析式为，
联立直线和抛物线解析式可得，解得或，
，
． 

【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在中注意待定系数法的应用，在中求得点的纵坐标是解题的关键，在中由条件求得直线的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．
由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
由条件可求得点到轴的距离，即可求得点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标；
由条件可证得，设直线和交于点，过作轴于点，则可得，利用平行线分线段成比例可求得点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式，联立直线和抛物线解析式可求得点坐标，则可求得的长．