2022西安莲湖区高一下学期期末数学试题含解析

莲湖区2021~2022学年度第二学期期末质量检测

高一数学试题

注意事项：

1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟；

2．答卷前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；

3．第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整，清晰；

4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若角与角的终边相同，则

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得出，由此可计算出角的表达式.

【详解】因为角与角的终边相同，所以，

则，.

故选B.

【点睛】本题考查终边相同的角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

2. 下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 向量与向量的长度相等

C. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的相关概念即可逐一判断.

详解】对于A；当，则不一定平行，故A错，

对于B；向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确，

对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错，

对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，

故选：B

3. 等于（    ）

A.  B. 1 C. 0 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据两角和的余弦公式即可求解.

【详解】由两角和的余弦公式得：

故选：C

4. 在四边形中，设，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量加法、减法的运算求得.

【详解】.

故选：D

5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

【答案】A

【解析】

【分析】先将化简为，再根据三角函数的图象平移即可得出答案.

【详解】，所以的图象向左平移个单位得：.

故选：A

6. 已知为任意角，若满足，则（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将看成一个整体，化简，即可根据正切的二倍角公式求出．

【详解】由，

可得

.

故选：B.

7. 下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】A. 根据函数的解析式判断；B.根据函数的解析式判断；C.根据函数的图象判断；D.根据函数的图象判断.

【详解】A. 的最小正周期为，是非奇非偶函数，故错误；

B. 的最小正周期为，是奇函数，故错误；

C.如图所示：   ，不周期函数，为偶函数，故错误；

D. 如图所示：  ，的最小正周期为，是偶函数，故正确；

故选：D

8. 已知为第三象限角，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据为第三象限角，可以得到，的取值范围，进一步得出答案.

【详解】∵为第三象限角，即，

∴即是第二、四象限，

∴或，或，故选项A、B错误，

∵

∴，，故C正确D错误.

故选：C.

9. 已知，且，则等于（    ）

A. 0 B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦的二倍角公式以及可得，进而可得，代入即可求值.

【详解】由得，因为，所以，进而得，故，所以，

故选：C

10. 已知非零向量不共线，且，若，则满足的关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件分解向量后，对比两组系数消去

【详解】由得，即，又，故，消去后得．

故选A

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数的图象关于点对称 B. 函数图象的一条对称轴是直线

C. 是奇函数 D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答.

【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确；

对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确；

对于C，不是奇函数，C不正确；

对于D，取，显然有，而，，D不正确.

故选：B

12. 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为的等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可计算出AB的长，由此建立平面直角坐标系，设点P的坐标，进而表示向量的坐标，计算，结合二次函数的知识求得结果.

【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，，

在中， ,；

如图以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则有，，由于，故可设P点坐标为,且，

所以，，

所以，

因为，当时，取得最小值 ，当 时，取得最大值为0，

所以，

故选：C.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 是第四象限角，，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用及第四象限角,求出得解.

【详解】，，

因为为第四象限角,所以

故答案为：

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.

同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：；(2)商数关系：.

14. 函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】

【详解】由，得，解得，

又，

∴

∴函数的定义域为．

答案：

15. 如图是函数的图像的一部分，则此函数的解析式为___________．

【答案】

【解析】

【分析】首先由周期求出，再根据函数过点，即可求出，从而求出函数解析式.

【详解】解：由图可知，所以，解得，

再由函数过点，所以，所以，

解得，因为，所以，

所以.

故答案为：

16. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意作出图形，观察可发现该图形的面积可用3个相同扇形面积之和减去中间2个等边三角形面积来计算．

【详解】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，

即．

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知向量，，

（1）若与垂直， 求实数的值;

（2）若与共线， 求实数的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算直接求解即可；

（2）根据向量共线的坐标运算直接求解即可.

【小问1详解】

，与垂直，，解得：.

小问2详解】

，与共线，，解得：.

18. 已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，求函数的值域．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦函数的单调性即可得出答案；

（2）利用整体思想结合正弦函数的性质即可得出答案.

小问1详解】

解：令，

得，

∴的单调递增区间为；

【小问2详解】

解：当时，，

∴，

∴当时，函数的值域为．

19. （1）若角的终边上有一点，求值：;

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式和三角函数定义即可化简并求值；

（2）根据已知条件求出，根据即可求解.

【详解】（1）因为角的终边上有一点，所以，

所以；

（2），，
，
.

20. 已知向量．

（1）求的坐标以及与之间的夹角；

（2）当时，求的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解，根据模长和数量积即可求解夹角，（2）根据模长公式求模长，然后根据二次函数的性质即可求解.

【小问1详解】

∵，

∴，

设与之间的夹角为，,

∴

∵，∴向量与的夹角为

【小问2详解】

因为,

．

当时,记单调递减,当时,单调递增,

故当,取最小值为3，当时，取最大值为7，

故当时，，∴的取值范围是．

21. 已知函数

（1）求的最小正周期；

（2）填写下面表格，并用“五点法”画出在一个周期内的图像．

【答案】（1）   

（2）填表见解析；作图见解析

【解析】

【分析】（1）根据二倍角与辅助角公式化简函数即可求解；

（2）根据五点法定义列表作图即可．

【小问1详解】

，

∴函数的最小正周期．

【小问2详解】

由题意列表如下，

作图像如下：

22. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

（1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；

（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；

（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．

【答案】（1）   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；

（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；

（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；

【小问1详解】

设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为

则，

∴，

依题意，∴，

当时，∴，

∴．

【小问2详解】

令，即，

∴，

∵，∴，

∴或，

解得或，

∴或时，1号座舱与地面的距离为17米．

【小问3详解】

依题意，

∴

令，解得，

所以当时，H取得最大值