2021-2022学年陕西省西安中学高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年陕西省西安中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．若，且，则角是（       ）

A．第一象限的角 B．第二象限的角

C．第三象限的角 D．第四象限的角

【答案】D

【分析】根据任意角的三角函数的定义判断即可；

【详解】解：因为，且，所以角是第四象限的角

故选：D

2．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据最小正周期判断AC，根据单调性排除B，进而得答案.

【详解】解：对于AC选项，，的最小正周期为，故错误；

对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误；

对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确.

故选：D

3．下列说法中正确的是（     ）

A．若，则的长度相同，方向相同或相反

B．若向量是向量相反向量，则

C．若，则存在唯一的实数使得

D．在四边形中，一定有

【答案】B

【分析】由相反向量定义、向量模长定义、平面向量共线定理和向量线性运算依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，若，则的长度相同，方向任意，A错误；

对于B，由相反向量定义知：与方向相反，模长相等，B正确；

对于C，当，时，，此时不存在唯一的实数使得，C错误；

对于D，若为中点，则，

与不恒相等，不恒成立，D错误.

故选：B.

4．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据平面向量的线性运算，直接可得出结果.

【详解】因为在矩形中，为中点，

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.

5．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为，扇面所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，那么这把折扇的扇面面积为（       ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】B

【分析】根据扇形的面积公式求出大扇形、小扇形的面积，进而相减即可得到扇面的面积.

【详解】由题意得，

大扇形的面积为，

小扇形的面积为，

所以扇面的面积为.

故选：B

6．设函数，若对于任意的都有成立，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意结合三角函数的图象与性质可得，即可得解.

【详解】由题意知函数的最小正周期，、分别为函数的最小值和最大值，所以.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.

7．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（       ）

A．＝(2，2)，＝(1，1) B．＝(1，－2)，＝(4，－8)

C．＝(1，0)，＝(0，－1) D．＝(1，－2)，＝

【答案】C

【分析】利用向量共线定理对各个选项判断即可.

【详解】因为不共线的两个向量可以作为它们所在平面内所有向量的基底，

对于A，由于，即共线，故A不合题意；

对于B，由于，即共线，故B不合题意；

对于C，由于，即不共线，故C合题意；

对于D，由于，即共线，故D不合题意；

故选：C.

8．已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（       ）

A．3 B．4 C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据正弦函数图象的对称性可得，由此可得答案.

【详解】依题意得，

所以，

即，又，

所以.

故选：C.

9．函数在区间（，）内的图象是( 　 )

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=

分段画出函数图象如D图示，

故选D．

10．如图所示，在四边形中，,为的中点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】 为 的中点， 而则

且 ，，则 故选C．

11．若，则角的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，的值，然后利用和差角公式及特殊角函数值，可得的值．

【详解】∵，

，

由，，得，，

若，

则

，

与矛盾，故舍去，

若，

则

，

又，

.

故选：A.

12．设函数，下述四个结论：

①是偶函数；             

②的最小正周期为；

③的最小值为0；       

④在上有3个零点

其中所有正确结论的编号是（       ）

A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④

【答案】B

【分析】根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假．

【详解】因为函数f（x）定义域为R，而且f（﹣x）＝cos|2x|+|sinx|＝f（x），所以f（x）是偶函数，①正确；

因为函数y＝cos|2x|的最小正周期为π，y＝|sinx|的最小正周期为π，所以f（x）的最小正周期为π，②正确；

f（x）＝cos|2x|+|sinx|＝cos2x+|sinx|＝1﹣2sin2x+|sinx|＝﹣2（|sinx|）2，而|sinx|∈[0，1]，所以当|sinx|＝1时，f（x）的最小值为0，③正确；

由上可知f（x）＝0可得1﹣2sin2x+|sinx|＝0，解得|sinx|＝1或|sinx|（舍去）

因此在[0，2π]上只有x或x，所以④不正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题．

二、填空题

13．点从圆心在原点的单位圆上点出发，沿顺时针方向运动弧长，到达点，则点的坐标是_______________．

【答案】

【分析】由题意，作出单位圆，结合图象求解.

【详解】因为点从圆心在原点的单位圆上点出发，

沿顺时针方向运动弧长，到达点，如图所示：

由图象知：，

所以，

故答案为：

14．已知的三个顶点都在圆上，，且，则圆的面积为____.

【答案】

【分析】根据平面向量加法的运算法则，结合三角形外心的性质进行求解即可.

【详解】设的中点为，因为,

所以点与点重合，即的外接圆的圆心是边的中点，因此是以为斜边的直角三角形，因为，所以，

因此圆的面积为，

故答案为：

15．函数的定义域为___________.

【答案】

【分析】根据给定函数列出不等式，再解三角不等式即可.

【详解】函数有意义，必有，即，

由正弦函数的图象性质得：，

所以的定义域为.

故答案为：

16．已知函数给出下列正个结论：

①函数的最小正周期是；

②函数在区间上是增函数；

③函数的图像关于点对称．

其中正确结论的序号为___________．

【答案】①

【分析】先对已知函数进行化简,然后结合余弦函数的周期、单调性及对称性分别对①②③进行判断.

【详解】

①根据周期公式可知.故①正确；

②由余弦函数的性质可知，f(x)在区间上是减函数.故②错误；

③当时，f(x)取得函数值，为最大值，故为函数的对称轴，不符合对称中心的条件.故③错误.

故答案为：①.

三、解答题

17．若角的终边上有一点，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据三角函数的概念，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；

（2）先将原式化简，再由三角函数的定义求出，进而可得出结果.

【详解】（1）点到原点的距离为，

根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）.

（2）原式，

由（1）可得，，

所以原式.

【点睛】本题主要考查由三角函数的定义求参数，以及根据诱导公式化简求值，属于常考题型.

18．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．

（1）用表示向量；

（2）若向量与共线，求的值．

【答案】（1）,；（2）

【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；

（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.

【详解】解：（1）为BC的中点，，

可得，

而

（2）由（1）得，

与共线，设

即，

根据平面向量基本定理，得

解之得，．

【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.

19．已知，

(1)求；

(2)求

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先判断出的正负，再借助平方关系求解；

（2）先解出，利用倍角公式计算，再借助正弦和角公式求解.

【详解】(1)

.

.

(2)由，

解得:，

，

，

.

20．已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为1，最小值为

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】(1)解：

，

即，

令，解得，

∴函数的单调递增区间为．

(2)解：∵，∴，

则，∴，

∴函数的最大值为1，最小值为．

21．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若方程在上有三个不相等的实数根，求m的取值范围及的值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】(1) 根据图示，即可确定A和的值，再由周期确定，最后将点带入；即可求出答案.

(2) 先根据题意写出，再根据的取值范围求出的取值范围.即可根据的对称性求出与的值.即可求出答案.

【详解】(1)由图示得：，

又，所以，所以，所以，

又因为过点，所以，即，

所以，解得，又，所以，

所以；

(2)由已知得，当时，，令，则，

令，则函数的图象如下图所示，且，，，

由图象得有三个不同的实数根，则，

所以，即，

所以，所以，

故．