2023年广东省肇庆市怀集县幸福街道初级中学中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省肇庆市怀集县幸福街道初级中学中考数学一模试卷，共16页。

2023年广东省肇庆市怀集幸福中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2023的相反数是（　　）
A． B． C．﹣2023 D．2023
2．（3分）根据国家统计局数据显示，我国冰雪运动参与人数达到346000000人．数据346000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.346×109 B．3.46×108 C．346×106 D．3.46×109
3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）若一个n边形的内角和为900°，则n的值是（　　）
A．9 B．7 C．6 D．5
5．（3分）某校开展了学习二十大精神的知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取1名学生，恰好抽到女学生的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．＝±3 C．2﹣1＝﹣2 D．（π﹣3）0＝1
7．（3分）已知：如图OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）

A．45° B．40° C．35° D．50°
8．（3分）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（　　）
A．140° B．120° C．100° D．40°
9．（3分）如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分（　　）

A． B．16+π C．18 D．19
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）≤4a+2b其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）计算：cos245°﹣tan60°•cos30°＝　 　．
12．（3分）若将抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是　 　．
13．（3分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，使点B′落在射线AC上，则cos∠B′CB的值为　 　．

14．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是：　 　．
15．（3分）如图，菱形OABC的一OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，则△COD的面积为　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）．其中a＝﹣3．
18．（8分）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°．求证：AE＝AF．

19．（9分）为了解我校初一年级学生的身高情况，随机对初一男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据调查所得数据绘制如图所示的统计图表．由图表中提供的信息，回答下列问题：
组别
身高（cm）
A
x＜150
B
150≤x＜155
C
155≤x＜160
D
160≤x＜165
E
x≥165
（1）在样本中，男生身高的中位数落在　 　组（填组别序号）；
（2）求女生身高在B组的人数；
（3）我校初一年级共有男生500人，女生480人，则身高不低于160cm的学生人数．

20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F．
（1）求证：∠A＝∠BOF；
（2）若AB＝4，DF＝1，求AE的长．

21．（9分）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，A种魔方的单价比B种魔方的单价多5元．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个），某商店有两种优惠活动，如图所示．若根据信息，社团选择了活动一的优惠办法购买魔方较实惠．请求出该社团最多购买多少个A种魔方．

22．（12分）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）求△BCP的面积最大值．

23．（12分）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．
求证：∠ABC＝2∠ACB．
小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．
（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝　 　，连接DF．
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．
请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．
小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．


2023年广东省肇庆市怀集幸福中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：2023的相反数是﹣2023，
故选：C．
2． 解：346000000＝3.46×108，
故选：B．
3． 解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
4． 解：这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝900°，
解得：n＝7．
故选：B．
5． 解：∵有3名女学生，1名男学生，从这4名学生中随机抽取1名学生，
∴恰好抽到女学生的概率为：．
故选：C．
6． 解：A、原式＝a6，故A符合题意．
B、原式＝3，故B不符合题意．
C、原式＝，故C不符合题意．
D、原式＝1，故D符合题意．
故选：D．
7． 解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°．
故选：A．
8． 解：在▱ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C＝80°，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝140°，
故选：A．
9． 解：作A″M⊥OA'，垂足为点M，
∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．
∴AD＝10公分，
∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，
∴A′C＝16公分，
∴AO＝A″O＝6公分，
则钟面显示3点50分时，
∠A″OA′＝30°，
∴MA″＝3公分，
∴A点距桌面的高度为：16+3＝19公分．
故选：D．

10． 解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4a，
∴4a+b+c＝4a﹣4a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点B位于（4，0）、（5，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点位于（0，0），（﹣1，0）之间，
即当x＝﹣1时，y＜0，也就是a﹣b+c＜0，因此选项②正确；
∵对称轴为直线x＝2，
∴x＝2时的函数值大于或等于x＝m时函数值，即当x＝2时，函数值最大，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
即m（ma+b）≤4a+2b，因此③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，
∴x＝5时，一次函数值比二次函数值大，
即25a+5b+c＜﹣5+c，
而b＝﹣4a，
∴25a﹣20a＜﹣5，解得a＜﹣1，因此④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝（）2﹣×
＝﹣
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12． 解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，函数y＝﹣x2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的图象的函数关系式是：y＝﹣（x+3）2﹣2．
故答案为：y＝﹣（x+3）2﹣2．
13． 解：如图所示：连接BD，BB′，
由网格利用勾股定理得：BC＝，CD＝，BD＝2，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，
则BD⊥B′C，
∴cos∠B′CB＝＝＝，
故答案为．

14． 解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣4（m﹣3）×1≥0且m﹣3≠0，
解得：m≤7且m≠3．
故答案为：m≤7且m≠3．
15． 解：作DF∥AO交OC于F，CE⊥AO于E，
∵tan∠AOC＝，
∴设CE＝4x，OE＝3x，
∴3x•4x＝24，x＝±，
∴OE＝3，CE＝4，
由勾股定理得：OC＝5，
∴S菱形OABC＝OA•CE＝5×4＝40，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DF∥AO，
∴S△ADO＝S△DFO，
同理S△BCD＝S△CDF，
∵S菱形ABCO＝S△ADO+S△DFO+S△BCD+S△CDF，
∴S菱形ABCO＝2（S△DFO+S△CDF）＝2S△CDO＝40，
∴S△CDO＝20；
故答案为：20．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝4﹣1+2×+﹣1
＝4﹣1+1+﹣1
＝．
17． 解：原式＝•
＝•
＝．
当a＝﹣3时，原式＝﹣1
18． 证明：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠2＝60°，∠1+∠4＝60°，AC＝AB，
∴∠ACF＝60°，
∵∠EAF＝60°，即∠3+∠4＝60°，
∴∠1＝∠3，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC，
∴AE＝AF．

19． 解：（1）∵抽取的样本中，男生人数有2+4+12+14+8＝40人，
∴男生身高的中位数是第21、22个数的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组；
故答案为：D；

（2）∵男生、女生的人数相同，
∴女生有40人，
∴女生身高在B组的人数有：40×（1﹣20%﹣30%﹣15%﹣5%）＝12人；
故答案为：12；

（3）根据题意得：
500×+480×（15%+5%）＝275+96＝371（人），
答：身高不低于160cm的学生人数有371人．
20． （1）证明：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∵AB＝AC，
∴∠CAB＝2∠DAB，
∵∠DOB＝2∠DAB，
∴∠CAB＝∠BOF；
（2）解：连接BE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°
∵AB＝4，
∴OB＝OD＝AB＝2，
∵DF＝1，
∴OF＝OD+DF＝3，
∵BF与⊙O相切于点B，
∴∠OBF＝90°，
∴∠AEB＝∠OBF＝90°，
∵∠CAB＝∠BOF，
∴△EAB∽△BOF，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴AE的长为．
21． 解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，
由题意可得，，
解得，，
∴A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个；
（2）设购进A种魔方m个，则购进B种魔方（100﹣m）个，
根据题意，得20×0.8×m+15×0.4×（100﹣m）＜20m+15（100﹣2m），
解得：m＜45，
∵m为正整数，
∴m的最大整数值为44，
即该社团最多购买A种魔方44个．
22． 解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8；
（2）令y＝0，则﹣x2+3x+8＝0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+8；
（3）过点P作PG∥y轴交BC于G，

设P（t，﹣t2+3t+8），则G（t，﹣t+8），
∴PG＝﹣t2+3t+8+t﹣8＝﹣t2+4t，
∴S△CBP＝×8×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，
∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32．
∴△BCP的面积最大值为32．
23． 证明：（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
则∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF+∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB+BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，
∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB+BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB；
（3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，
则∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG+∠G＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB+BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．