2023年广东省肇庆市端州区颂德学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省肇庆市端州区颂德学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  有理数的倒数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  数据显示，中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，全国冰雪运动参与人数达到亿人．数据“亿”用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 圆

4.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩平均数和方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择______较适宜(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8.  已知有意义，且关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为(    )
 

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：；；若、是抛物线上的两点，则有；若，为方程的两个根，且；以上说法正确的有(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  若两个相似三角形的面积之比为：，则它们的相似比为______．

13.  若，则 ______ ．

14.  如图，交警为提醒广大司机前方道路塌陷在路口设立了警示牌．已知立杆的高度是，从侧面点测得警示牌顶端点和底端点的仰角分别是和那么警示牌的高度为______  ．

15.  如图所示，等边的边长为，点在内运动，运动过程始终保持，则线段的最小值为            ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先简化，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，．
求证：；
若点在边上，且，，，求的长．

19.  本小题分
为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：合唱社团、陶艺社团、数独社团、硬笔书法，七年级共有名学生选择了课程为了解选择课程学生的学习情况，张老师从这名学生中随机抽取了名学生进行测试，将他们的成绩百分制，单位：分分成六组，绘制成频数分布直方图．










分这组的数据为：、、、、、、、、，则这组数据的中位数是        分、众数是        分；
根据题中信息，可以估算七年级选择课程的学生成绩在分的人数是        人；
七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课程他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程或课程的概率．

20.  本小题分
为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，今年植树节期间，学校组织七年级学生参加义务植树，美化校园活动．已知甲班共植树棵，乙班共植树棵，两班完成植树任务所用时间相同，且甲班每天比乙班少植树棵．
问甲、乙两班每天各植树多少棵？
学校计划购进桂花树苗和榕树苗共棵，桂花树苗每棵元，榕树苗每棵元．设桂花树苗买了棵，购买两种树苗所需总费用为元，求与的函数关系式．
在的条件下，如果购买榕树苗的数量不多于桂花树苗数量的一半，求购买桂花树苗多少棵时总费用最低？

21.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，的面积为．
求一次函数和反比例函数的表达式．
根据图象直接回答，在第一象限内，当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
点为轴上一点，若与相似，求的长．

22.  本小题分
如图，以线段为直径的交的边于点，连接，作平分线交于点，交于点，连接，作于点，连接，．
求证：是的切线；
求证：；
若，的面积为，求的面积．

23.  本小题分
如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、．
求抛物线的解析式及点的坐标；
如图，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的倍时，请求出满足条件的点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义，找出的倒数为，此题得解．
【解答】
解：根据倒数的定义可知：的倒数为．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了科学记数法，一般形式为，确定与的值是解题的关键．
用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
【解答】
解：亿．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、圆是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图有三层，最上面有一个正方形，中间一层有两个正方形，最下面有三个正方形，且左侧是对齐的，
故选：．
从正面看有三列，最左列有层，中间列有层，最右列有层．
本题主要考查三视图的定义，在理解三视图的基础上，还要有较强的空间想象能力．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，故本选项正确；
B、原式，故本选项错误；
C、原式，故本选项错误；
D、原式，故本选项错误．
故选A．
分别根据负整数指数幂及同底数幂的除法法则、数的开方法则及完全平方公式对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是负整数指数幂，熟知负整数指数幂的运算法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，代入求出即可．
【解答】
解：如图所示，

，
，
，
，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】
解：乙和丁的平均数较大，
从乙和丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
选择丁参加比赛，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
．
关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
，
实数的取值不可能是．
故选：．
由分母不为零及被开方数非负，可得出，解之可得出，由根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出，进而可得出，再对照四个选项，即可得出结论．
本题主要考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据菱形的性质得到，计算即可．
【解答】
解：四边形为的内接四边形，
，
由圆周角定理得：，
四边形为菱形，
，
，
解得：，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点坐标．
利用抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与轴交点的位置即可判断，，的符号；根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标可算出另一个交点的坐标为，则当时，根据函数图象即可判断；利用二次函数的性质即可判断，的大小关系；把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断，的取值范围．
【解答】
解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴正半轴，
，
，故错误；
抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，
，故正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越近的点，函数值越大，
，
，故正确；
，为方程的两个根，
把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，
，故正确．
说法正确的有．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形的面积之比为：，则它们的相似比为：．
故答案为：．
直接利用相似三角形的性质求解．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，
解得，，
所以原式．
故答案为：．
先根据非负数的性质求出，的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了含角的直角三角形，勾股定理及等腰直角三角形；在中，根据等腰直角三角形的性质求出，在中，，得出，根据含角的直角三角形得出，再根据勾股定理求出，最后根据，代入计算即可．
【解答】
解：在中，，，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
．
警示牌的高度为．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查求线段最小值的问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，关键是通过作辅助线得到．
取中点，连接，，由直角三角形的性质得到的长，由，即可求出的最小值．
【解答】
解：取中点，连接，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．  

16.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
 

18.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；

解：由得：≌，
，
，
即，
又，
，
在≌中，
，
≌，
． 

【解析】根据正方形的性质可得，，再证明≌可得；
首先证明，然后证明≌，根据全等三角形的性质可得．
此题主要考查了正方形的性质，关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角．
 

19.【答案】解：，；
  ；
根据题意列树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中他俩同时选到课程或课程的概率有种，
则他俩同时选到课程或课程的概率是． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
根据中位数和众数的定义分别进行求解即可；
用总人数乘以分的人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出他俩同时选到课程或课程的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】
解：把这些数从小到大排列为：、、、、、、、、，
则这组数据的中位数是分，
出现了次，出现的次数最多，
众数是分；
故答案为：，；
根据题意得：
人，
答：估算七年级选择课程的学生成绩在分的人数是人；
故答案为：；
见答案．  

20.【答案】解：设乙班每天植树棵，则甲班每天植树棵，依题意得：
，
解得：，
检验：把，代入，
是原方程的解，
棵；
由桂花树苗买了棵，则榕树树苗买了棵，
依题意得：；
依题意得：，
解得：，
，且为整数，
，
随的增大而增大，
则当时，有最小值；
答：甲班每天植树棵，乙班每天植树棵；
与的函数表达式为；
桂花树苗购买棵时总费用最低． 

【解析】本题主要考查一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解决此类一次函数的最值的题目，通常需要得到一个一次函数，再根据增减性，判断其最值．
每个班植树的天数等于植树的总棵树除以每天植树的棵树，表示出甲乙两班每天植树的棵树，再根据他们用的时间相等可以构建方程，求出甲乙两班每天各植树的棵数．
桂花树苗买了棵，则榕树买了棵，然后表示总费用即可．
根据购买榕树苗的数量不多于桂花树苗数量的一半，然后列出不等式就可以求出的取值范围，再根据一次函数的增减性，就可以找到总费用最低时，桂花树的棵树．
 

21.【答案】解：针对于直线，
令，则，
，
，
的面积为，
，
，
或，
当时，一次函数的解析式为，
点，不符合题意，
一次函数的解析式为，
点，
点在反比例函数，
，
反比例函数的解析式为；

由知，，
由图象知，当时，一次函数的值大于反比例函数的值；

由知，，
，
，
由知，，
，，
当点在轴正半轴上时，
与，且，
当∽时，，
，此时，点与点重合，不符合题意，
当∽时，，
，
，
，
，
当点在轴负半轴上时，
，此种情况不存在，
即的长为． 

【解析】先求出点的坐标，再利用的面积求出，即可求出答案；
先求出点的坐标，即可得出答案；
分点在轴正半轴上，利用相似三角形得出比例式求出即可求出答案；当点在轴负半轴时，判断出，此种情况不存在．
此题是反比例函数综合题，主要考查了三角形面积公式，待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

22.【答案】证明：为的直径，点在上，
，
，
，
，

，
，
，
是的切线；
连接，过点作交于，
平分，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
、、三点共线，
；
解：，
，
，
设，则，
，
由知，，
，
，
，
，，
，
，，
∽，

． 

【解析】利用同弧所对的圆周角相等，可得，可得，即可证明；
连接，过点作交于，证明是等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一可得、、三点共线，即可证明；
由题意可得，设，则，，求出，再由，可证明∽，则，即可求．
本题考查圆的综合，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，直角三角形勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：将点和点代入抛物线中，
则，
解得：，
抛物线的解析式为，
在中，令得，
解得：，，
；
存在轴上一点，使得是以为斜边的直角三角形，理由如下：
如图：

点是线段的中点，，，
，
设，
又，
，
，
即，
化简得：，
解得：，，
的坐标为或；
、，
设直线的解析式为，
把点代入解析式得，，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
当时，
过点作于点，如图，

，轴，
，
，，
又，
，
是线段的中点，
，
整理得：，
解得：或，
点是第一象限内抛物线上的动点，
；
时，
，
，即，
轴，
，
即，
，
，
，
此种情况不存在；
当时，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：；
综上所述，满足条件的点的横坐标为或． 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为，令得；
由，，知线段的中点，设，根据，得，即可解得的坐标为或；
分当时，时，当时三种情况，利用二次函数的性质和等腰三角形，勾股定理等性质进行计算即可．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质、直角三角形性质及应用，利用分类讨论的思想是解题的关键．