2024届高考数学复习第一轮讲练测专题5.3 三角函数的图象与性质 教师版

专题5.3   三角函数的图象与性质

1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.

【详解】

解：A选项：是周期为的偶函数，故A不正确；

B选项：是周期为的奇函数，故B正确；

C选项：，周期为且非奇非偶函数，故C不正确；

D选项：是周期为的奇函数，故D不正确.

故选：B.

2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，

对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，

对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，

对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，

故选：．

3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y=在[-2，2]上的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到，考察当趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.

【详解】

,

当趋近于0时，函数值趋近于,故排除A;

,故排除CD,

故选：B

4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（    ）

A．(0，0) B．(，0)

C．(，0) D．以上选项都不对

【答案】C

【解析】

根据正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)求出函数y=tan(3x+)图象的对称中心，即可得到选项.

【详解】

解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；

令3x+=，解得，k∈Z；

所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；

当k=3时,C正确，

故选：C.

5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（     ）

A．2          B． 

C．1          D．

【答案】A

【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．

6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

根据题意可得，即可求出.

【详解】

由题可知，在上只有一个零点，

又，，所以，即.

故选：A.

7.(2019年高考北京卷文)设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（    ） 

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件
C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】时，，为偶函数；

为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.

8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数图象的一个对称中心为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.

【详解】

令，可得．

所以当时，，故满足条件，

当时，，故满足条件；

故选：D

9．（2021·全国高一专题练习）设函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．在单调递减 D．的一个零点为

【答案】C

【解析】

根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.

【详解】

函数，的最小正周期为，故A正确；

，的图象关于直线对称，故B正确；

当时，，没有单调性，故C错误；

，的一个零点为，故D正确.

综上，错误的选项为C.

故选：C.

10．（2017·全国高考真题（理））函数（）的最大值是__________．

【答案】1

【解析】

化简三角函数的解析式，则 ，由可得，当时，函数取得最大值1．

1．（2021·河南高二月考（文））已知函数的相邻的两个零点之间的距离是，且直线是图象的一条对称轴，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由相邻两个零点的距离确定周期求出，再由对称轴确定，代入可求出结果.

【详解】

解：因为相邻的两个零点之间的距离是，所以，，所以，

又，且，则，

所以，则.

故选：D.

2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，函数的最小正周期为，

可得，解得，即，

令，即，

当时，，即函数在上单调递增，

又由，

又由，所以.

故选：C.

3．（2021·广东佛山市·高三二模）设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

由条件即，由，得；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．

【详解】

由，则，即

所以当时，由正弦函数的单调性可得，

即由可以得到.

反之不成立，例如当时，也有成立，但不成立.

故“”是“”的充分不必要条件

故选：A

4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断不正确的是（    ）

A．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位

B．函数的图象关于直线对称

C．时，函数的最小值为

D．函数在上单调递减

【答案】C

【解析】

根据最大值为2，可得A，根据正弦型函数的周期性，可求得，根据对称性，可求得，即可得解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

由题意得A=2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为，

所以，可得，

所以，所以，

因为为对称中心，

所以，

因为，令k=0，可得，

所以.

对于A：将的图象向右平移个单位，

可得，故A正确；

对于B：令，解得，

令k=1，可得，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；

对于C：因为，所以，

所以当时，，故C错误；

对于D：令，解得，

令k=0，可得一个单调减区间为，

因为，

所以函数在上单调递减，故D正确.

故选：C

5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数的图象向右平移个单位长度得y=g(x)的图象，若函数g(x)的图象与直线在上恰有两个交点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由函数的平移可得，结合三角函数的图象与性质可得满足的不等式，即可得解.

【详解】

由题意，，

当时，，

因为函数g(x)的图象与直线在上恰有两个交点，

则

或，，

又，所以.

故选：B.

6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数 的部分图象如图所示，则 （    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【解析】

根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．

【详解】

由图象得,令=0,即=kπ，

k=0时解得x=2，

令=1,即，解得x=3，

∴A(2,0),B(3,1)，

∴，

∴.

故选：A.

7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆上，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n的取值，再代入求解.

【详解】

解：设两交点坐标分别为，，则，，

又函数为奇函数，

∴，

当时，函数取得最大值，

∴，，

由题，函数图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆上，∴，

则.

故选：A.

8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数图象的一条对称轴为，，且在内单调递减，则以下说法正确的是（    ）

A．是其中一个对称中心 B．

C．在单増 D．

【答案】AD

【解析】

先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.

【详解】

∵f(x)关对称，，f(x)在单调递减，

，B错误；

令，可得

当时，即关于对称，A正确；

令得

∴在单调递増，即C错误；

，D正确，

故选：AD.

9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数满足，有，且，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．时，单调递增

C．关于点对称

D．时，方程的所有根的和为

【答案】CD

【解析】

利用已知条件可知在上为奇函数且单调递减，关于、，对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.

【详解】

由题设知：，故在上为奇函数且单调递减，又，即关于、，对称，且最小周期为4，

A：，错误；

B：等价于，由上易知：上递减，上递增，故不单调，错误；

C：由上知：关于对称且，所以关于对称，正确；

D：由题意，只需确定与在的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，

∴共有6个交点且关于对称，则，

∴所有根的和为，正确.

故选：CD

10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数在上的最大值为，最小值为，则在上最大值为________．

【答案】1

【解析】

依题意可得函数在上单调递减，则，所以，即可求出函数的最大值；

【详解】

解：函数的周期为6，函数在上单调递减，

当时，

因为，所以，所以

所以

当时取最大值1

故答案为：

1．（2021·全国高考真题（理））已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.

【详解】

由于，所以命题为真命题；

由于，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

解不等式，利用赋值法可得出结论.

【详解】

因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.

故选：A.

3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f(x)=在的图象大致为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．

4．（2020·全国高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】

对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

6．（2018·北京高考真题（理））设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．

【答案】

【解析】

因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.